一种局部缺陷齿轮啮合刚度的时变特性定量计算方法

摘要

本发明涉及一种局部缺陷齿轮啮合刚度的定量计算方法。为了描述齿轮典型故障对刚度时变特性的影响，首先引入了啮合刚度能量法计算模型，即分别考虑弯曲、剪切、径向压缩、接触、基础变形五种形式的弹性应变能，进而形成相应的五种刚度。本发明以能量法为依托，先后讨论了齿面剥落、齿根裂纹以及轮齿折断对刚度分布影响。针对剥落缺陷，研究了剥落长度（啮合方向）和宽度（齿宽方向）对刚度分布曲线影响，并获得了剥落尺寸与刚度劣化定量关系；对弯曲疲劳裂纹，则探讨了刚度曲线随裂纹深度的变化规律，以及二者定量关系；对齿轮断齿，讨论了单个齿缺失对刚度分布影响。该发明方法真实的反映出实际啮合情况，降低了求解过程中的复杂程度和计算量。

说明书

技术领域

本发明涉及一种齿轮刚度时变特性定量计算方法，属于齿轮故障诊断领域，尤其涉及一种局部缺陷齿轮啮合刚度的时变特性定量计算方法。 

背景技术

时变啮合刚度是齿轮传动系统振动响应的主要激励源之一，因此有效准确地计算局部缺陷齿轮时变啮合刚度对研究故障齿轮振动响应机理有重要的意义。 

目前，国内外对啮合刚度研究的方法主要有以下5种(1)国际标准法：国标法能有效准确地计算齿轮的平均啮合刚度，但不能算出时变啮合刚度；(2)实验法：实验法的求解结果较精确，但操作复杂并且对实验设备要求高，因此难以广泛应用；(3)石川法：利用石川公式计算啮合刚度是将齿轮简化为一个由梯形与矩形组成的悬臂梁，而未考虑轮体变形引起的刚度；(4)线性规划法：线性规划法针对正常齿轮啮合刚度求解时结果也较精确，但该方法对故障齿轮啮合刚度研究得很少，其研究的可靠性和计算的精确度还有待考证；(5)有限元法：有限元法通常通过建立齿轮传动系统的实体模型，再应用有限元法计算出该齿轮传动的变形量，最后求出该齿轮传动的时变啮合刚度，有限元能较真实的反映出实际啮合情况，但求解过程计算量相对较大。总而言之，石川法所计算的平均刚度较国标法差距较大，不能有效反映出齿轮时变啮合刚度的实际情况；实验法、有限元法计算复杂；线性规划法尚不成熟。 

国外对时变啮合刚度的求解主要有基于能量法，假定弹性应变能全转化为赫兹能量、剪切能量、弯曲能量和径向压缩能量中的几种或全部，但很少有考 虑轮体弹性变形。基于以上分析本发明提出一种局部缺陷齿轮啮合刚度的时变特性定量计算方法，该方法以能量法为依托，对剥落齿轮考虑了剥落坑沿齿宽和沿齿面啮合方向的两种尺寸变化对综合时变啮合刚度的影响；对裂纹齿轮，考虑了不同裂纹深度分别对剪切能量和弯曲能量的影响；最终，对含局部缺陷齿轮的时变啮合刚度进行了定量地求解。 

发明内容

本发明的目的在于提供了一种局部缺陷齿轮啮合刚度的时变特性定量计算方法，为了系统地探讨故障齿轮时变啮合刚度的定量计算，提出了一种将储存在啮合齿轮对中的弹性应变能转化为五部分的能量，然后求出与之相对应的五种刚度，每种刚度串联后所得的结果即为最终齿轮对的综合时变啮合刚度的方法。 

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种局部缺陷齿轮啮合刚度的时变特性定量计算方法，该方法的实现步骤为：建立齿轮啮合刚度计算模型；建立剥落齿轮啮合刚度计算模型；建立裂纹齿轮啮合刚度计算模型；建立断齿齿轮啮合刚度计算模型；故障齿轮一个旋转周期内啮合刚度的计算。 

与现有计算方法相比较，本发明具有以下优点： 

1、该方法以能量法为依托，对剥落齿轮考虑了剥落坑沿齿宽和沿齿面啮合方向的两种尺寸变化对综合时变啮合刚度的影响。 

2、对裂纹齿轮，考虑了不同裂纹深度分别对剪切能量和弯曲能量的影响，有效地反映出齿轮时变啮合刚度实际情况，更加接近实际情况。 

3、对含局部缺陷齿轮的时变啮合刚度进行了定量地求解，真实的反映出实际啮合情况，降低了求解过程中的复杂程度和计算量。 

附图说明

图1为轮齿受力图； 

图2为剥落齿轮图； 

图3为裂纹齿轮图； 

图4为断齿齿轮图； 

图5为齿轮传动图，齿轮基本参数：小齿轮齿数z₁=22，大齿轮齿数z₂=30，齿顶高系数h_a*=1，顶隙系数c*=0.25，齿宽L₁=L₂=20mm，分度圆压力角a₀=20度，弹性模量E=209MP,泊松比u=0.269,图中小齿轮为主动轮，齿数z₁=22，箭头所指处为啮合起点； 

图6为工作流程图； 

图7为轮体变形的几何参数； 

图8为两个啮合周期内正常齿轮的啮合刚度； 

图9为沿齿宽方向不同故障尺寸剥落齿轮和正常齿轮综合啮合刚度曲线的对比； 

图10为沿齿面啮合方向不同故障尺寸剥落齿轮与正常齿轮啮合刚度曲线的对比； 

图11为裂纹齿轮相关参数具体含义； 

图12为三种不同裂纹的故障齿轮与正常齿轮弯曲刚度的对比； 

图13为三种不同裂纹的故障齿轮与正常齿轮剪切刚度的对比; 

图14为正常齿轮减裂纹齿轮啮合刚度的大小，正常齿轮与裂纹齿轮啮合刚度之差； 

图15为三种不同裂纹深度故障齿轮与正常齿轮综合啮合刚度的对比； 

图16为断齿齿轮传动图； 

图17为断齿齿轮与正常齿轮啮合刚度的对比。 

具体实施方式

以下将结合复合具体实例分析，对本发明作进一步说明。 

该方法的实现步骤如下： 

1、建立齿轮啮合刚度计算模型 

1.1确定齿轮对的基本参数 

1.2确定齿轮对单双齿啮合区间 

1.3分别计算啮合齿轮的五种刚度 

如图1所示为轮齿受力图，当齿轮副受啮合F作用时，将F分解为与轮齿中心线平行和垂直的两个力F_a和F_b。因齿轮副存在线接触，故有赫兹接触刚度；受平行于轮齿中心线的力F_a的作用，齿轮存在径向压缩，故存在径向压缩刚度；受垂直于轮齿中心线F_b的作用，因F_b等同于剪力且相对于齿轮中心使轮体承受弯矩，故存在剪切刚度和弯曲刚度；最后因轮齿受力，基础存在弹性变形，故存在轮体变形刚度。将存储在啮合齿轮对中的应变能转化为赫兹能量U_h、弯曲能量U_b、径向压缩能量U_a、剪切能量U_s和轮体变形能量U_f，由能量守恒便可计算出与之相对应的赫兹刚度k_h、弯曲刚度k_b、径向压缩刚度k_a、剪切刚度k_s和轮体变形刚度k_f。 

1.4总刚度的计算 

将1.3中所得的五种刚度串联后便可得到正常直齿轮综合时变啮合刚度： 

$>k_t=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b1}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{s1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{f2}}}---\left(1\right)$>

其中，下标1,2分别代表主、从动齿轮。 

2、剥落齿轮啮合刚度计算模型的建立 

如图2所示为剥落齿轮图，当齿轮副受啮合F作用时，将F分解为与轮齿中心线平行和垂直的两个力F_a和F_b。受平行于轮齿中心线的力F_a的作用，齿轮存在径向压缩，因F_a不变，故径向压缩刚度不变；受垂直于轮齿中心线F_b的作用，因F_b等同于剪力且相对于齿轮中心使轮体承受弯矩，F_b不变，故剪切刚度 和弯曲刚度也不变；最后因轮齿受力，基础存在弹性变形，因整体受力F不变，故存在轮体变形刚度也不变。最后因齿轮啮合的接触线长度发生变化，而赫兹刚度主要与接触线长度有关，因此有剥落时主要考虑赫兹刚度的变化，此时正常齿轮时的赫兹刚度k_h变为剥落齿轮时的赫兹刚度k_hchip。其中，考虑剥落坑齿寸沿齿宽方向变化和沿齿面啮合方向变化时，k_hchip分别是关于剥落坑尺寸w_s和α_s的函数。 

由剥落齿轮赫兹刚度替代正常齿轮赫兹刚度后即得剥落齿轮的综合时变啮合刚度： 

$>k_{\mathrm{tchip}}=\frac{1}{\frac{1}{k_{\mathrm{hchip}}}+\frac{1}{k_{b1}}+\frac{1}{k_{s1}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_2}}---\left(2\right)$>

3、裂纹齿轮啮合刚度计算模型的建立 

如图3所示为裂纹齿轮图，因表面接触面积和分力F_a未变，故赫兹刚度和径向压缩刚度不变；又整体受力F也不变，故轮体变形的刚度也不变；有裂纹时主要考虑弯曲刚度和剪切刚度的变化。同步骤2：正常齿轮的弯曲刚度由k_b和剪切刚度k_s分别变为裂纹齿轮的弯曲k_bcrack和剪切刚度k_scrack。此时k_bcrack和k_scrack都是关于裂纹深度q和裂纹与轮齿中心线夹角v的函数，最后得裂纹齿轮综合时变啮合刚度为： 

$>k_{\mathrm{tcrack}}=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{\mathrm{bcrack}}}+\frac{1}{k_{\mathrm{scrack}}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_2}}---\left(3\right)$>

4、断齿齿轮啮合刚度计算模型的建立 

如图4所示为断齿齿轮图，在齿轮断齿的位置失去接触，原始的双齿啮合区变为单齿啮合。因此，综合啮合刚度仅由单齿对组成，断齿齿轮啮合刚度计算公式为： 

$>{\mathrm{kt}}_{\mathrm{broken}}=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{b\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{f\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{f\mathrm{2,1}}}}---\left(4\right)$>

其中逗号前下标1,2表示主、从动齿轮；逗号后下标1表示双齿啮合时左边的齿轮副。 

5、故障齿轮一个旋转周期内啮合刚度的计算 

如图5所示为齿轮传动图，设啮合齿轮对中小齿轮为主动轮，以初始两对齿轮同时啮合时左边的齿轮对为基准。若故障轮齿是小齿轮上逆时针旋转的第一个齿，小齿轮旋转一周时，齿轮副有z₁(z₁为小齿轮齿数)个啮合周期。在[3，z₁]个啮合周期的啮合刚度与正常齿轮相同。在第一、二个啮合周期内，由步骤2～4可得到故障轮齿刚度值的大小。至此，即可得到故障齿轮一个旋转周期内的啮合刚度。 

如图6所示为本发明对局部缺陷齿轮啮合刚度时变特性定量计算方法的工作流程图。具体实施过程如下： 

1、健康直齿圆柱齿轮啮合刚度的计算 

1.1确定齿轮对的基本参数 

选定标准渐开线直齿圆柱齿轮的参数和材料特性，以图5为例。主、从动齿轮的齿数分别为z₁=22,z₂=30；齿顶高系数h_a*=1;顶隙系数c*=0.25；齿宽L₁=L₂=20mm；分度圆压力角α₀=20。；弹性模量E=2.09*10¹¹；泊松比u=0.269。 

1.2确定一个啮合周期 

由齿轮的基本公式，得： 

$>\left(\begin{array}{c}{\theta }_d=\tan \left(\arccos \frac{z_1\cos {\alpha }_0}{z_1+2}\right)-\frac{2\pi }{z_1}-\\ \tan \left[\arccos \frac{z_1\cos {\alpha }_0}{\sqrt{{(z_2+2)}^2+{(z_1+z_2)}^2-2(z_2+2)(z_1+z_2)\cos (\arccos \frac{z_2\cos {\alpha }_0}{z2+2}-{\alpha }_0)}}\right]\end{array}\right)$>

θ₁∈[0,θ_d]时为双齿啮合区，时为单齿啮合区。经计算：θ_d=10.2°，即该对齿轮在[0,10.2°]时属于双齿啮合区,在[10.2°，16.4°]时属于单齿啮合区。 

1.3分别计算一个啮合周期内正常齿轮啮合的赫兹刚度、弯曲刚度、剪切刚度、径向压缩刚度和轮体变形的刚度。 

由力学基本知识可得 

赫兹刚度：$>k_{h,i}=\frac{\mathrm{\pi EW}}{4(1-{\mu }^2)}---\left(6\right)$>

弯曲刚度：$>\frac{1}{k_{b1,i}}={\int }_{{-\alpha }_{1,i}}^{{\alpha }_2}\frac{3{\{1+\cos {\alpha }_{1,i}[({\alpha }_2-\alpha )\sin \alpha \left]\right\}}^2({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha }{2\mathrm{EL}{[\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}^3}\mathrm{d\alpha }---\left(7\right)$>

$>\frac{1}{k_{b2,i}}={\int }_{{-\alpha }_{1,i}^{\prime }}^{{\alpha }_2^{\prime }}\frac{3{\{1+\cos {\alpha }_{1,i}^{\prime }[({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\sin \alpha \left]\right\}}^2({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\cos \alpha }{2\mathrm{EL}{[\sin \alpha +({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\cos \alpha ]}^3}\mathrm{d\alpha }---\left(8\right)$>

剪切刚度：$>\frac{1}{k_{s1,i}}={\int }_{{-\alpha }_{1,i}}^{{\alpha }_2}\frac{1.2(1+\mu )({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha {\cos }^2{\alpha }_{1,i}}{\mathrm{EL}[\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}\mathrm{d\alpha }---\left(9\right)$>

$>\frac{1}{k_{s2,i}}={\int }_{{-\alpha }_{1,i}^{\prime }}^{{\alpha }_2^{\prime }}\frac{1.2(1+\mu )({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\cos \alpha {\cos }^2{\alpha }_{1,i}^{\prime }}{\mathrm{EL}[\sin \alpha +({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\cos \alpha ]}\mathrm{d\alpha }---\left(10\right)$>

径向压缩刚度：$>\frac{1}{k_{a1,i}}={\int }_{{-\alpha }_{1,i}}^{{\alpha }_2}\frac{({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha {\sin }^2{\alpha }_{1,i}}{2\mathrm{EL}[\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}\mathrm{d\alpha }---\left(11\right)$>

$>\frac{1}{k_{\alpha 2,i}}={\int }_{{-\alpha }_{1,i}^{\prime }}^{{\alpha }_2^{\prime }}\frac{({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\cos \alpha {\sin }^2{\alpha }_{1,i}^{\prime }}{2\mathrm{EL}[\sin \alpha +({\alpha }_2^{\prime }-\alpha )\cos \alpha ]}\mathrm{d\alpha }---\left(12\right)$>

各公式中，i=1,2分别表示双齿啮合时的两对齿轮副，且 

$>{\alpha }_2=\frac{\pi }{{2z}_1}+{\mathrm{inv\alpha }}_0=\frac{\pi }{{2z}_1}+{\tan \alpha }_0-{\alpha }_0$>

$>{\alpha }_2^{\prime }=\frac{\pi }{{2z}_2}+{\mathrm{inv\alpha }}_0=\frac{\pi }{{2z}_2}+{\tan \alpha }_0-{\alpha }_0---\left(13\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{\mathrm{1,1}}={\theta }_1-\frac{\pi }{{2z}_1}-(\tan {\alpha }_0-{\alpha }_0)-\\ \tan [\arccos \frac{z_1\cos {\alpha }_0}{\sqrt{{(z_2+2)}^2+{(z_1+z_2)}^2-2(z_2+2)(z_1+z_2)\cos (\arccos \frac{z_2\cos {\alpha }_0}{z_2+2}-{\alpha }_0)}}---\left(14\right)\end{array}\right)$>

$>{\alpha }_{\mathrm{1,1}}^{\prime }=\tan \left(\arccos \frac{z_2\cos {\alpha }_0}{z_2+2}\right)-\frac{\pi }{{2z}_2}-(\tan {\alpha }_0-{\alpha }_0)-\frac{z_1}{z_2}{\theta }_1---\left(15\right)$>

$>\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{1,2}={\theta }_1-\frac{3\pi }{{2z}_1}-(\tan {\alpha }_0-{\alpha }_0)+\\ \tan [\arccos \frac{z_1\cos {\alpha }_0}{\sqrt{{(z_2+2)}^2+{(z_1+z_2)}^2-2(z_2+2)(z_1+z_2)\cos (\arccos \frac{z_2\cos {\alpha }_0}{z_2+2}-{\alpha }_0)}}---\left(16\right)\end{array}\right)$>

$>{\alpha }_{1,2}^{\prime }=\tan \left(\arccos \frac{z_2\cos {\alpha }_0}{z_2+2}\right)-\frac{5\pi }{{2z}_2}-(\tan {\alpha }_0-{\alpha }_0)-\frac{z_1}{z_2}{\theta }_1---\left(17\right)$>

轮体变形刚度： 

$>\frac{1}{k_f}=\frac{{\cos }^2\alpha }{\mathrm{EL}}\{L^{*}{\left(\frac{u_f}{s_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{u_f}{s_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2\alpha )\}---\left(18\right)$>

其中系数L*，M*，P*和Q*可由多项式函数表示为： 

$>X^{*}=\frac{A}{{\theta }_f^2}+{\mathrm{Bh}}_f^2+\frac{{\mathrm{Ch}}_f^2}{{\theta }_f^2}+\frac{D}{{\theta }_f}+{\mathrm{Eh}}_f^2+F---\left(19\right)$>

X^*表示系数L^*，M^*，P^*和Q^*。h_f=r_f/r，r_f为齿根圆半径，u_f，θ_f和s_f的意义如图7所示。A，B，C，D，E和F的值如下表一所示。 

表一公式（19）中参数A、B、C、D、E、F的取值 

  L^*M^*P^*Q^*A -5.574×10^-560.111×10^-5-50.952×10^-5-6.2042×10^-5B -1.9986×10^-328.100×10^-3185.50×10^-39.0889×10^-3C -2.3015×10^-4-83.431×10^-40.0538×10^-4-4.0964×10^-4D 4.7702×10^-3-9.9256×10^-353.300×10^-37.8297×10^-3E 0.0271 0.1624 0.2895 -0.1472 F 6.8045 0.9086 0.9236 0.6904

1.4综合啮合刚度计算 

$>k_{t,1}=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{b\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{f1}}}---\left(20\right)$>

$>k_{t,2}=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b\mathrm{1,2}}}+\frac{1}{k_{b\mathrm{2,2}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{1,2}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{2,2}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{1,2}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{2,2}}}+\frac{1}{k_{f2}}}---\left(21\right)$>

k_t,1，k_t,2分别表示双齿啮合时左右两边的啮合刚度，综合啮合刚度k_t=k_t,1+k_t,2。刚度曲线如图8所示。齿轮啮合过程中随着单双对齿啮合的交替变化，啮合刚度也随之周期性的改变。 

2、剥落齿轮啮合刚度的计算 

齿轮啮合过程中，假定剥落坑位置存在于分度圆附近。设剥落坑的形状为矩形，齿面存在剥落时，因主要是齿轮副接触长度发生了变化，故弯曲刚度、剪切刚度、径向压缩刚度和轮体变形的刚度变化较小，此时主要考虑赫兹刚度的变化。由得：存在剥落时，齿宽W将变为实际啮合齿宽W_c，此时W_c=W-w_s,其中w_s为剥落坑在齿宽方向的尺寸，总刚度变为： 

$>k_{\mathrm{tchip}}=\frac{1}{\frac{1}{k_{\mathrm{hchip}}}+\frac{1}{k_{b1}}+\frac{1}{k_{s1}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_{f2}}}---\left(22\right)$>

此时，该故障齿轮时变啮合刚度的求解分剥落坑尺寸仅沿齿宽方向变化和仅沿齿面啮合方向变化两种情况： 

2.1剥落坑尺寸仅考虑沿齿宽方向的变化 

以图2为例，正常齿轮齿宽W=20mm，齿全高h=11.25mm。设沿齿面啮合方向的尺寸α_s=4mm为一定值，齿宽方向w_s分别取3mm，6mm，9mm，12mm四组不同的值，w_s的四个取值所占齿宽的比值分别为15%，30%，45%，60%。最终得到剥落齿轮综合啮合刚度如图9所示，由图9明显得出：齿宽方向剥落尺寸w_s越大，刚度越小。 

将实际参与啮合的宽度Wc代入赫兹刚度公式，得：设对确定的一对齿轮，E、L、μ都为常数，因此λ，A均为常数。设w_s为m，k_hchip为n，最终得到剥落齿轮赫兹刚度n是关于沿齿宽方向变化的剥落尺寸m的一次函数，其表达式为：λm+n-A=0。又对确定的一对齿轮，弯曲刚度、剪切刚度、径向压缩刚度和轮体变形刚度在某一时刻刚度值都不随着x的改变而改变，因此设$>B=\frac{1}{k_{b1}}+\frac{1}{k_{s1}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_{f2}},$>B将也不随着u的变化而变化。此时可直接得到剥落齿轮综合啮合刚度k_tchip与沿齿宽剥落尺寸u的关系为：由此公式计算可直接得到当u的取值分别为3mm，6mm，9mm和12mm时，剥落齿轮在一个啮合周期内的平均刚度分别为正常齿轮平均啮合刚度的99.60%，99.06%，98.26%和96.98%。 

2.2剥落坑尺寸仅考虑沿齿面啮合方向变化 

设沿齿宽方向w_s=10mm为一定值，齿面啮合方向的尺寸分别取α_s1=1.5mm，α_s2=3mm，α_s3=4.5mm，α_s4=6mm四组不同的值，得到沿齿面啮合方向不同故障尺寸剥落齿轮综合啮合刚度与正常齿轮啮合刚度的对比曲线如图10，由图10可得：齿宽方向尺寸w_s不变时，故障齿轮啮合刚度在同一时刻的最小值相同；α_s 沿齿面啮合方向变化时，啮合刚度值减小的转角范围也相应变化。当α_s的取值分别为1.5mm，3mm，4.5mm和6mm时，确定刚度值减小的转角范围后，由公式（22）求得故障齿轮在一个啮合周期内的平均刚度分别为正常齿轮平均刚度的99.26%，98.44%，97.63%和96.70%。 

3、裂纹齿轮时变啮合刚度的计算 

齿轮有裂纹时，因表面接触面积和分力F_a均未变，故赫兹刚度和径向压缩刚度不变；又整体受力F也不变，故轮体变形的刚度也不变；此时主要考虑弯曲刚度和剪切刚度的变化。有裂纹的故障齿轮相关参数具体含义如图11所示。其中，h_c，h_r分别为齿根裂纹到轮齿中心线的距离和齿顶圆处弦齿厚的一半；α₁，α_g分别为啮合线与轮齿中心线夹角的余角和啮合点在齿顶圆处时啮合线与轮齿中心线夹角的余角。 

当h_c<h_r或h_c≥h_r且α₁≤α_g时， 

$>\frac{1}{k_{\mathrm{bcrack}}}={\int }_{{-\alpha }_1}^{{\alpha }_2}\frac{12{\{1+\cos {\alpha }_1[({\alpha }_2-\alpha )\sin \alpha \left]\right\}}^2({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha }{\mathrm{EL}{[\sin {\alpha }_2-\frac{q}{R_{b1}}\sin v+\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}^3}---\left(23\right)$>

$>\frac{1}{k_{\mathrm{scrack}}}={\int }_{{-\alpha }_1}^{{\alpha }_2}\frac{2.4({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha {\cos }^2{\alpha }_1}{\mathrm{EL}[\sin {\alpha }_2-\frac{q}{R_{b1}}\sin v+\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}\mathrm{d\alpha }---\left(24\right)$>

当h_c≥h_r且α₁>α_g时， 

$>\left(\begin{array}{c}\frac{1}{k_{\mathrm{bcrack}}}={\int }_{-\mathrm{\alpha g}}^{{\alpha }_2}\frac{12{\{1+\cos {\alpha }_1[({\alpha }_2-\alpha )\sin \alpha -\cos \alpha \left]\right\}}^2({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha }{\mathrm{EL}{[\sin {\alpha }_2-\frac{q}{R_{b1}}\sin v+\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}^3}\mathrm{d\alpha }+\\ {\int }_{{-\alpha }_1}^{-\mathrm{\alpha g}}\frac{3{\{1+\cos {\alpha }_1[({\alpha }_2-\alpha )\sin \alpha -\cos {\alpha }_2\left]\right\}}^2({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha }{2\mathrm{EL}{[\sin {\alpha }_2+({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}^3}\mathrm{d\alpha }\end{array}\right)---\left(25\right)$>

$>\frac{1}{k_{\mathrm{scrack}}}={\int }_{-\mathrm{\alpha g}}^{{\alpha }_2}\frac{2.4(1+v)({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha {\cos }^2{\alpha }_1}{\mathrm{EL}[\sin {\alpha }_2-\frac{q}{R_{b1}}\sin v+\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}\mathrm{d\alpha }+$>

$>{\int }_{{-\alpha }_1}^{{-\alpha }_g}\frac{1.2(1+v)({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha {\cos }^2{\alpha }_1}{\mathrm{EL}[\sin \alpha +({\alpha }_2-\alpha )\cos \alpha ]}---\left(26\right)$>

为了便于计算，假定裂纹出现在齿根且与轮齿中心线的夹角v=45°处，如图3所示。轮齿在齿根圆处的齿厚为13.92mm，此时考虑不同裂纹深度q分别为2mm,4mm,6mm。此时可分别得到三种不同裂纹深度的故障齿轮与正常齿轮的弯曲刚度和剪切刚度的对比曲线，如图12所示和图13所示。 

为了系统地分析弯曲刚度与剪切刚度分别对综合时变啮合刚度的影响程度，考虑裂纹深度q=6mm时，分别计算出一个啮合周期内正常齿轮、只考虑弯曲、只考虑剪切和同时考虑剪切和弯曲这四种情况下的综合时变啮合刚度后，将正常齿轮时变啮合刚度分别减去只考虑弯曲、只考虑剪切、同时考虑弯曲和剪切这三种情况下的时变啮合刚度，由这三个差值（分别称为弯曲差值、剪切差值和总差值）的大小便可得到因弯曲、剪切或同时考虑弯曲和剪切对综合时变啮合刚度的影响，相应的曲线如图14所示。受弯曲和剪切的影响，弯曲差值、剪切差值和总差值都随着啮合位置从齿根向齿顶移动时越来越大；弯曲差值主要受齿轮副到齿根位移的影响，当主动轮带动从动轮转动时，齿轮副到齿根位移增加得越来越快，故弯曲差值随着齿轮的转动也增加得也迅速；剪切差值主要与通过齿轮副且垂直于轮齿中心线的截面大小有关，故随着啮合位置的变化，剪切差值增大较为平稳，近似成线性关系；但到26.5°（即一个啮合周期加后一个双齿啮合）后，有裂纹的轮齿将不再参与啮合，啮合刚度的大小将不再受剪切和弯曲的影响。为了更具体地分析弯曲和剪切何种因素对综合时变啮合刚度的影响更大，从图14中的弯曲差值和剪切差值可以看出，当小齿轮转角在[0，21.7°]（即从刚开始啮合到1.533倍双齿啮合周期）时，啮合刚度值受剪切的影 响较大；当转角在[21.7°，26.5°]（即从一个啮合周期加0.533倍双齿啮合周期到第一个啮合周期加一个双齿啮合周期）时，啮合刚度值受弯曲的影响较大。 

由图12可以看出，齿根处由于存在裂纹对齿轮弯曲刚度的影响是很明显的。由图13可以看出，齿根裂纹对齿轮剪切刚度也有一定的影响。对三种不同的裂纹深度，可以明显看出裂纹对刚度的影响是随着深度的增加而增加。在一个啮合周期内，当裂纹深度q分别为2mm，4mm，6mm时，剪切刚度的平均值分别为健康齿轮剪切刚度的平均值的86.22%，69.94%，52.38%。最后同时考虑弯曲和剪切对啮合刚度的影响，得到三种不同裂纹深度的裂纹齿轮与正常齿轮综合时变啮合刚度对比曲线如图15所示。 

4、断齿齿轮时变啮合刚度的计算 

齿轮断齿时，在断齿的位置失去接触，如图14所示。原始的双齿啮合区变为单齿啮合。因此，总的啮合刚度仅由单齿对组成，其计算公式变为： 

$>{\mathrm{kt}}_{\mathrm{broken}}=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{b\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{s\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{a\mathrm{2,1}}}+\frac{1}{k_{f\mathrm{1,1}}}+\frac{1}{k_{f\mathrm{2,1}}}}---\left(27\right)$>

最终断齿齿轮与正常齿轮啮合刚度的对比曲线如图12所示。断齿齿轮仅为单齿对啮合，在啮合刚度减小的两个啮合周期内断齿齿轮平均刚度值为正常齿轮平均刚度值的一半左右。 

综合以上全部研究内容，本发明以能量法为基础，以标准直齿圆柱齿轮为研究对象，系统地讨论了单个齿轮有剥落、裂纹、断齿三种不同局部缺陷时啮合刚度的定量计算。但多对齿轮共同啮合时，时变啮合刚度并不是单对齿轮啮合刚度的简单相加，实际中还将受轮齿间载荷的分配，进而也受齿形误差的影响。