基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印方法

摘要

本发明基于Tchebichef矩仿射不变量，提出了抵抗比几何攻击更具有一般性的仿射攻击的图像水印算法，并提出了数字图像水印嵌入，检测和提取的通用算法。该方法首先计算Tchebichef矩不变量，通过将Tchebichef矩不变量嵌入到原始图像的不变量区域，得到水印图像。本发明不仅能够抵御传统的平移变换，旋转，缩放(RST)等几何攻击，在受到仿射攻击时，依然能够保证水印信息的正确提取，并且在不可见性、水印嵌入容量和鲁棒性这三个水印算法的主要指标之间取得了较好的平衡。

说明书

技术领域

本发明属于图像信息安全技术领域，涉及数字图像水印安全技术，具体是涉及一种能够抵抗比几何攻击更具有一般性的仿射攻击的图像水印算法，其中包括了水印的嵌入方法、检测方法和提取方法。 

背景技术

随着网络与多媒体技术的飞速发展，图像、文本、音频和视频等数字形式的多媒体产品得到了广泛的传播和运用。数码相机、录像机、扫描仪和打印机等数字设备和一些功能强大的软件，已在全球范围内被广泛地应用于创作和处理数字多媒体数据；而互联网也为多媒体信息的分发和交换提供了广阔便捷的渠道。人们通过互联网可以轻易地进行数字媒体的拷贝、下载和发布，这一方面给人们的生活和工作提供了便利条件，提高了工作效率，另一方面也为数字媒体的盗版提供了方便。一些不法分子在没有货的数字媒体版权所有者授权的情况下，随意拷贝和传播有版权保护的数字媒体出版物，从中谋取利益。因此，如何在互联网上保护数字媒体的版权问题和信息安全已经成为一个迫在眉睫的现实问题。而数字水印技术作为数字媒体版权保护、内容认证、注释标记、使用控制等应用领域的重要手段之一，近年来在版权保护方面得到了越来越多的关注。 

数字水印属于信息隐藏技术的一种，其基本思想是在不影响产品质量的情况下将具有可鉴别行的信息（水印）秘密嵌入到图像、文本、音频和视频等数字化多媒体产品中，使之作为原始数据的一部分而保留在其中，以便对数据的复制和传输实施跟踪，实现隐藏传输、存储、标注、身份识别、版权保护等功能。可见，一方面，它可以被用来证明原创作者对其作品的所有权，作为鉴定、起诉非法侵权的证据；另一方面，作者还可以通过对其数字产品中的水印进行探测和分析来实现对作品的动态跟踪，从而保证其作品的完整性，因此数字水印已经成为了知识产权保护和数字多媒体防伪的有效手段。 

而鲁棒性数字水印是对版权保护起决定性作用的，因此需要水印具备抵抗多种水印攻击的功能。相对于常规图像处理如噪声、滤波、压缩等，几何攻击如平移、旋转、缩放等更加难以抵御。数字水印技术难以抵抗几何变换的一个最主要的原因是：几何变换虽然并未去除图像中的水印信息，但却使水印的检测与嵌入之间失去同步，从而导致水印检测的失效。另外几何攻击改变了像素灰度值与坐标之间的对应关系，阻止了水印信号的正常提取。因此同步问题是抗几何攻击水印算法要解决的关键技术。另外，不可见性、水印嵌入容量和鲁棒性 是水印算法最主要的三大指标，但这些指标两两之间都是互相制约的，能在不同的应用环境下同时较好地达到三个指标的水印算法的设计是一个具有挑战性的问题。 

现有的一些方法能够解决部分上述问题，如张力等学者在《Tchebichef矩在图像数字水印技术中的应用》一文中提出，利用原始图像的一个或多个Tchebichef矩的值来实现多种不同的水印信息在不同的图像处理域（包括DWT、DCT、FFT以及空间域等）实现水印信息的嵌入和检测，显著增强了水印算法的顽健性。程兴宏等学者在《基于图像Tchebichef矩抗几何攻击的零水印算法》一文中提出了以图像归一化技术和Tchebichef矩系数的特点为基础，首先计算原始图像单位圆内旋转归一化的Tchebichef矩，将Tchebichef矩的左上角部分扫描成数值矩阵;然后根据数值矩阵和水印图像生成二进制密钥并保存到零水印信息库，以此获得对旋转、缩放和常规信号处理及其组合攻击具有很强的鲁棒性图像水印。 

但上述现有方法仅仅解决了图像水印的抗几何攻击性，并没有考虑到比几何变换更具有一般性的仿射变换，因此现有算法无法抵抗仿射攻击。此外，现有算法针对不可见性、水印嵌入容量和鲁棒性这三个水印算法中最主要的指标并未实现良好的平衡。 

发明内容

为解决上述问题，本发明基于Tchebichef矩仿射不变量，提出了抵抗比几何攻击更具有一般性的仿射攻击的图像水印算法，并提出了数字图像水印嵌入，检测和提取的通用算法。 

为了达到上述目的，本发明提供如下技术方案： 

一种基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印嵌入方法，包括如下步骤： 

步骤A，计算Tchebichef矩不变量： 

步骤A-1，定义图像的仿射变换为： 

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x_0+a_{11}x+x_{12}y\\ y^{\prime }=y_0+a_{21}x+a_{22}y\end{array}\right)---\left(1\right)$

用矩阵形式表示如下: 

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{11}& a_{22}\end{array}\right),$称作仿射变换矩阵； 

步骤A-2，定义图像的2D p+q阶Tchebichef矩为： 

$T_{\mathrm{pq}}=\underset{x=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{t}_p\left(x\right)t_q\left(y\right)f(x,y)---\left(3\right)$

其中，p,q=0,1,2,…,p,q为整数，其中t_p(x)是p阶Tchebichef多项式，定义为： 

$t_p\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{p}{\Sigma }}\frac{{(-1)}^p(p+r)!(N-r-1)!}{\sqrt{\rho (p,N)}(p-r)!{(r!)}^2(N-p-1)!}{(-x)}_r---\left(4\right)$

上式用矩阵C表示如下： 

$\left(\begin{array}{c}{t}_p\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{p}{\Sigma }}\frac{{(-1)}^p(p+r)!(N-r-1)!}{\sqrt{\rho (p,N)}(p-r)!{(r!)}^2(N-p-1)!}\underset{k=0}{\overset{r}{\Sigma }}{(-1)}^r{S}_1(r,k)x^k\\ =\underset{k=0}{\overset{p}{\Sigma }}{c}_{p,k}^N{x}^k\end{array}\right)---\left(5\right)$

上式中S₁(r,k)为Stiriling数，矩阵C定义如下： 

$c_{p,k}^N=\underset{r=k}{\overset{p}{\Sigma }}{(-1)}^r{S}_1(r,k)\frac{{(-1)}^p(p+r)!(N-r-1)!}{\sqrt{\rho (p,N)}(p-r)!{(r!)}^2(N-p-1)!}---\left(6\right)$

定义下三角阵C_M的逆矩阵D_M=(d_p,k)，0≤k≤p≤M，D_M的元素定义为： 

$d_{p,k}^N=\underset{m=k}{\overset{p}{\Sigma }}{S}_2(k,m)\frac{\sqrt{\rho (k,N)}(2k+1){(m!)}^2(N-k-1)!}{(m+k+1)!(m-k)!(N-m-1)!},---\left(7\right)$

由上式能够得到： 

$x^p=\underset{k=0}{\overset{p}{\Sigma }}{d}_{p,k}{t}_k\left(x\right)---\left(8\right)$

步骤A-3，根据仿射参数，对Tchebichef矩进行仿射变换后表示如下： 

$T_{\mathrm{pq}}^{\prime }=\det \left(A\right)\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{t=0}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s+t}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{m+n-s-t}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right){\left(a_{11}\right)}^s{\left(a_{12}\right)}^{m-s}{\left(a_{21}\right)}^t{\left(a_{22}\right)}^{n-t}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{s+t,i}^N{d}_{m+n-s-t,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(9\right)$

步骤A-4，得到仿射矩阵的不变量：将仿射矩阵A进行XYS分解，XYS分解将仿射矩阵A分解成一个x方向的剪切,一个y方向的剪切和一个缩放矩阵如下： 

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \gamma & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ 0& 1\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中，α,β,δ和γ均为实数； 

通过式(10)，选择将不同的a₁₁，a₁₂，a₂₁，a₂₂参数代入公式（9）得到仿射矩阵分解后的不变量： 

对于给定的正整数p和q，有 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{xsh}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{m+n-s}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right){\beta }^{m-s}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{s,i}^N{d}_{m+n-s,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(11\right)$

则对图像x方向的剪切具有不变性； 

令 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{ysh}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{t=0}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m+t}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n-t}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right){\gamma }^t{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m+t,i}^N{d}_{n-t,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(12\right)$

则对图像y方向的剪切具有不变性； 

令 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\alpha }^{m+1}{\delta }^{n+1}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m,i}^N{d}_{n,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(13\right)$

则对图像缩放具有不变性； 

步骤A-5，利用Tchebichef矩不变量的现行组合表示仿射变换后的图像的Tchebichef矩： 

步骤A-5-1，将步骤A中定义的图像的2D p+q阶Tchebichef矩代入公式（11）中计算得到x方向的剪切不变量

步骤A-5-2，将步骤A-5-1中得到的不变量代入公式（12）中计算得到x方向的剪切和y方向的剪切的组合不变量

步骤A-5-3，将步骤A-5-2中得到的不变量代入公式（13）中得到仿射不变量

将步骤A-5-1、步骤A-5-2、步骤A-5-1得到的不变量进行反变换后，Tchebichef矩由Tchebichef矩不变量的线性组合表示如下： 

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{m+n-s}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right){(-\beta )}^{m-s}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{s,i}^N{d}_{m+n-s,j}^M{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{xsh}}---\left(14\right)$

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{t=0}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m+t}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n-t}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right){(-\gamma )}^t{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m+t,i}^N{d}_{n-t,j}^M{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{ysh}}---\left(15\right)$

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\alpha }^{-(m+1)}{\delta }^{-(n+1)}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m,i}^N{d}_{n,j}^M{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}}---\left(16\right)$

步骤B，将Tchebichef矩不变量嵌入到原始图像的不变量区域，得到水印图像，嵌入公式为： 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}\left(h\right)}=I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}\left(f\right)}+s_{\mathrm{pq}}{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}\left(f\right)}---\left(17\right)$

将水印w表示成原始图像Tchebichef矩不变量的函数： 

$T_{\mathrm{pq}}^{\left(h\right)}=(1+s_{\mathrm{pq}})T_{\mathrm{pq}}^{\left(f\right)}---\left(19\right)$

利用Tchebichef矩的正交性，得到： 

$h=f+w=f+\underset{p=0}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{q=0}{\overset{M}{\Sigma }}{s}_{\mathrm{pq}}{P}_p\left(x\right)P_q\left(y\right)T_{\mathrm{pq}}^{\left(f\right)}---\left(20\right)$

其中M是矩不变量的最大阶数，从而完成水印的嵌入。 

本发明还提供了一种基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印检测方法，包括如下步骤： 

步骤A，获得接收图像t和水印图像h； 

步骤B，通过下述公式计算接收图像t和水印图像h在特征空间的距离： 

$d(t,h)=\frac{|I\left(t\right)-\left(h\right)|}{\left|I\left(t\right)\right|}---\left(21\right)$

这里I(t)和I(h)分别表示接收图像和水印图像的Tchebichef矩不变量的函数I， 

步骤C，比较d(t,h)和预先设定的门限值d_th，如果d(t,h)<d_th，则认为水印是可鉴定的，如果d(t,h)≥d_th，则认为水印是不可鉴定的。 

作为图像水印检测方法的优选方案，所述I为均值函数： 

$I=\frac{1}{L}\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{I}_i^{\mathrm{affne}}---\left(22\right)$

其中，L为水印检测中使用的矩不变量的个数。 

本发明还提供了一种基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印提取方法，包括如下步骤： 

步骤A，获得接收图像t和水印图像h； 

步骤B，通过下述公式从接收图像t和水印图像h中得到水印图像的参数矩阵m(h) 

$m\left(h\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha \left(h\right)& \alpha \left(h\right)\beta \left(h\right)\\ \delta \left(h\right)\gamma \left(h\right)& \delta \left(h\right)(1+\beta \left(h\right)\gamma \left(h\right))\end{array}\right)---\left(23\right)$

和接收图像t的参数矩阵m(t)： 

$m\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha \left(t\right)& \alpha \left(t\right)\beta \left(t\right)\\ \delta \left(t\right)\gamma \left(t\right)& \delta \left(t\right)(1+\beta \left(t\right)\gamma \left(t\right))\end{array}\right)---\left(24\right)$

步骤C，从m(h)和m(t)估计出仿射变换参数； 

步骤D，通过矩阵m(h)m^–1(t)得到复原图像f′； 

步骤E，用复原图像f减去原图像f′估计出嵌入的水印。 

本发明的优点： 

采用本发明提供的方法对图像进行数字水印嵌入后，不仅能够抵御传统的平移变换，旋转，缩放(RST)等几何攻击，在受到仿射攻击时，依然能够保证水印信息的正确检测和提取，且检测误差要小于现有的方法，具有更好的鲁棒性，提取出的水印信息正确完整，辨认度高。并且在不可见性、水印嵌入容量和鲁棒性这三个水印算法的主要指标之间取得了较好的平衡。 

附图说明

图1为本发明提供的基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印嵌入方法流程图； 

图2为实施例一中采用的原始Lena图像，其尺寸为256×256； 

图3(a)为以图2为原始图像嵌入水印后的图像，图3(b)为修正后的水印图像； 

图4为PSNR值和参数s，M之间的关系示意图，其中横坐标为s值，纵坐标为Lena图像的PSNR值； 

图5为实施例二中采用的四幅标准灰度图像； 

图6为各种攻击下的测试图像的平均距离，其中(a)为旋转攻击(b)为缩放攻击(c)为高斯攻击(d)为JPEG攻击； 

图7为本发明提供的图像水印提取方法流程图； 

图8为实施例三种采用的嵌入水印图； 

图9为受到仿射变换攻击后的水印图像； 

图10为从图9水印图像中提取的水印Logo。 

具体实施方式

以下将结合具体实施例对本发明提供的技术方案进行详细说明，应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。 

实施例一： 

仿射变换是图像空间的一种线性变换，某些情况下，可以看作是图像的投影变换的一种近似，图像的几何变换，如传统的平移变换，旋转，缩放(RST)等几何攻击可以被认为是仿射攻击的一种特例。 

本发明提供的基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印嵌入方法流程如图1所示，具体包括如下步骤： 

步骤A，计算Tchebichef矩不变量： 

步骤A-1，图像的仿射变换定义为： 

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x_0+a_{11}x+x_{12}y\\ y^{\prime }=y_0+a_{21}x+a_{22}y\end{array}\right)---\left(1\right)$

用矩阵形式表示如下: 

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{11}& a_{22}\end{array}\right),$称作仿射变换矩阵， 

步骤A-2，定义图像的2D p+q阶Tchebichef矩为： 

$T_{\mathrm{pq}}=\underset{x=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{t}_p\left(x\right)t_q\left(y\right)f(x,y)---\left(3\right)$

其中，x，y分别为图像的横坐标和纵坐标，N和M为图像尺寸大小，f为图像灰度值。p,q=0,1,2,…,p,q为整数，其中t_p(x)是p阶Tchebichef多项式，定义为： 

$t_p\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{p}{\Sigma }}\frac{{(-1)}^p(p+r)!(N-r-1)!}{\sqrt{\rho (p,N)}(p-r)!{(r!)}^2(N-p-1)!}{(-x)}_r---\left(4\right)$

上式用矩阵C表示如下： 

$\left(\begin{array}{c}{t}_p\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{p}{\Sigma }}\frac{{(-1)}^p(p+r)!(N-r-1)!}{\sqrt{\rho (p,N)}(p-r)!{(r!)}^2(N-p-1)!}\underset{k=0}{\overset{r}{\Sigma }}{(-1)}^r{S}_1(r,k)x^k\\ =\underset{k=0}{\overset{p}{\Sigma }}{c}_{p,k}^N{x}^k\end{array}\right)---\left(5\right)$

上式中S₁(r,k)为Stiriling数，矩阵C定义如下： 

$c_{p,k}^N=\underset{r=k}{\overset{p}{\Sigma }}{(-1)}^r{S}_1(r,k)\frac{{(-1)}^p(p+r)!(N-r-1)!}{\sqrt{\rho (p,N)}(p-r)!{(r!)}^2(N-p-1)!}---\left(6\right)$

记C_M=(c_p,k)。由c_p,k的定义，当r大于p时，(p-r)!=0，因此C_M为下三角阵。因为矩阵的对角元素c_l,l≠0，因此矩阵C_M存在逆矩阵。记D_M=(d_p,k)，0≤k≤p≤M,为C_M的逆矩阵，D_M的元素定义为 

$d_{p,k}^N=\underset{m=k}{\overset{p}{\Sigma }}{S}_2(k,m)\frac{\sqrt{\rho (k,N)}(2k+1){(m!)}^2(N-k-1)!}{(m+k+1)!(m-k)!(N-m-1)!},---\left(7\right)$

由公式(5)，我们可以得到 

$x^p=\underset{k=0}{\overset{p}{\Sigma }}{d}_{p,k}{t}_k\left(x\right)---\left(8\right)$

步骤A-3，根据仿射参数，对Tchebichef矩进行仿射变换后表示如下： 

$T_{\mathrm{pq}}^{\prime }=\det \left(A\right)\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{t=0}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s+t}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{m+n-s-t}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right){\left(a_{11}\right)}^s{\left(a_{12}\right)}^{m-s}{\left(a_{21}\right)}^t{\left(a_{22}\right)}^{n-t}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{s+t,i}^N{d}_{m+n-s-t,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(9\right)$

上式表明仿射变换后的图像的Tchebichef矩可以表示成变换前的Tchebichef矩的线性组合。 

步骤A-4，得到仿射矩阵的不变量：由于直接利用公式(9)得到不变量较为困难，我们将仿射矩阵A进行XYS分解，XYS分解将仿射矩阵A分解成一个x方向的剪切,一个y方向的剪切和一个缩放矩阵如下： 

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \gamma & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ 0& 1\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中，α,β,δ和γ均为实数。 

通过以上关系式，选择将不同的a₁₁，a₁₂，a₂₁，a₂₂参数代入公式（9），我们可以得到仿射矩阵分解后的不变量： 

对于给定的正整数p和q，有 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{xsh}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{m+n-s}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right){\beta }^{m-s}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{s,i}^N{d}_{m+n-s,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(11\right)$

则对图像x方向的剪切具有不变性。 

令 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{ysh}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{t=0}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m+t}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n-t}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right){\gamma }^t{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m+t,i}^N{d}_{n-t,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(12\right)$

则对图像y方向的剪切具有不变性。 

令 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\alpha }^{m+1}{\delta }^{n+1}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m,i}^N{d}_{n,j}^M{T}_{\mathrm{ij}}---\left(13\right)$

则对图像缩放具有不变性。 

由式（11）、（12）、（13）得到，分别对图像的x方向的剪切，y方向的剪切和图像缩放具有不变性，则Tchebichef矩的仿射不变量可以由这三个不变量的线性组合得到。 

具体阐述如下： 

步骤A-5，利用Tchebichef矩不变量的现行组合表示仿射变换后的图像的Tchebichef矩： 

步骤A-5-1，利用公式(11)计算得到x方向的剪切不变量该式中Tchebichef矩的计算由公式(3)得到。 

步骤A-5-2，利用公式(12)得到x方向的剪切和y方向的剪切的组合不变量计算过程中将步骤A-5-1中得到的不变量代替公式(12)中等号右边的Tchebichef矩。 

步骤A-5-3，利用公式(13)得到仿射不变量计算过程中将步骤A-5-2中得到的不变量代替公式(13)中等号右边的Tchebichef矩。 

由于公式(10)的等号右边均为可逆矩阵，因此我们基于步骤A-5-1～步骤A-5-3得到的不变量进行反变换后，Tchebichef矩由Tchebichef矩不变量的线性组合表示如下： 

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{m+n-s}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right){(-\beta )}^{m-s}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{s,i}^N{d}_{m+n-s,j}^M{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{xsh}}---\left(14\right)$

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{t=0}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m+t}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n-t}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right){(-\gamma )}^t{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m+t,i}^N{d}_{n-t,j}^M{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{ysh}}---\left(15\right)$

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{m=0}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{q}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\alpha }^{-(m+1)}{\delta }^{-(n+1)}{c}_{p,m}^N{c}_{q,n}^M{d}_{m,i}^N{d}_{n,j}^M{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}}---\left(16\right)$

步骤B，在原始图像中嵌入水印：通过下式，将Tchebichef矩不变量嵌入到原始图像的不变量区域，即可得到水印图像： 

$I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}\left(h\right)}=I_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}\left(f\right)}+s_{\mathrm{pq}}{I}_{\mathrm{pq}}^{\mathrm{as}\left(f\right)}---\left(17\right)$

和分别表示原图像f和水印图像h的Tchebichef矩不变量，s_pq是控制水印强度的参数，使得水印图像在鲁棒性和不可见性之间达到较好的平衡。 

我们用原始图像f和水印图像h之间的峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio,PSNR)来表述图像的嵌入强度。通常，这个值要大于40，使得嵌入的水印不可见。原图像f和水印图像h之间的PSNR定义为： 

$\mathrm{PSNR}=101\mathrm{lo}{g}_{10}\frac{N^2{\left[\underset{x,y}{\max }f(x,y)\right]}^2}{\underset{x=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{[f(x,y)-h(x,y)]}^2}---\left(18\right)$

这里N×N是图像尺寸。 

下面我们将水印w表示成原始图像Tchebichef矩不变量的函数。实际上，利用公式(14-16)，式(17)可以写成： 

$T_{\mathrm{pq}}^{\left(h\right)}=(1+s_{\mathrm{pq}})T_{\mathrm{pq}}^{\left(f\right)}---\left(19\right)$

利用Tchebichef矩的正交性，得到： 

$h=f+w=f+\underset{p=0}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{q=0}{\overset{M}{\Sigma }}{s}_{\mathrm{pq}}{P}_p\left(x\right)P_q\left(y\right)T_{\mathrm{pq}}^{\left(f\right)}---\left(20\right)$

这里M是矩不变量的最大阶数。 

在实验中，我们取s_pq为恒定值，即对于任意的p和q，令s_pq=s，以图2所示为标准的256×256大小的Lena图像做为原始图像。嵌入水印后的图像如图3(a)所示，在这个例子中s=0.0214，原始图像和水印图像的差就是水印，由于其不可见性，我们将水印的灰度乘以50以便显示，如图3(b)所示。 

图4给出了控制强度的参数s，矩不变量的最大阶数M和Lena图像的峰值信噪比PSNR之间的关系。由图可以看出，图像的PSNR受参数s的影响较大，其随着s的增大而减小，而最大阶数M对其影响不大。 

实施例二： 

本发明还提供了与上述图像水印嵌入方法相应的图像检测水印方法，使用水印图像和接收图像的矩不变量的距离作为测度，因此检测过程不需要用到原始图像。即水印检测过程属于公有水印检测。 

检测方法包括如下步骤： 

步骤A，获得接收图像t和水印图像h，其中接收图像t为待检测的图像，采用了本发明提供的基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印嵌入方法嵌入水印并可能受到了各种攻击，水印图像h与实施例一中h相同； 

步骤B，通过下述公式计算接收图像t和水印图像h在特征空间的距离： 

$d(t,h)=\frac{|I\left(t\right)-\left(h\right)|}{\left|I\left(t\right)\right|}---\left(21\right)$

这里I(t)和I(h)分别表示接收图像和水印图像的Tchebichef矩不变量的函数I，即公式（11）～（13）。在本发明中，我们取I为均值函数： 

$I=\frac{1}{L}\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{I}_i^{\mathrm{affne}}---\left(22\right)$

其中，L为水印检测中使用的矩不变量的个数。 

步骤C，比较d(t,h)和预先设定的门限值d _th，如果d(t,h)<d _th，则认为水印是可鉴定的，如果d(t,h)≥d _th，则认为水印是不可鉴定的。 

本例中我们使用四幅标准灰度图像来进行实验。图5所示为四幅256×256大小的灰度图像，本实验中，使用上述方法嵌入水印，M设置为20，对Lena，摄影师，妇女和船这四幅图像，参数s分别为0.0214,0.0192,0.0189和0.0198。他们的PSNR分别40.00,40.01,40.02和40.06。 

本实验中对四种类型的攻击进行比较，分别为旋转，缩放，高斯噪声和JPEG图像压缩。对于图像旋转，我们将水印图像从0°到120°每隔20°旋转一次。接着我们将水印图像进行缩放，缩放因子从0.1到0.6每隔0.1做一次尺度变换。对于高斯噪声攻击，我们对水印图像添加高斯白噪声，噪声方差从5到30每隔5变化一次值。在JPEG图像压缩攻击下，压缩因子从10到60每隔10变换一次。四幅测试图像在受到四种攻击情况下的平均距离作为实验结果，在图6中显示。从图6中可以看出，在这些攻击下，我们的方法检测误差要小于现有的方法，因此我们的方法具有更好的鲁棒性。 

实施例三： 

本发明还提供了与实施例一种图像水印嵌入方法相应的图像水印提取方法，提取过程中需要用到原图像，因此其属于私有水印提取过程，其流程图如图7所示，包括如下步骤： 

步骤A，获得接收图像t和水印图像h，其中接收图像t为待检测的图像，采用了本发明提供的基于Tchebichef矩仿射不变量的图像水印嵌入方法嵌入水印并可能受到了各种攻击，水印图像h与实施例一中h相同； 

步骤B，通过下述公式从接收图像t和水印图像h中得到水印图像的参数矩阵m(h) 

$m\left(h\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha \left(h\right)& \alpha \left(h\right)\beta \left(h\right)\\ \delta \left(h\right)\gamma \left(h\right)& \delta \left(h\right)(1+\beta \left(h\right)\gamma \left(h\right))\end{array}\right)---\left(23\right)$

和接收图像t的参数矩阵m(t)： 

$m\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha \left(t\right)& \alpha \left(t\right)\beta \left(t\right)\\ \delta \left(t\right)\gamma \left(t\right)& \delta \left(t\right)(1+\beta \left(t\right)\gamma \left(t\right))\end{array}\right)---\left(24\right)$

步骤C，根据m(h)和m(t)，通过计算公式(10)中的α,β,δ和γ，估计出仿射变换参数； 

步骤D，通过矩阵m(h)m^–1(t)得到复原图像f′； 

步骤E，用复原图像f′减去原图像f可以估计出嵌入的水印。 

我们将信息工程大学的Logo作为嵌入的水印，如图8所示。嵌入过程仍然采用式(17)，只是将Logo图像代替公式中的矩不变量Logo嵌入到四幅测试图像中，受到仿射攻击的水印图像如图9所示。表1给出了参数估计的结果，表格中第一行是模拟的仿射攻击的参数，第二行是利用我们的方法估计的参数值，由表中可以看出，参数估计的结果非常精准。 

表1 

采用本发明提供的方法从攻击后的水印图像中提取的水印如图10所示，由图中可以看出，经过仿射攻击后，我们的方法提取出的水印信息依然正确完整，辨认度高。 

本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也视为本发明的保护范围。