一种高速列车车体随机响应置信区间的检测方法

摘要

本发明涉及一种高速列车车体随机响应置信区间的检测方法，包括：对列车随机振动及结构参数的不确定性进行表述及生成随机样本的步骤；基于虚拟激励法对随机响应样本进行分析的步骤；对随机响应样本进行统计分析并给出置信区间的步骤。本发明同时考虑列车结构参数的不确定性和轨道激励的随机性，统计分析复合随机振动的响应，它通过结合高效的计算力学方法，应用虚拟激励法以包含统计信息的轨道谱作为激励，解决了随机激励的输入问题；应用辛数学理论，对轨道模型进行化简，建立了混合坐标方程，从而使大容量样本的计算成为可能；统计给出具有一定置信水平的随机响应估计，为提高列车运行安全性和舒适性的动力设计改良提供了依据。

说明书

技术领域

本发明涉及一种高速列车车体随机响应的计算方法，特别涉及一种考虑不确定 因素的高速列车车体随机响应置信区间的检测方法。

背景技术

高速列车对运行舒适性和安全性的高要求决定了其动力设计中必须考虑不确定 因素的影响。一方面，列车运行中受到来自轨道不平顺引起的随机激励；另一方面， 由于加工、制造等方面的原因，列车的结构参数存在着大量的不确定性因素，通常 采用的确定性分析模型仅是实际结构的一种理想化模型。为能够准确预测列车系统 的动力行为及其与线路性能匹配关系，需要合理计及系统的不确定性，并发展与之 相关的不确定性在车轨耦合系统中传播的预测方法。目前，对车辆和结构耦合系统 不确定性的相关研究正日益获得重视。

D′Aveni，Muscolino和Ricciardi对于具有不确定阻尼和弹性模量的简支梁在确 定性运动载荷作用下的随机动力响应进行了分析，建立了响应统计量评估方法，包 括：应用摄动技术进行随机量展开，不确定参数随机系统传递函数和响应二阶统计 量评估等等。Muscolino，Benfratello和Sidoti对于具有不确定质量、速度和加速度 的移动振子作用下分布参数系统响应计算问题进行了研究，获得了振子-梁交互作用 导致的随机结构不确定响应。Chang和Lin等研究了具有不确定参数(如随机质量、 刚度、阻尼和加速度)移动振子作用下弹性基础上内部铰接、两端固定梁的动力响 应，应用模态分析和Galerkin方法获得了截断控制运动方程集，通过改进的摄动技 术评估梁变形的统计特性。Gladysz和Sniady将列车随机过桥模拟为过滤泊松过程移 动作用力，对具有不确定参数梁式桥振动进行了功率谱分析，假设梁式桥本征频率 是不确定的，应用模糊数、随机变量和模糊随机变量进行模型化，采用本征模态动 力影响函数求解了桥梁响应谱密度函数一般解。Wu和Law对具有不确定性车桥相 互作用问题进行了研究，桥梁模拟为具有非高斯概率材料属性的Bernoulli-Euler简支 梁，车辆模拟为四自由度弹簧-质量系统，路面不平度假设为高斯随机过程。通过谱 随机有限元方法进行非高斯不确定性处理，进一步采用Newmark方法求解车-桥耦合 系统动力方程，并对正交多项式混沌阶数和Karhunen-Loève展开截断给出了建议。

上述工作采用相对简化的模型对不确定车辆和结构相互作用问题进行了有益的 探索，但就实际应用而言还远远不够。复杂不确定动力系统分析还面临着许多挑战， 尤其表现在结构承受随机载荷、材料不确定属性的概率描述，以及与计算力学相关 的结构分析方法等各方面。

发明内容

本发明主要目的在于解决上述问题和不足，提供一种高速列车车体随机响应置 信区间的检测方法，可解决复合随机振动问题在计算上的困难，通过高效的计算方 法精确地求解功率谱响应，并对其统计量进行分析，从而指导车体的动力设计。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：

一种高速列车车体随机响应置信区间的检测方法，包括：

对列车随机振动及结构参数的不确定性进行表述及生成随机样本的步骤；

基于虚拟激励法对随机响应样本进行分析的步骤；

对随机响应样本进行统计分析并给出置信区间的步骤。

进一步，所述对列车随机振动的不确定性进行表述的步骤具体包括：

将轨道不平顺，视为平稳随机过程，应用随机振动虚拟激励法，将随机激励转化 为确定性的虚拟激励，在频域上建立方程：

$M\stackrel{··}{\tilde{x}}+C\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}+K\tilde{x}=E\sqrt{S\left(\omega \right)}{e}^{\mathrm{i\omega t}}$

其中E为荷载指示向量，M、C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度阵，e^iωΔt为 各轮对间虚拟激励相位差，S(ω)为轨道不平顺的自谱密度函数；

对应各个频点，该方程可求解虚拟响应根据虚拟激励法，当量的功率谱密度 可得：

$S_{\mathrm{xx}}={\tilde{x}}^{*}{\tilde{x}}^T$

其中，上标*表示取复共轭，上标^T表示转置。

进一步，对于列车结构参数的不确定性，在系统方程中表现为质量、阻尼和刚 度矩阵的随机性，将其视为服从某种概率分布的随机变量，把随机系数矩阵分为确 定部分和随机部分两部分，表示如下：

$M\left(\alpha \right)=M_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\alpha }_i{M}_i,$$C\left(\alpha \right)=C_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\alpha }_i{C}_i,$$K\left(\alpha \right)=K_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\alpha }_i{K}_i$

其中，M₀、C₀和K₀为车体结构参数设计值，M_i、C_i和K_i为名义方差矩阵， α_i为标准高斯随机变量，m为独立随机变量数目。

进一步，在所述生成随机样本的步骤中，按照概率分布特性生成随机数，得到 计算样本。

进一步，在所述对随机响应样本进行分析的步骤中，利用SiPECS平台上编写 HiPEM计算模块，对所述样本逐个进行车轨耦合系统的随机响应分析，计算得到响 应的样本。

进一步，所述对样本进行随机响应分析，具体包括如下步骤：

假设轨道为无穷长周期结构，以位移和力为状态向量，改写子结构方程为状态 空间形式；

对其辛本征值问题进行分析，求出出口刚度，进而得到典型子结构状态方程；

解出辛模态坐标后，根据简谐波在周期子结构链传播状态得到各个子结构的端 口状态位移响应，确定整个轨道结构的响应；

将车体运动方程和轨道子结构方程通过轮轨关系耦合起来，则得到整个耦合系 统的动力方程。

进一步，所述对随机响应样本进行统计分析并给出置信区间的步骤，具体包括：

假设响应总体服从高斯分布，对其均值μ和方差σ²进行估计；

选取统计量样本均值和样本方差S²为估计量；

给定置信水平为1-α，分别得到均值μ和方差σ²的置信区间。

综上内容，本发明所述的一种高速列车车体随机响应置信区间的检测方法，同 时考虑列车结构参数的不确定性和轨道激励的随机性，统计分析复合随机振动的响 应，它通过结合高效的计算力学方法，应用虚拟激励法以包含统计信息的轨道谱作 为激励，解决了随机激励的输入问题；应用辛数学理论，对轨道模型进行化简，建 立了混合坐标方程，从而使大容量样本的计算成为可能；统计给出具有一定置信水 平的随机响应估计，为提高列车运行安全性和舒适性的动力设计改良提供了依据。

附图说明

图1是本发明流程图；

图2是本发明虚拟激励法原理图；

图3是本发明典型轨道子结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

如图1所示，本发明所述的一种高速列车车体随机响应置信区间的检测方法，具 体包括以下步骤：

步骤A：对列车随机振动及结构参数的不确定性进行表述及生成随机样本。

轨道不平顺是高速列车的主要随机激励来源，本方法中，将其视为平稳随机过 程，应用虚拟激励法以包含统计信息的轨道谱作为激励，解决随机激励的输入问题， 并将结构参数的不确定性用随机变量描述，再进行简单抽样。

如图2所示，随机轨道不平顺谱采用美国六级谱和我国的短波谱进行计算，公 式如下：

上式中，轨道不平顺以空间频率Ω描述，利用计算关系Ω＝ω/v，根据车速v将 其转化为以时间频率描述的功率谱S(ω)。

对于轨道不平顺，将其视为平稳随机过程，应用随机振动虚拟激励法，将随机激 励转化为确定性的虚拟激励，构造虚拟激励在频域上建立方程：

$M\stackrel{··}{\tilde{x}}+C\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}+K\tilde{x}=E\sqrt{S\left(\omega \right)}{e}^{\mathrm{i\omega t}}---\left(2\right)$

其中E为荷载指示向量，M，C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度阵。

由于轨道不平顺仅作用于接触轮对上，故其只在相应自由度上有值，其余为0； 又因不平顺为同源完全相干激励，故各轮对间虚拟激励相位差为e^iωΔt，其中 Δt＝Δl/v，Δl为各轮对间距，S(ω)为轨道不平顺的自谱密度函数。

对应各个频点，该方程易于求解虚拟响应根据虚拟激励法，当量的功率谱密 度可得

$S_{\mathrm{xx}}={\tilde{x}}^{*}{\tilde{x}}^T---\left(3\right)$

其中，上标*表示取复共轭，上标^T表示转置。

对于列车结构参数的不确定性，在系统方程中表现为质量、阻尼和刚度矩阵的随 机性，将其视为服从某种概率分布的随机变量。把随机系数矩阵分为两部分，确定 部分和随机部分，表示如下：

$M\left(\alpha \right)=M_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\alpha }_i{M}_i,$$C\left(\alpha \right)=C_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\alpha }_i{C}_i,$$K\left(\alpha \right)=K_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\alpha }_i{K}_i---\left(4\right)$

其中M₀，C₀和K₀为车体结构参数设计值，M_i，C_i和K_i为名义方差矩阵，α_i 为标准高斯随机变量，m为独立随机变量数目。

按照概率分布生成随机数，得到计算样本，则每一个样本值为 α_j＝(α₁ α₂…α_m)，j＝1，2，…，n，n为样本容量。

步骤B：基于虚拟激励法对随机响应样本进行分析。

对于以上所述生成样本，计算车轨耦合系统随机响应。传统的随机响应计算量庞 大，当样本容量n较大时是无法接受的，应用虚拟激励法可以提升计算效率2～4个数 量级，为大容量样本的计算提供了可能。

为实现高效的随机响应计算，在SiPECS平台上编写HiPEM计算模块，对所述 样本逐个进行车轨耦合系统的随机响应分析，计算得到响应的样本，其计算过程如 下：

轨道假设为无穷长周期结构，如图3所示，在哈密顿对偶坐标体系下建立典型子 结构的状态运动方程。

首先以位移和力为状态向量，改写子结构方程为状态空间形式，然后对其辛本征 值问题进行分析，求出出口刚度，进而得到典型子结构状态方程，最后解出辛模态 坐标后，根据简谐波在周期子结构链传播状态得到各个子结构的端口状态位移响应， 从而确定整个轨道结构的响应。

具体包括：

弹性轨道结构假设为具有周期特性的无穷长链式结构，采用动刚度阵进行周期子 结构运动方程描述为

$(K-{\omega }^{2}M+\mathrm{i\omega C})\left(\begin{array}{c}{u}_i^0\\ u_a^0\\ u_b^0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{G}_{\mathrm{ii}}^0& G_{\mathrm{ia}}^0& G_{\mathrm{ib}}^0\\ G_{\mathrm{ai}}^0& G_{\mathrm{aa}}^0& G_{\mathrm{ab}}^0\\ G_{\mathrm{bi}}^0& G_{\mathrm{ba}}^0& G_{\mathrm{bb}}^0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_i^0\\ u_a^0\\ u_b^0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_{\mathrm{ie}}\\ p_{\mathrm{ae}}\\ p_{\mathrm{be}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ p_{\mathrm{ar}}\\ {-p}_{\mathrm{br}}\end{array}\right)---\left(5\right)$

这里，K、M和C分别为周期子结构的刚度阵、质量阵和阻尼阵；为左端自 由度，为右端自由度，为内部自由度；p_e为子结构所受实际外载荷，p_r为相邻 子结构的作用载荷，可采用周期子结构的出口刚度阵计入，也即：

$p_{\mathrm{ar}}=-P_{\beta }{u}_a^0$$p_{\mathrm{br}}=P_{\alpha }{u}_b^0---\left(6\right)$

其中，P_α和P_β为出口刚度阵。

考虑周期子结构运动方程的辛本征问题，有p_ae＝p_be＝p_ie＝0，以位移和力为状 态向量，周期子结构本征值方程的状态空间形式为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_b\\ p_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{aa}}& S_{\mathrm{ab}}\\ S_{\mathrm{ba}}& S_{\mathrm{bb}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_a\\ p_a\end{array}\right)---\left(7\right)$

可以验证，S^-T＝JSJ^-1或S^T JS＝J，其中S为保辛传递矩阵。这里J矩阵为：

$J=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ {-I}_n& 0\end{array}\right)---\left(8\right)$

由辛数学理论可知，周期子结构本征值方程的辛特征值具有成对出现的特性，并 且如果|μ_i|≤1为方程的特征值，则μ_n+i＝1/μ_i同样也为方程的特征值。将特征值和特 征向量分类排序有：

$\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_i& i=\mathrm{1,2},...,n& \left|{\mu }_i\right|\le 1\\ {\mu }_{n+i}=1/{\mu }_i& i=\mathrm{1,2},...,n& \left|{\mu }_i\right|\ge 1\end{array}\right)---\left(9\right)$

至此，周期子结构运动方程中的出口刚度矩阵可由辛模态矩阵式给出：

P_α＝N_aX_a^-1   P_β＝-N_bX_b^-1    (11)

将上式代入以出口位移表示的周期子结构运动方程，可以得到以辛模态坐标表示 的轨道运动方程：

$\left(\begin{array}{cc}{G}_{\mathrm{aa}}+P_{\beta }& G_{\mathrm{ab}}\\ G_{\mathrm{ba}}& G_{\mathrm{bb}}+P_{\alpha }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{X}_b& 0\\ 0& X_a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_a\\ p_b\end{array}\right)---\left(12\right)$

在得到辛模态坐标后，则有简谐波在周期子结构链传播状态，也即各周期子结构 的端口状态位移响应为(k为截口号，从0开始编号)：

u_kl＝X_bμ^-kb   p_kl＝-P_βu_kl  k≤0(向左传播)

                                             (13)

u_kr＝X_aμ^ka    p_kr＝P_αu_kr   k≥0(向右传播)

将车体运动方程和轨道子结构方程通过轮轨关系耦合起来，则得到整个耦合系统 的动力方程，该方程是混合坐标方程。

步骤C：对随机响应样本进行统计分析并给出置信区间。

将步骤A中生成的样本通过步骤B所述方法逐个进行随机响应分析，得到响应 的样本，根据对响应样本的统计估计响应总体的特征。假设响应总体亦服从高斯分 布，对其均值μ和方差σ²进行估计，选取统计量样本均值和样本方差S²为估计量。

给定置信水平为1-α，分别考虑均值μ和方差σ²的置信区间。考虑S²是σ²的无 偏估计，有：

$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}~t(n-1)---\left(14\right)$

右边的分布t(n-1)不依赖于任何未知参数，故：

$P\{-t_{\alpha /2}(n-1)<\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}<t_{\alpha /2}(n-1)\}=1-\alpha ---\left(15\right)$

于是得到μ的一个置信水平为1-α的置信区间为：

$(\bar{X}\pm \frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1))---\left(16\right)$

为给出σ²的区间估计，构造统计量：

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}~{\chi }^2(n-1)---\left(17\right)$

右边的分布χ²亦不依赖于任何未知参数，故：

$P\{-{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)<\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}<{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)\}=1-\alpha ---\left(18\right)$

得到σ²的一个置信水平为1-α的置信区间为：

$(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)})---\left(19\right)$

随机响应的准确估计是检验车体动力设计的基础，根据随机响应的统计，依照相 关标准执行指标的考察，从而指导车体的动力设计。

下面以实例进行详细说明：

以某列车设计参数为例，不妨考虑列车的二系弹簧刚度系数存在不确定性，并假 设其服从标准正态分布，变异系数为0.3，计算车身中心点垂向加速度功率谱峰值响 应的均值与方差。

步骤A中，列车运行时速160公里，考察频段0.01～10Hz，可得轨道不平顺的虚 拟激励。按照概率分布特性生成随机数，可得到容量为101的计算样本。

步骤B中，利用SiPECS平台上编写HiPEM计算模块对计算样本逐个进行计算， 得到车身中心点垂向加速度功率谱峰值响应的样本。

步骤C中，通过响应样本统计，车身中心点垂向加速度功率谱峰值响应出现在 2.118Hz处，样本均值样本方差S²＝1.562×10^-6。给定置信水平为95％， 即α＝0.05，查表可得t_α/2(100)＝1.660，${\chi }_{\alpha /2}^2\left(100\right)=124.342,$${\chi }_{1-\alpha /2}^2\left(100\right)=77.929.$故得到车身中心点垂向加速度功率谱峰值响应均值和方差的置信区间分别为 (0.0112，0.0116)和(1.257×10^-6，2.005×10^-6)。

高速列车对运行舒适性和安全性的高要求决定了其动力设计中必须考虑随机激 励、参数不确定性等因素的影响。本发明就是针对这类复合随机问题的计算方法： 它应用虚拟激励法解决随机激励问题，而将系统参数的不确定性用随机变量描述， 简单抽样，得到响应样本后通过统计手段，对响应总体做出估计。随机响应的计算 量庞大，传统方法无法完成大样本容量的计算工作，本发明中，建立耦合系统方程 应用了辛数学方法，有效提高了计算效率。

如上所述，结合附图所给出的方案内容，可以衍生出类似的技术方案。但凡是 未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简 单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。