一种离子推力器极小子样可靠性评估方法

摘要

一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，它包括以下步骤：一、根据离子推力器的失效及结构特点选取寿命分布模型；二、根据离子推力器地面寿命验证试验结果选择可靠性分析方法，若子样为无失效数据选择离子推力器无失效数据可靠性分析方法，若子样为极少失效数据则选择离子推力器极少失效数据可靠性分析方法；三、确定离子推力器无失效数据的寿命分散性；四、计算离子推力器极少失效数据寿命分布模型的参数值；五：计算出离子推力器给定寿命的可靠度置信下限和给定可靠度的寿命置信下限。本发明建立了离子推力器无失效数据和极少失效数据的可靠性评估方法，提高了可靠性评估精度，为以后离子推力器的可靠性评估提供了依据。

说明书

技术领域

本发明涉及一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，尤其涉及离子推力器寿命试验数据为无失效、极少失效数据的可靠性分析方法。属于航天可靠性分析技术领域。

背景技术

离子推力器是电推进的一种，它利用介质氙气体电离生成带电离子,在静电场的作用下加速喷出,产生推力,所以又称静电推进。与传统化学推力器相比具有高比冲，高效率，推力小的特点。可以用来执行南北位保、轨道提升及深空探测等空间任务。由于离子推力器推力比较小，这就要求必须运行较长的时间才能达到总冲量的要求。因此，离子推力器器作为长寿命设备一般要求能够在轨可靠运行数千小时甚至上万小时。所以对离子推力器服役寿命的可靠性分析具有重要意义。

离子推力器子系统的基本组件有空心阴极、放电室、栅极系统和中和器等，如图1所示。在离子源内由空心阴极发射的电子碰撞推进剂原子使之电离，进入放电室，工作介质氙气体在空心阴极发射的电子作用下在离子腔内离子化,被电离了的离子被含有电势差的离子光学系统(屏栅和加速栅)加速下以非常高的速度喷出发动机产生推力。离子被加速到所要求的排气速度后，由于物质是以离子形式喷出，携带净正电荷，中和器将发射等量的电子到离子束中确保电荷均衡。

离子推力器在轨飞行前，为了找出离子推力器的关键失效模式及对其寿命可靠性分析，需要进行地面寿命验证实验来评估其性能是否满足要求。其中，美国NASA应用于深空一号的30cm NSTAR(Solar Electric Propulsion Technology Application Readiness)推力器地面寿命扩展试验累计时间达到30352h，而在NSTAR的基础上改进的应用于黎明号的离子推力器NEXT(NASA’s Evolutionary Xenon Thruster)创下了连续运行超48000小时的新世界纪录；德国的射频离子推力器RIT-10最终验证的寿命大于20000h；日本的10cm微波离子推力器地面试验寿命到2003年已经达18000h。而我国的LIPS-200离子推力器的寿命要求为10000～15000小时。由于离子推力器长寿命、高可靠性的特点给可靠性分析带来一定的困难。

由于离子推力器的制造成本昂贵，同时受试验条件的制约，每次只能1～2台进行试验，导致可靠性评估试验子样有限，属于极小子样范畴；同时受到研制周期紧迫的影响，其寿命试验往往无法长时间地进行，试验结果多为无失效数据或极少失效数据.对于这种试验信息量非常有限的情况，可靠性分析难度较大。而本发明方法可以对其可靠性评估提供一定的依据。

发明内容

本发明的目的是提供一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，它要解决的是离子推力器地面寿命试验数据包含的信息量少，可靠性分析困难的技术难题，提出一种分别针对无失效数据和极少失效数据的离子推力器极小子样可靠性评估方法，该方法根据离子推力器的主要失效模式及其结构特点选取合理的寿命分布模型，充分开发利用其寿命试验数据信息，获得保守的寿命分散性，实现对离子推力器极小子样的可靠性评估，具有计算方便，分析结果精度高等特点，能够推广到具有长寿命、高可靠性特点的同类型产品的可靠性分析。

本发明一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，它包括以下步骤:

步骤一：根据离子推力器的主要失效及结构特点选取合适的寿命分布模型,寿命分布模型包括weibull分布,正态分布等；其选取的方法如下：由于任何一个薄弱部位失效都将导致整个离子推力器的失效,这符合根据最弱环节模型或串联模型得到的weibull分布，因此本发明假设离子推力器无失效数据的寿命分布服从两参数weibull分布，分布函数为：

$>F\left(t\right)=1-\exp [-{\left(\frac{t}{\beta }\right)}^{\alpha }],t>0---\left(1\right)$>

式中，α为形状参数，β为特征寿命即位置参数，α反映了寿命的分散性；

步骤二：根据离子推力器地面寿命验证试验结果选择可靠性分析方法，若子样为无失效数据选择离子推力器无失效数据可靠性分析方法，若子样为极少失效数据则选择离子推力器极少失效数据可靠性分析方法；

步骤三：确定离子推力器无失效数据的寿命分散性α；

步骤四：计算离子推力器极少失效数据寿命分布模型的参数值；

步骤五：根据步骤二中选择的可靠性分析方法，计算出离子推力器给定寿命的可靠度置信下限和给定可靠度的寿命置信下限。

其中，在步骤二中所述的“选择离子推力器无失效数据可靠性分析方法”，其选择的具体实现过程如下：

1.根据离子推力器定时截尾无失效寿命数据t₀，选择weibull分布作为其寿命分布模型如公式(1)。

2.寿命分散性α的确定。有学者已经研究离子推力器栅极组件的C材料的分散性α＝0.7～0.8，钼结构材料的分散性α＝0.9；另外本发明根据美国NASA的试验数据估计出SERTII离子推力器的寿命分散性α＝2.196以及其空心阴极加热器的分散性为51.19；以上均可以作为本发明中离子推力器无失效数据可靠性评估的依据。

3.根据以上weibull分布模型和分散性依据计算出对于给定的可靠度R,离子推力器的可靠寿命t_R的置信水平为γ的单侧置信下限为:

$>t_{\mathrm{RL}}=t_0{[-\frac{\ln R}{\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)]}]}^{1/\alpha }---\left(2\right)$>

式中F_1-γ(2,2(n+1))是自由度为2和2(n+1)的F分布的1-γ上侧分位点，n为样本量。

对于离子推力器寿命分散性α,可以证明当α≥α₀时,若给定的可靠度R满足：

$>R\ge \frac{1}{1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)}---\left(3\right)$>

则离子推力器的可靠寿命t_R的置信水平为γ的单侧置信下限由下式计算：

$>t_{\mathrm{RL}}^{*}=t_0{[-\frac{\ln R}{\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)]}]}^{1/{\alpha }_0}---\left(4\right)$>

4.根据以上weibull分布模型和分散性依据计算出对于给定寿命t，同理，当分散性α≥α₀且给定的寿命t满足：

t≤t₀      (5)

时,离子推力器的可靠度R(t)的置信水平为γ的单侧置信下限为：

$>R_L^{*}\left(t\right)=\exp \{-\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)\left]{\left(\frac{t}{t_0}\right)}^{{\alpha }_0}\right\}---\left(6\right)$>

其中，在步骤二中所述的“选择离子推力器极少失效数据可靠性分析方法”，其选择的具体实现过程如下：

1.根据离子推力器定时截尾极少失效寿命数据，选择weibull分布作为其寿命分布模型如公式(1)。

2.根据离子推力器极少失效数据寿命的weibull分布，将其转化为极值分布E(μ,σ)，具体实施方式如下：

令Y＝lnt，且有

$>\left(\begin{array}{c}\mu =\ln /\beta \\ \sigma =1/\alpha \end{array}\right)---\left(7\right)$>

则Y服从极值分布，其分布函数为：

$>F\left(y\right)=1-\exp [-\exp \left(\frac{Y-\mu }{\sigma }\right)]---\left(8\right)$>

3.根据定时截尾极少失效数据t₁≤t₂≤...≤t_r<t^*，其中t^*为截尾无失效数据，共有r(1≤r<n)台失效，下面对μ和σ进行最佳线性无偏估计，具体方式如下：

1)由y＝lnt可知，y是关于t单调递增的，则有y₁≤y₂≤...≤y_r可以看作来自极值分布大小为n的样本的前r个顺序统计量Y₁≤Y₂≤,...,≤Y_r的一个取值。令

$>\left(\begin{array}{cc}{Y}_i^0=\frac{Y_i-\mu }{\sigma }& i=\mathrm{1,2},...,r---\left(9\right)\end{array}\right)$>

2)Y⁰遵循标准极值分布，其分布函数F(Y⁰)和概率密度函数f(y⁰)不依赖于任何未知参数。则为来自标准极值分布的样本大小为n的前r个顺序统计量，其均值和协方差分别为：

$>\left(\begin{array}{c}E\left(Y_i^0\right)={\mu }_i\\ \mathrm{Cov}(Y_i^0,Y_j^0)=v_{\mathrm{ij}}=E(Y_i^0,Y_j^0)-{\mu }_i{\mu }_j\end{array}\right)i,j=\mathrm{1,2}...,r---\left(10\right)$>

式中μ_i和可通过如下公式计算

$>\left(\begin{array}{cc}{\mu }_i=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_i^{0}f\left(y_i^0\right){\left[F\left(y_i^0\right)\right]}^{i-1}{[1-F\left(y_i^0\right)]}^{n-i}d{y}_i^0& i=\mathrm{1,2},...r---\left(11\right)\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}E(Y_i^0,Y_j^0)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_i^0{y}_j^{0}f\left(y_i^0\right)f\left(y_j^0\right)\\ {\left[F\left(y_i^0\right)\right]}^{i-1}{[F\left(y_j^0\right)-F\left(y_i^0\right)]}^{j-i-1}{[1-F\left(y_j^0\right)]}^{n-j}d{y}_i^{0}d{y}_j^0\end{array}\right)---\left(12\right)$>

3)令截尾时刻t^*之后第r+1个失效时刻为t_r+1，则t_r+1对应来自标准极值分布的样本大小为n的第r+1个顺序统计量因此截尾时刻t^*对应的y^*，y^*对应的(y^*)⁰对应的同一样本的第r个区间统计量即可以证明，来自标准极值分布的样本大小为n的第r个区间统计量的均值μ_r+1和方差ν_(r+1)(r+1)与来自标准极值分布的样本大小为n+1的第r+1个顺序统计量的均值和方差相同，其协方差ν_(r+1)i与来自标准极值分布的样本大小为n+1的第r+1个顺序统计量与第i个顺序统计量的协方差相同，公式如下，也可查表：

$>E\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)={\mu }_{r+1}=\frac{(n+1)!}{\left(r\right)!(n-r)!}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(y^{*}\right)}^{0}f\left({\left(y^{*}\right)}^0\right){\left[F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)\right]}^r{[1-F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)]}^{n-r}d{\left(y^{*}\right)}^0---\left(13\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}\mathrm{Var}\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)=v_{(r+1)(r+1)}=E\left[{\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)}^2\right]-{\mu }_{(r+1)}^2\\ \mathrm{Cov}({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0,Y_i^0)=v_{(r+1)i}=E({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0,Y_i^0)-{\mu }_i{\mu }_{(r+1)}\end{array}\right)---\left(14\right)$>

其中，

$>E\left[{\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)}^2\right]=\frac{(n+1)!}{\left(r\right)!(n-r)!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)}^{2}f\left({\left(y^{*}\right)}^0\right){\left[F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)\right]}^r{[1-F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)]}^{n-r}d{\left(y^{*}\right)}^0---\left(15\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}E(Y_i^0,{\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0)=\frac{(n+1)!}{(i-1)!(r-i)!(n-r)!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_i^0{\left(y^{*}\right)}^{0}f\left(y_i^0\right)f\left({\left(y^{*}\right)}^0\right){\left[F\left(y_i^0\right)\right]}^{i-1}\\ {[F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)-F\left(y_i^0\right)]}^{r-1}{[1-F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)]}^{n-r}d{y}_i^{0}d{\left(y^{*}\right)}^0\end{array}\right)---\left(16\right)$>

令$>{\left(y^{*}\right)}^0=y_{r+1}^0,{\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0=Y_{r+1}^0$>由(9)可推导出

$>\left(\begin{array}{c}{Y}_i=\mu +\sigma Y_i^0\\ \left(\begin{array}{cc}E\left(Y_i\right)=\mu +\sigma {\mu }_i& i,j=\mathrm{1,2},...,r+1---\left(17\right)\end{array}\right)\\ \mathrm{Cov}(Y_i,Y_j)=\sigma v_{\mathrm{ij}}\end{array}\right)$>

4)根据加权最小二乘方法，残差平方和Q为

$>Q=\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}(y_i-\mu -\sigma {\mu }_i)v_{\mathrm{ij}}(y_j-\mu -\sigma {\mu }_j)---\left(18\right)$>

分别对μ和σ求导

$>\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial \mu }=0\\ \frac{\partial Q}{\partial \sigma }=0\end{array}\right)---\left(19\right)$>

求解可得

$>\hat{\mu }=\frac{1}{\Delta }[\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i{\mu }_j\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{y}_i\right)-\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_j{y}_i\right)]---\left(20\right)$>

$>\hat{\sigma }=\frac{1}{\Delta }[\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}\right)\left(\underset{i.j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_j{y}_i\right)-\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{y}_i\right)]---\left(21\right)$>

其中，

$>{\left[v^{\mathrm{ij}}\right]}_{(r+1)\times (r+1)}={\left[v_{\mathrm{ij}}\right]}_{(r+1)\times (r+1)}^{-1}---\left(22\right)$>

$>\Delta =\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i{\mu }_j\right)-{\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i\right)}^2---\left(23\right)$>

4.根据公式(7)、(21)、(22)两参数weibull分布的位置参数和形状参数分别为

$>\left(\begin{array}{c}\hat{\beta }=\exp \left(\hat{\mu }\right)\\ \hat{\alpha }=1/\hat{\sigma }\end{array}\right)---\left(24\right)$>

5.根据指数分布置信水平为γ的可靠寿命单侧置信下限公式可知,对于Weibull分布随机变量t,其给定可靠度R的可靠寿命t_RL置信水平为γ的单侧置信下限为:

$>t_{\mathrm{RL}}={[-\frac{2\ln R}{{\chi }_{1-\gamma }^2(2r+2)}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{t}_i^{\alpha }]}^{1/\alpha }---\left(25\right)$>

6.根据Weibull分布随机变量t,其给定可靠度R的可靠寿命t_RL置信水平为γ的单侧置信下限可知，给定寿命t的可靠度R(t)置信水平为γ的单侧置信下限为：

$>R_L\left(t\right)=\exp [-\frac{t^{\alpha }{\chi }_{1-\gamma }^2(2r+2)}{2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{t}_i^{\alpha }}]---\left(26\right)$>

确定离子推力器无失效数据的寿命分散性α。

其中，在步骤三中所述的“确定离子推力器无失效数据的寿命分散性α”，其确定的方法主要根据材料的寿命分散性下限和离子推力器部组件的结构材料分散性作为确定依据，主要有铝合金结构α≥4；钛合金结构α≥3；钢结构α≥2.2，离子推力器部组件的结构材料分散性主要有栅极和阴极组件的碳结构α＝0.7～0.8，钼结构α＝0.9。

其中，在步骤四中所述的“计算离子推力器极少失效数据寿命分布模型的参数值”，是根据寿命试验数据估计出寿命分布模型的参数值，该参数值可由公式(20)、(21)、(24)求得。

其中，在步骤五中所述的“根据步骤二中选择的可靠性分析方法，计算出离子推力器给定寿命的可靠度置信下限和给定可靠度的寿命置信下限”，其计算的过程为:离子推力器无失效数据的给定可靠度的寿命置信下限和给定寿命的可靠度置信下限分别由公式(4)和公式(6)求得；离子推力器极少失效数据的给定可靠度的寿命置信下限和给定寿命的可靠度置信下限分别由公式(25)和公式(26)求得。

本发明的优点与积极效果在于：

1.针对离子推力器进行寿命试验只有极小子样的情况分别建立了离子推力器无失效数据和极少失效数据的可靠性评估方法，解决了离子推力器极小子样可靠性评估这一难题。

2)针对极少失效数据的情况，在区间统计量理论的基础上，充分利用从一个失效数据继续试验到没有发生产品失效这一重要试验信息，扩大了信息量，提高了离子推力器可靠性评估精度。

3)本发明给出了离子推力器给定寿命可靠度和给定可靠度的寿命置信下限，为以后评定推力器的可靠度和寿命是否达标提供了依据。

附图说明

图1为离子推力器结构示意图；

图2为本发明所述评估方法的步骤流程图；

图3为本发明方法中离子推力器无失效数据可靠性分析方法流程示意图；

图4为本发明方法中离子推力器极少失效数据可靠性分析方法流程示意图；

图3中符号说明：

n为进行试验的离子推力器台数；

F_1-γ(2,2(n+1))是自由度为2和2(n+1)的F分布的1-γ上侧分位点；

t₀为定时截尾无失效数据；

图4中符号说明：

μ为极值分布的位置参数；

σ为极值分布的形状参数；

具体实施方式

下面将结合附图和实例对本发明作进一步的详细说明。

图1为离子推力器结构示意图；结合图1离子推力器的工作原理为：离子推力器子系统的基本组件有空心阴极、放电室、栅极系统和中和器等，在离子源内由空心阴极发射的电子碰撞推进剂原子使之电离，进入放电室，工作介质氙气体在空心阴极发射的电子作用下在离子腔内离子化,被电离了的离子被含有电势差的离子光学系统(屏栅和加速栅)加速下以非常高的速度喷出发动机产生推力。离子被加速到所要求的排气速度后，由于物质是以离子形式喷出，携带净正电荷，中和器将发射等量的电子到离子束中确保电荷均衡。

本发明一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，其可靠性评估方法流程图如图2所示，它包括离子推力器无失效数据可靠性评估和离子推力器极少失效数据可靠性评估，结合图2所示，本发明一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，其具体步骤如下:

步骤一：根据离子推力器的主要失效及结构特点选取合适的寿命分布模型,寿命分布模型包括weibull分布,正态分布等。其选取的方法如下:由于任何一个薄弱部位失效都将导致整个离子推力器的失效,这符合根据最弱环节模型或串联模型得到的weibull分布，因此本发明假设离子推力器无失效数据的寿命分布服从两参数weibull分布，分布函数为：

$>F\left(t\right)=1-\exp [-{\left(\frac{t}{\beta }\right)}^{\alpha }],t>0---\left(1\right)$>

式中，α为形状参数，β为特征寿命即位置参数，α反映了寿命的分散性。

步骤二：根据离子推力器地面寿命验证试验结果选择可靠性分析方法，若子样为无失效数据选择离子推力器无失效数据可靠性分析方法，若子样为极少失效数据则选择离子推力器极少失效数据可靠性分析方法。

步骤三：确定离子推力器的保守的寿命分散性α_o。

步骤四：计算离子推力器极少失效数据寿命分布模型的参数值。

步骤五：根据步骤二中选择的可靠性分析方法，计算出离子推力器给定寿命的可靠度置信下限和给定可靠度的寿命置信下限。

下面我们首先结合图3说明一种离子推力器无失效数据可靠性分析，具体实施步骤如下：

步骤1.根据离子推力器定时截尾无失效寿命数据t₀，选择合适的寿命分布模型，具体实施方式如下：

1)离子推力器结构复杂，失效模式多，影响离子推力器运行寿命的关键部组件是栅极系统和阴极组件，其主要失效模式有电子返流、加速栅结构失效、发射体耗尽、加热丝熔断和触持极磨损等，其中任何一个薄弱部位失效都将导致整个离子推力器的失效。由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷、磨损和疲劳寿命的影响。大量实践说明，凡是因为某一局部失效或故障就会引起全局机能停止运行的元器件、设备等的寿命都可以看作或近似看作Weibull分布。

2)有大量文献通过weibull分布对离子推力器及其部组件的寿命可靠性进行了研究，因此本发明假设离子推力器无失效数据的寿命分布服从两参数weibull分布，分布函数为如公式(1)

步骤2.寿命分散性α的确定。有学者已经研究离子推力器栅极组件的C材料的分散性α＝0.7～0.8，钼结构材料的分散性α＝0.9；另外本发明根据美国NASA的试验数据估计出SERT II离子推力器的寿命分散性α＝2.196以及其空心阴极加热器的分散性为51.19；以上均可以作为本发明中离子推力器无失效数据可靠性评估的依据。

步骤3.根据以上weibull分布模型和分散性依据计算出对于给定的可靠度R,离子推力器的可靠寿命t_R的置信水平为γ的单侧置信下限为:

$>t_{\mathrm{RL}}=t_0{[-\frac{\ln R}{\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)]}]}^{1/\alpha }---\left(2\right)$>

式中F_1-γ(2,2(n+1))是自由度为2和2(n+1)的F分布的1-γ上侧分位点，n为样本量。

对于离子推力器寿命分散性α,可以证明当α≥α₀时,若给定的可靠度R满足：

$>R\ge \frac{1}{1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)}---\left(3\right)$>

则离子推力器的可靠寿命t_R的置信水平为γ的单侧置信下限由下式计算：

$>t_{\mathrm{RL}}^{*}=t_0{[-\frac{\ln R}{\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)]}]}^{1/{\alpha }_0}---\left(4\right)$>

步骤4.根据以上weibull分布模型和分散性依据计算出对于给定寿命t，同理，当分散性α≥α₀且给定的寿命t满足：

t≤t₀      (5)

时,离子推力器的可靠度R(t)的置信水平为γ的单侧置信下限为：

$>R_L^{*}\left(t\right)=\exp \{-\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)\left]{\left(\frac{t}{t_0}\right)}^{{\alpha }_0}\right\}---\left(6\right)$>

其中，在步骤2中所述的“寿命分散性α的确定”，其确定的方法为：由于离子推力器主要的失效模式为栅极系统的溅射腐蚀，且目前大部分离子推力器栅极结构材料为钼，因此，本发明保守选取形状参数下限α≥α₀＝0.9。

本发明一种离子推力器极小子样可靠性评估方法，它包括离子推力器无失效数据可靠性评估和离子推力器极少失效数据可靠性评估，下面我们首先结合图4说明一种离子推力器极少失效数据可靠性评估方法，具体实施步骤如下：

步骤1.根据离子推力器定时截尾极少失效寿命数据，选择合适的寿命分布模型，具体实施方式同图3中的步骤1，本发明假设离子推力器极少失效数据的寿命分布服从两参数weibull分布，分布函数如公式(1)。

步骤2.根据离子推力器极少失效数据寿命的weibull分布，将其转化为极值分布E(μ,σ)，具体实施方式如下：

令Y＝lnt，且有

$>\left(\begin{array}{c}\mu =\ln /\beta \\ \sigma =1/\alpha \end{array}\right)---\left(7\right)$>

则Y服从极值分布，其分布函数为：

$>F\left(y\right)=1-\exp [-\exp \left(\frac{Y-\mu }{\sigma }\right)]---\left(8\right)$>

步骤3.根据定时截尾极少失效数据t₁≤t₂≤...≤t_r<t^*，其中t^*为截尾无失效数据，共有r(1≤r<n)台失效，下面对μ和σ进行最佳线性无偏估计，具体方式如下：

1.由y＝lnt可知，y是关于t单调递增的，则有y₁≤y₂≤...≤y_r可以看作来自极值分布大小为n的样本的前r个顺序统计量Y₁≤Y₂≤,...,≤Y_r的一个取值。令

$>\left(\begin{array}{cc}{Y}_i^0=\frac{Y_i-\mu }{\sigma }& i=\mathrm{1,2},...,r---\left(9\right)\end{array}\right)$>

2.Y⁰遵循标准极值分布，其分布函数F(Y⁰)和概率密度函数f(y⁰)不依赖于任何未知参数。则为来自标准极值分布的样本大小为n的前r个顺序统计量，其均值和协方差分别为：

$>\left(\begin{array}{c}E\left(Y_i^0\right)={\mu }_i\\ \mathrm{Cov}(Y_i^0,Y_j^0)=v_{\mathrm{ij}}=E(Y_i^0,Y_j^0)-{\mu }_i{\mu }_j\end{array}\right)i,j=\mathrm{1,2}...,r---\left(10\right)$>

式中μ_i和可通过如下公式计算

$>\left(\begin{array}{cc}{\mu }_i=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_i^{0}f\left(y_i^0\right){\left[F\left(y_i^0\right)\right]}^{i-1}{[1-F\left(y_i^0\right)]}^{n-i}d{y}_i^0& i=\mathrm{1,2},...r---\left(11\right)\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}E(Y_i^0,Y_j^0)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_i^0{y}_j^{0}f\left(y_i^0\right)f\left(y_j^0\right)\\ {\left[F\left(y_i^0\right)\right]}^{i-1}{[F\left(y_j^0\right)-F\left(y_i^0\right)]}^{j-i-1}{[1-F\left(y_j^0\right)]}^{n-j}d{y}_i^{0}d{y}_j^0\end{array}\right)---\left(12\right)$>

3.令截尾时刻t^*之后第r+1个失效时刻为t_r+1，则t_r+1对应来自标准极值分布的样本大小为n的第r+1个顺序统计量因此截尾时刻t^*对应的y^*，y^*对应的(y^*)⁰对应的同一样本的第r个区间统计量即可以证明，来自标准极值分布的样本大小为n的第r个区间统计量的均值μ_r+1和方差ν_(r+1)(r+1)与来自标准极值分布的样本大小为n+1的第r+1个顺序统计量的均值和方差相同，其协方差ν_(r+1)i与来自标准极值分布的样本大小为n+1的第r+1个顺序统计量与第i个顺序统计量的协方差相同，公式如下，也可查表：

$>E\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)={\mu }_{r+1}=\frac{(n+1)!}{\left(r\right)!(n-r)!}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(y^{*}\right)}^{0}f\left({\left(y^{*}\right)}^0\right){\left[F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)\right]}^r{[1-F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)]}^{n-r}d{\left(y^{*}\right)}^0---\left(13\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}\mathrm{Var}\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)=v_{(r+1)(r+1)}=E\left[{\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)}^2\right]-{\mu }_{(r+1)}^2\\ \mathrm{Cov}({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0,Y_i^0)=v_{(r+1)i}=E({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0,Y_i^0)-{\mu }_i{\mu }_{(r+1)}\end{array}\right)---\left(14\right)$>

其中，

$>E\left[{\left({\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0\right)}^2\right]=\frac{(n+1)!}{\left(r\right)!(n-r)!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)}^{2}f\left({\left(y^{*}\right)}^0\right){\left[F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)\right]}^r{[1-F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)]}^{n-r}d{\left(y^{*}\right)}^0---\left(15\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}E(Y_i^0,{\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0)=\frac{(n+1)!}{(i-1)!(r-i)!(n-r)!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_i^0{\left(y^{*}\right)}^{0}f\left(y_i^0\right)f\left({\left(y^{*}\right)}^0\right){\left[F\left(y_i^0\right)\right]}^{i-1}\\ {[F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)-F\left(y_i^0\right)]}^{r-1}{[1-F\left({\left(y^{*}\right)}^0\right)]}^{n-r}d{y}_i^{0}d{\left(y^{*}\right)}^0\end{array}\right)---\left(16\right)$>

令$>{\left(y^{*}\right)}^0=y_{r+1}^0,{\left(Y_{r+1}^{*}\right)}^0=Y_{r+1}^0$>由(9)可推导出

$>\left(\begin{array}{c}{Y}_i=\mu +\sigma Y_i^0\\ \left(\begin{array}{cc}E\left(Y_i\right)=\mu +\sigma {\mu }_i& i,j=\mathrm{1,2},...,r+1---\left(17\right)\end{array}\right)\\ \mathrm{Cov}(Y_i,Y_j)=\sigma v_{\mathrm{ij}}\end{array}\right)$>

4.根据加权最小二乘方法，残差平方和Q为

$>Q=\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}(y_i-\mu -\sigma {\mu }_i)v_{\mathrm{ij}}(y_j-\mu -\sigma {\mu }_j)---\left(18\right)$>

分别对μ和σ求导

$>\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial \mu }=0\\ \frac{\partial Q}{\partial \sigma }=0\end{array}\right)---\left(19\right)$>

求解可得

$>\hat{\mu }=\frac{1}{\Delta }[\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i{\mu }_j\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{y}_i\right)-\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_j{y}_i\right)]---\left(20\right)$>

$>\hat{\sigma }=\frac{1}{\Delta }[\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}\right)\left(\underset{i.j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_j{y}_i\right)-\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{y}_i\right)]---\left(21\right)$>

其中，

$>{\left[v^{\mathrm{ij}}\right]}_{(r+1)\times (r+1)}={\left[v_{\mathrm{ij}}\right]}_{(r+1)\times (r+1)}^{-1}---\left(22\right)$>

$>\Delta =\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}\right)\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i{\mu }_j\right)-{\left(\underset{i,j=1}{\overset{r+1}{\Sigma }}{v}^{\mathrm{ij}}{\mu }_i\right)}^2---\left(23\right)$>

步骤4.根据公式(7)、(21)、(22)两参数weibull分布的位置参数和形状参数分别为

$>\left(\begin{array}{c}\hat{\beta }=\exp \left(\hat{\mu }\right)\\ \hat{\alpha }=1/\hat{\sigma }\end{array}\right)---\left(24\right)$>

步骤5.根据指数分布置信水平为γ的可靠寿命单侧置信下限公式可知,对于Weibull分布随机变量t,其给定可靠度R的可靠寿命t_RL置信水平为γ的单侧置信下限为:

$>t_{\mathrm{RL}}={[-\frac{2\ln R}{{\chi }_{1-\gamma }^2(2r+2)}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{t}_i^{\alpha }]}^{1/\alpha }---\left(25\right)$>

步骤6.根据Weibull分布随机变量t,其给定可靠度R的可靠寿命t_RL置信水平为γ的单侧置信下限可知，给定寿命t的可靠度R(t)置信水平为γ的单侧置信下限为：

$>R_L\left(t\right)=\exp [-\frac{t^{\alpha }{\chi }_{1-\gamma }^2(2r+2)}{2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{t}_i^{\alpha }}]---\left(26\right)$>

其中，在步骤5中所述“根据指数分布置信水平为γ的可靠寿命单侧置信下限公式”，其具体实施过程如下：

对weibull分布进行如下变换

$>\left(\begin{array}{c}z=t^{\alpha }\\ \theta ={\beta }^{\alpha }\end{array}\right)---\left(27\right)$>

则weibull分布转化为指数分布，即z＝t^α服从指数分布

$>F\left(z\right)=1-\exp (-\frac{z}{\theta })---\left(28\right)$>

下面通过离子推力器试验数据对本发明进行实验验证：

1.离子推力器无失效数据可靠性评估验证

美国NASA的30cm NSTAR推力器的原设计寿命为8000h,消耗氙推进剂83kg。在1998年10月发射了深空一号(DS-1)进行行星探测，在发射之前对NSTAR的工程样机(EMT)进行了地面8000h的寿命验证试验，从试验中发现了NSTAR的主要的失效模式并对其改进，在EMT的基础又生产出2台NSTAR推力器，一台(DS1)安装在DS-1航天器上，另一台(FT1)作为备份机在地面进行寿命扩展试验，2004年FT1地面寿命扩展试验人为停止,累计时间达到30352h,消耗推进剂235kg。下面我们针对FT1的无失效数据t₀＝30352h进行可靠性评估：

在置信水平γ＝0.6下的可靠度R＝0.87满足：

$>R\ge \frac{1}{1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)}=0.63$>

则离子推力器的可靠寿命t_R的置信水平为γ的单侧置信下限为

$>t_{\mathrm{RL}}^{*}=t_0{[-\frac{\ln R}{\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)]}]}^{1/{\alpha }_0}=8082.64h$>

满足其设计寿命为8000h。

对于给定的寿命t＝8000h满足：

t≤t₀＝30352h

在置信水平γ＝0.6下的可靠度置信下限为

$>R_L^{*}\left(t\right)=\exp \{-\ln [1+\frac{1}{n+1}{F}_{1-\gamma }\left(\mathrm{2,2}(n+1)\right)\left]{\left(\frac{t}{t_0}\right)}^{{\alpha }_0}\right\}=0.8712$>

2.离子推力器极少失效数据可靠性评估验证

美国NASA研制的型号为XIPS-13的离子推力器推进系统主要用于HS-601HP通信卫星平台，为了验证该型号13cm离子推力器的寿命是否能够以适当裕度来满足具有完成通信卫星任务的能力，美国NASA选取2台XIPS-13离子推力器进行寿命地面验证试验。一台在16146h失效，一台在21058h人为中止，对XIPS-13离子推力器的寿命需求约为10000h，考虑2倍安全裕度后，地面寿命试验验证目标为工作21000h。

由图4中的步骤3的方法得出变换后的极值分布的参数估计值为

$>\left(\begin{array}{cc}\hat{\mu }=10.1055& \hat{\sigma }=0.327548\end{array}\right)$>

代入式(25)得到weibull分布的位置参数和形状参数估计值为

$>\left(\begin{array}{c}\hat{\beta }=\exp \left(\hat{\mu }\right)=24477.33\\ \hat{\alpha }=1/\hat{\sigma }=3.052987\end{array}\right)$>

对于XIPS-13cm离子推力器的寿命需求t＝10000h在置信水平为γ＝0.6的可靠度R(t)单侧置信下限由式(27)计算出为

$>R_L\left(10000\right)=\exp [-\frac{t^{\hat{\alpha }}{\chi }_{1-\gamma }^2(2r+2)}{2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{t}_i^{\hat{\alpha }}}]=0.87$>

假设XIPS-13cm离子推力器在置信水平γ＝0.6下可靠度要求R＝0.9的寿命置信下限可由公式(26)计算出为

$>t_{\mathrm{RL}}={[-\frac{2\ln R}{{\chi }_{1-\gamma }^2(2r+2)}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{t}_i^{\hat{\alpha }}]}^{1/\hat{\alpha }}=9024.6h$>

以上所述本发明给出了离子推力器极小子样可靠性评估，但本发明的保护范围并不局限于此，本发明提供的方法还可以扩展到其它长寿命、高可靠性的产品中应用。