基于映射弹性势能的电网有功承载能力定量分析指标

摘要

电网的有功承载能力取决于电网结构、支路承载能力、电源和负荷的大小及分布等诸多因素，其定量分析指标仍然是电网安全性分析中的难点。本发明“基于映射弹性势能的电网有功承载能力定量分析指标”基于电网的映射弹性力学网络模型，通过支路状态映射，得到了电网支路的映射弹性势能；采用势能叠加思路，得到电网映射弹性势能的求取方法。分析发现并算例验证，该映射弹性势能可作为电网有功承载能力的定量分析指标：在一定的总有功负载情况下，其值越大，则电网总体有功承载裕度越小，支路有功承载越不均衡。本发明充实了电网安全性分析的理论基础，可广泛应用于电网的规划、运行方式分析、在线调度等方面。

说明书

技术领域

电力系统(电网)安全性分析。 

背景技术

电网的最基本功能是有功功率(以下简称有功)传输，因此有功承载能力(或称有功传输能力)，是电网安全性分析的主要指标，其取决于电网结构、支路承载能力、电源和负荷的大小及分布等诸多因素。目前，实际工作中一般采用N-1(甚至N-2)支路限载校验的定性分析，电网有功承载能力的定量分析方法及指标仍然是电网安全性分析中的难点。 

统计发现上世纪末十五年，美国大停电事故符合复杂系统的自组织临界特性。受到启发，采用复杂网络理论分析评估大电网的安全性成为当前的研究热点。但复杂网络模型是基于接线拓扑的图论模型，不包含电网的元件参数，更不能自然体现电网节点、支路状态量及之间的物理关系，很难建立同时包含电网状态量和结构信息的综合性指标。 

局部指标的构建相对容易，但由此构建全网指标却不容易，理想的途径是由局部指标叠加而成。目前满足叠加性的有势能指标，如节点势能、支路势能等，但这些指标都是电网暂态稳定直接法中的概念，在静态分析中没有明确的物理概念；也未能证明元件势能叠加后可以描述电网的有功承载能力。故其表征电网安全性的理论依据不足。 

相比电网中的定义，“势能”在力学中具有明确、严格的物理概念，且具唯一性。与电网的有功承载能力相似，弹性网的承载能力也取决于网架结构、支路强度、受力大小及分布。此前申请的专利“电网—弹性力学网络拓扑映射方法”(申请公布号：CN 102227084 A)，将电网映射成纵向受力的弹性力学网络(以下简称弹性网)模型，由于映射弹性网中支路方向相同，同向受力也满足叠加性，故总势能与总负载之间关联。所以，可通过映射弹性网的势能，分析对应电网的有功承载能力。 

发明内容

本发明“基于映射弹性势能的电网有功承载能力定量分析指标”，基于电网的映射弹性网模型，通过电网支路和弹性网支路的状态映射，分析了电网支路的映射弹性势能，采用势能叠加思路，得到电网映射弹性势能的求取方法。分析发现并算例验证，该映射弹性势能可表征电网的总体有功承载裕度和支路有功承载的均衡性：在一定的总有功负载情况下，其值越大，则电网的总体有功承载裕度越小，支路有功承载越不均衡；其值越小，则相反。所以可作为电网有功承载能力的定量分析指标。本发明充实了电网安全性分析的理论基础，可广泛应用于电网的规划、运行方式分析、在线调度等方面。 

附图说明

图1电网—弹性网拓扑映射，(1)电网，(2)映射弹性网 

图2等效映射弹性支路 

图3纵向等效映射弹性网 

图4新英格兰10机39节点系统 

图5新英格兰10机39节点系统的映射弹性网结构 

图6新英格兰10机39节点系统切断线路21-22后的映射弹性网结构 

图7新英格兰10机39节点系统切断线路15-16后的映射弹性网结构 

图87节点系统结构 

图94种负荷分配方案的映射弹性网结构，(1)出线负荷分配方案一，(2)出线负荷分配方案二，(3)出线负荷分配方案三，(4)出线负荷分配方案四 

具体实施方式

1.电网支路和弹性网支路的状态映射 

忽略电阻，设交流电网支路L两端节点为i、j，节点电压的相位差为θ_ij，电抗为X_L。当电网无功充沛时，U_i、U_j变化较小，可令则传输的有功为 

P_L＝Csinθ_ij               (1) 

令k_L=dP_L/dθ_ij，取名为L的映射弹性系数，由式(1)可得 

k_L＝Ccosθ_ij              (2) 

k_L＝P_L／tanθ_ij             (3) 

设F_l、x_l分别为弹性网支路l的作用力和伸长，弹性系数为k_l=dF_l／dx_l。建立L和l的状态量映射关系： 

$\left(\begin{array}{c}{P}_L=F_l\\ {\theta }_{\mathrm{ij}}=x_l\\ k_L=k_l\end{array}\right)---\left(4\right)$

与式(1)、(2)、(3)对应，l的状态量关系为 

$\left(\begin{array}{c}{F}_l=C\sin x_l\\ k_l=C\cos x_l\\ k_l=F_l/\tan x_l\end{array}\right)---\left(5\right)$

若θ_ij较小，L的状态量关系可近似线性化，由式(1)、(2)、(3)可得 

$\left(\begin{array}{c}{P}_L=k_L·{\theta }_{\mathrm{ij}}\\ k_L=C\end{array}\right)---\left(6\right)$

根据式(4)，对应的线性l的状态量关系为 

$\left(\begin{array}{c}{F}_l=k_l·x_l\\ k_l=C\end{array}\right)---\left(7\right)$

2.电网支路的映射弹性势能 

l拉伸后，弹性势能为外力对其做的功，即 

E_l＝∫F_ldx_l              (8) 

根据式(5)、(8)，得到弹性势能为 

$E_l=F_l\tan \frac{x_l}{2}=k_l\frac{{1-\cos x}_l}{{\cos x}_l}=\frac{{\cos x}_l}{1+{\cos x}_l}·\frac{{F_l}^2}{k_l}---\left(9\right)$

根据式(4)映射关系，得到L的映射弹性势能为 

$E_L=P_L\tan \frac{{\theta }_{\mathrm{ij}}}{2}=k_L\frac{1-{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}}{{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}}=\frac{{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}}{1+{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}}·\frac{{P_L}^2}{k_L}---\left(10\right)$

若θ_ij较小，l、L的状态量都近似为线性关系。由式(7)、(8)得到l的弹性势能为 

$E_l=\frac{1}{2}{F}_l{x}_l=\frac{1}{2}{k}_l{x_l}^2=\frac{{F_l}^2}{2k_l}---\left(11\right)$

根据式(4)映射关系，线路L的映射弹性势能为 

$E_L=\frac{1}{2}{P}_L{\theta }_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{2}{k}_L{{\theta }_{\mathrm{ij}}}^2=\frac{{P_L}^2}{{2k}_L}---\left(12\right)$

由于P_L、θ_ij、k_L与F_l、x_l、k_l的值对应相等，故E_L与E_l也满足映射关系，即 

E_l＝E_L               (13) 

3.电网的映射弹性势能 

根据公布的申请专利“电网—弹性力学网络拓扑映射方法”(申请公布号：CN 102227084A)，将电网映射成垂直受力的弹性网，且保持节点、支路的关联关系不变，如图1所示。 

设映射弹性网由n条支路构成，无论其支路是否为线性弹性支路，其总势能都满足叠加特性，即 

$E_{\mathrm{l\Sigma }}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_{\mathrm{li}}---\left(14\right)$

其中E_l∑和E_li分别为弹性网和其中第i条支路的势能。故电网的映射弹性势能为 

$E_{\mathrm{L\Sigma }}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_{\mathrm{Li}}---\left(15\right)$

其中E_L∑和E_Li分别为电网和其中第i条支路的映射弹性势能。 

由于弹性网中支路同向垂直，支路长度即为两端节点的高度差，节点高度对应电网节点电压的相位。若所有支路都为线性弹性支路，根据式(11)、(14)，可得线性弹性网的势能为 

$E_{\mathrm{l\Sigma }}=\frac{1}{2}\Sigma (F_{\mathrm{topi}}·x_{\mathrm{topi}})-\frac{1}{2}\Sigma (F_{\mathrm{botj}}·x_{\mathrm{botj}})---\left(16\right)$

其中，F_topi、x_topi为弹性网顶端节点的受力大小及高度，F_botj、x_botj为负载节点的受力大小及高度。若忽略电网的有功损耗，根据上式，线性电网的映射弹性势能为 

$E_{\mathrm{L\Sigma }}=\frac{1}{2}\Sigma (P_{\mathrm{topi}}·{\theta }_{\mathrm{topi}})-\frac{1}{2}\Sigma (P_{\mathrm{botj}}·{\theta }_{\mathrm{botj}})---\left(17\right)$

上式中，P_topi、θ_topi为电网中电源母线节点的注入有功和相位，P_botj、θ_botj为负荷节点的有功负荷和相位。 

4.映射弹性势能与电网总体有功承载裕度的关系 

由于映射弹性网中所有支路受力方向相同，故可用1条与该网势能E_l∑和总负载F_l∑都相等的弹性支路等效，设等效支路的长度为x_leq，如图2所示。由式(9)可得 

$E_{\mathrm{l\Sigma }}=F_{\mathrm{l\Sigma }}\tan \frac{x_{\mathrm{leq}}}{2}---\left(18\right)$

根据状态量映射关系，有 

$E_{\mathrm{L\Sigma }}=P_{\mathrm{L\Sigma }}\tan \frac{{\theta }_{\mathrm{Leq}}}{2}---\left(19\right)$

其中，E_l∑、P_L∑和θ_Leq为对应电网的映射势能、总有功负载和等效支路相位差。上式可见：当P_L∑为某一值时，若E_L∑越大，则θ_Leq越大；若E_L∑越小，θ_Leq越小。 

若等效支路为线性特性，根据式(11)、(12)，则有 

$\left(\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{l\Sigma }}=\frac{1}{2}{F}_{\mathrm{l\Sigma }}{x}_{\mathrm{leq}}\\ E_{\mathrm{L\Sigma }}=\frac{1}{2}{P}_{\mathrm{L\Sigma }}·{\theta }_{\mathrm{Leq}}\end{array}\right)---\left(20\right)$

同样，当P_L∑为某一值时，若E_L∑越大，则θ_Leq越大；若E_L∑越小，θ_Leq越小。 

在相同的总有功负载情况下，不同电网或同一电网在不同运行方式下，若E_L∑较大，则θ_Leq也较大，从总体上表明电网的有功承载裕度较小，承载能力较差，功角安全性较差。 

5.映射弹性势能与电网支路有功承载均衡性的关系 

由于电网支路有功不均衡，即使电网总体承载能力较强，某些支路也可能接近过载。若支路过载而自动切除，将可能引起连锁反应，造成电网局部解列，甚至瓦解。因此，要求指标能从内部角度，衡量电网支路承载的均衡性。 

电网有功承载的均衡，是指映射弹性系数较大的线路，应承载较大的有功。由于将电网映射成了纵向受力的弹性网，可将电源侧和负荷侧的关联节点以及之间的路径进行合并和等效，简化成图3所示的结构。 

如图3所示，设有n条支路，第i条对应的支路映射弹性系数、相位差和有功分别为k_Li、θ_Li和P_Li，总有功负荷为发现存在如下规律： 

若P_L∑=const.，当支路有功分配满足下式 

P_L1：P_l2：...：P_Ln=k_L1：k_L2：...：k_Ln          (21) 

则总映射弹性势能E_L∑最小。 

证明：根据式(10)、(15)可得 

$E_{\mathrm{L\Sigma }}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(P_{\mathrm{Li}}\tan -\frac{{\theta }_{\mathrm{Li}}}{2})---\left(22\right)$

上式中，θ_Li为第i条支路两端的相位差。采用拉格朗日极值法，构建以下拉格朗日方程 

$E=E_{\mathrm{L\Sigma }}-\lambda (\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{Li}}-P_{\mathrm{L\Sigma }})---\left(23\right)$

其中，λ为某常数。E_L∑为极值的条件是上式对支路功率的偏导数为零，即 

$\frac{\partial E}{{\partial P}_{\mathrm{Li}}}=\frac{{\partial E}_{\mathrm{L\Sigma }}}{{\partial P}_{\mathrm{Li}}}-\lambda \frac{\partial }{{\partial P}_{\mathrm{Li}}}(\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{Li}}-P_{\mathrm{L\Sigma }})=0---\left(24\right)$

故有 

$\frac{{\partial E}_{\mathrm{L\Sigma }}}{{\partial P}_{\mathrm{Li}}}-\lambda (1-0)=0---\left(25\right)$

由式(22)、(25)可得 

$\tan \frac{{\theta }_{L1}}{2}=\tan \frac{{\theta }_{L2}}{2}=...=\tan \frac{{\theta }_{\mathrm{Ln}}}{2}---\left(26\right)$

根据式(3)可知，式(26)与式(21)互为等价。即满足式(21)时，E_L∑为极值。 

若将交流线路简化映射为线性弹性支路，根据式(12)、式(15)可得 

$E_{\mathrm{L\Sigma }}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{Li}}{\theta }_{\mathrm{Li}}---\left(27\right)$

同样，采用拉格朗日极值法，得E_L∑的极值条件为 

θ_L1=θ_L2＝...＝θ_Ln               (28) 

根据式(6)可知，式(28)与(21)互为等价。 

所以，无论支路特性是线性还是非线性，满足式(21)时，即电网支路的有功承载最均衡时，E_L∑为极值。 

因为式(21)、(26)、(28)都是等价的，所以E_L∑极值点是唯一的。由问题本身可知最小势能一定存在，故满足式(21)时，E_L∑为最小值。 

证毕。 

以上分析表明，映射弹性势能可表征电网支路有功承载均衡性。当总有功负荷不变时，映射弹性势能越小，电网支路有功承载均衡性越好。 

6.算例分析 

6.1电网映射弹性势能的计算精度分析 

新英格兰10机39节点系统如图4。进行潮流计算，其中母线31为平衡节点，基准电压为345kV，基准容量为100MVA，映射弹性网结构如图5。 

基于非线性支路和线性支路映射，分别用式(15)和(17)得到该系统的电网映射弹性势能标幺值(基准值为100，不计量纲)，如表1所示。 

表1新英格兰10机39节点系统的电网映射弹性势能 

表1中，方法1是理论严格的求取方法，方法2的误差只有0.37％。可见，当电网支路两端相位差较小时(本算例中，电网所有支路两端的相位差最大不超过10°)，采用线性支路映射并忽略电网的有功损耗，电网的映射弹性势能误差很小。 

仿真结果，验证了第3节理论方法的可行性。 

6.2映射弹性势能与电网总体有功承载裕度的关系分析 

仍以新英格兰10机39节点系统为例。采用表1方法2计算，电网的映射弹性势能为4.536327，等效支路相位差为0.147520。 

在不切除电源和负荷并保持大小、分布不变的情况下，对电网支路依次做N-1，根据势能变化从大到小排序，取前6条线路，如表2所示。 

表2电网映射弹性势能增量 

表2表明，切除任一条电网支路后，电网的等效支路相位差都增大，表明其总体有功承载裕度变小，承载能力变弱；此外，映射弹性势能和等效支路相位差的增长同序，表明映射弹性势能越大，电网总体有功承载裕度越小。表1中，切除线路21-22后，映射弹性势能增量最大，电网总体有功承载裕度最小。 

为直观比较，分别切除线路21-22和15-16，电网的映射弹性网结构如图6、7。相对切除线路前的图5，可见，图6比图7的总体弹性伸长增加更为明显，结构更脆弱，有功承载能力下降更多。 

仿真结果验证了第4节的理论分析结果。 

6.3映射弹性势能与支路有功承载均衡性的关系分析 

图8所示7节点系统参数如表3、4所示，5条出线从左到右，长度比为600：400：300：240：200，弹性系数比近似为k₁：k₂：k₃：k₄：k₅=1：1.5：2：2.5：3。 

出线负荷大小如表5所示，其中有功负荷的特点为P₁：P₂：P₃：P₄：P₅=1：1.5：2：2.5：3。基准电压为500kV，基准容量为100WM。现有4种负荷分配方案，相应的映射弹性网结构如图9。图9中的节点高度对应电网节点相位，支路映射弹性系数(标幺值)和有功潮流(标幺值)标注在相应的支路旁边。 

采用式(10)、(15)，分别计算4负荷分配方案下的电网映射弹性势能，基准值为100，结果如表6所示。 

表3主变压器基本参数 

表4线路基本参数 

表5出线负荷(标幺值) 

表6出线负荷分配方案与映射弹性势能的关系 

表6可见，从方案1到方案4，出线和电网的映射弹性势能都递增。方案1中，出线的有功负荷比与映射弹性系数比相同时，即有功负荷分配最均衡时，电网的映射弹性势能最小；方案4中，出线有功负荷比与映射弹性系数比相反时，即有功负荷分配最不均衡时，映射弹性势能最大。 

图9可见，方案1中，出线的弹性伸长都相等，受力最均衡，表明出线的有功负荷分配最均衡；方案4中，出线的弹性伸长最不均衡，受力最不均衡，即有功负荷分配最不均衡。方案2、3，有功负荷分配的均衡性介于第1、4种情况之间。 

仿真结果验证了第5节的理论分析结果。 

7.结论 

在无功充沛的条件下，电网的有功承载能力取决于电网结构、支路承载能力、电源和负荷的大小及分布等诸多因素，很难定量分析。弹性网承载能力的取决因素与电网类似，在力学系统中，可应用物理概念明确的弹性势能，分析弹性网的承载特性。将电网映射成纵向受力的弹性网后，由于电网和弹性网中的状态量对应相等，状态量之间的关系一致，故弹性网的承载特性就是电网的有功承载特性。 

分析发现，从总体角度，映射弹性势能可以定量衡量电网的有功承载裕度；从内部角度，可以衡量电网支路有功承载的均衡性；且映射弹性势能变化时，总体承载裕度和内部承载均 衡性的变化趋势一致。因此，映射弹性势能可作为电网有功承载能力的定量分析指标。理论分析和仿真分析都表明：在一定的总有功负载情况下，映射弹性势能越大，电网有功承载能力越弱。 

本发明充实了电网安全性分析的理论基础，可广泛应用于电网的规划、运行方式分析、在线调度等方面。