基于分数阶微分梯度的随机噪声点检测算法

摘要

基于分数阶微分梯度的随机噪声点检测算法从分析图像中噪声特性出发，依据噪声是图像中局部特性的不连续点，噪声点像素相对应邻域像素的灰度发生了急剧的变化。从图像的频域分析来看，噪声相当于是高频信号，同为高频信号的边缘具有有序性、方向性和结构性的边缘属性特征，边缘的这种变化在临近的像素中会有类似的表现。而噪声即使成片出现，临近的噪声点像素的之间也无确定的对应关系。本算法利用分数阶微分梯度算子检测图像中像素点灰度值的变化，并为此构建了28个方向的分数阶微分梯度算子，用于检测图像相邻像素在对应28个可能边缘方向的梯度变化，并选择了合适的数理统计方法，用于确定图像中噪声点的位置。

说明书

技术领域：信息技术

背景技术：在信息技术快速发展的今天，数字图像处理已经成为人们获取信息的重要手段。在图像获取、转换与传输等过程中，常受到成像设备自身因素与外界环境条件影响，导致所成图像上出现一些随机、离散或孤立的点，即图像噪声。无论是改进成像设备还是减少环境干扰，噪声都无法避免，这些噪声恶化了图像质量，使其模糊，甚至淹没了它们的特征，给人们日常的图像应用分析都带来了困难。尤其是当硬件设备的改进受到限制时，只能通过图像去噪方法提高图像质量。图像去噪是图像处理中基础而重要的技术，是图像恢复、图像压缩、图像分割、图像识别等处理过程的预处理。图像去噪的目的是有效抑制了噪声，为后续处理提供更为精确的信息。图像去噪在整个图像工程中占据重要的位置，它是图像处理的初始步骤，能够提高图像的质量，使得高层处理更加准确，决定了后续工作包括模式识别、图像分割、特征提取等的可行性和准确性。

到目前为止，图像去噪方法从大方向上可以分为空间域去噪法和变换域去噪法两大类。空间域去噪法直接在空间域对图像进行操作，早期比较经典的方法有噪声门限法、邻域平均法、加权平均，中值滤波，维纳滤波等。这些方法对去除脉冲噪声有一定效果。然而对图像中的所有的像素点进行处理，将改变图像中未被噪声污染的像素点，所以在有效去除噪声的同时，也模糊了图像的边缘和细节等重要特征。而变换域图像去噪方法其基本思路是：首先对含有噪声的图像进行某种变换，将图像从空域转到变换域，然后利用某种方法对变换域中的系数进行处理，再进行反变换，将图像从变换域转回空域，以此来达到对图像去噪的目的。其中，比较经典的变换工具有傅里叶变换(Fourier transform)、拉普拉斯变换(Laplaciantransform)、小波变换(wavelet transform)以及多尺度变换(multi-scale transform)等。这类图像去噪存在主要的矛盾就是去除噪声与保留图像边缘细节的矛盾。由于图像的边缘细节信息与噪声都会分布在高频系数中，而对图像去噪的处理大多也是集中在高频系数部分，这样使一些含有边缘细节信息的高频系数丢失，导致去噪后的重建图像出现边缘模糊的现象。为了缓解这类矛盾，很多学者也提出了基于边缘保护的图像去噪方法。基于边缘保护的图像去噪方法，又会出现如何有效、准确地检测到图像的边缘信息的问题。实际上图像细节和边缘含有高频分量，同时噪声虽然以高频成分为主，但也含有低频成分。因此，图像信息和噪声在频带上的重叠，是造成基于变换域去噪方法存在缺陷的根本原因。

图像去噪的目的是在去除图像噪声的同时尽好地保留图像细节以及尽可能少地引入假信号。目前，对于完全散乱数据点的噪声处理，还没有一个快速、简洁的方法。基于分数阶微分梯度的随机噪声点检测算法可以用于确定图像中随机噪声点的位置，这样去噪运算将只对噪声点像素进行处理，以便在噪声去除和图像细节保留两方面同时达到最优。

发明内容：基于分数阶微分梯度的随机噪声点检测算法从分析图像中噪声特性出发，依据噪声是图像中局部特性的不连续点，噪声点像素相对应邻域像素的灰度发生了急剧的变化。从图像的频域分析来看，噪声相当于是高频信号，同为高频信号的边缘具有有序性、方向性和结构性的边缘属性特征，边缘的这种变化在临近的像素中会有类似的表现。而噪声即使成片出现，临近的噪声点像素的之间也无确定的对应关系。本算法利用分数阶微分梯度算子检测图像中像素点灰度值的变化，并为此构建了28个方向的分数阶微分梯度算子，用于检测图像相邻像素在对应28个可能边缘方向的梯度变化，并选择了合适的数理统计方法，用于确定图像中噪声点的位置。

附图说明：

附图1分数阶微分梯度28个方向示意图以图形的方式说明了以图像中某一像素点与其周边的8可能构成边缘的28个方向，构建的分数阶微分梯度的方向。

附图2以方向从像素A到O再到B为例说明了D_AOB方向的分数阶微分梯度掩膜的构建。

附图3表示的是剪短后的D_AOB方向的5×5分数阶微分梯度掩模。

附图4未添加噪声的人工图像附图5添加噪声后的人工图像

附图6一附图33为28个方向的梯度检测图

附图6D_AOB方向的梯度检测图               附图7D_AOC方向的梯度检测图

附图8D_AOD方向的梯度检测图               附图9D_AOE方向的梯度检测图

附图10D_AOF方向的梯度检测图              附图11D_AOG方向的梯度检测图

附图12D_AOH方向的梯度检测图              附图13D_BOC方向的梯度检测图

附图14D_BOD方向的梯度检测图              附图15D_BOE方向的梯度检测图

附图16D_BOF方向的梯度检测图              附图17D_BOG方向的梯度检测图

附图18D_BOH方向的梯度检测图              附图19D_COD方向的梯度检测图

附图20D_COE方向的梯度检测图              附图21D_COF方向的梯度检测图

附图22D_COG方向的梯度检测图              附图23D_COH方向的梯度检测图

附图24D_DOE方向的梯度检测图              附图25D_DOF方向的梯度检测图

附图26D_DOG方向的梯度检测图              附图27D_DOH方向的梯度检测图

附图28D_EOF方向的梯度检测图              附图29D_EOG方向的梯度检测图

附图30D_EOH方向的梯度检测图              附图31D_FOD方向的梯度检测图

附图32D_FOH方向的梯度检测图              附图33D_GOH方向的梯度检测

附图34检测出的噪声点位置               附图35实际添加噪声点位置

附图36未添加噪声的自然图像             附图37添加噪声后的自然图像

附图38--附图65为28个方向的梯度检测图

附图38D_AOB方向的梯度检测图             附图39D_AOC方向的梯度检测图

附图40D_AOD方向的梯度检测图             附图41D_AOE方向的梯度检测图

附图42D_AOF方向的梯度检测图             附图43D_AOG方向的梯度检测图

附图44D_AOH方向的梯度检测图             附图45D_BOC方向的梯度检测图

附图46D_BOD方向的梯度检测图             附图47D_BOE方向的梯度检测图

附图48D_BOF方向的梯度检测图             附图49D_BOG方向的梯度检测图

附图50D_BOH方向的梯度检测图             附图51D_COD方向的梯度检测图

附图52D_COE方向的梯度检测图             附图53D_COF方向的梯度检测图

附图54D_COG方向的梯度检测图             附图55D_COH方向的梯度检测图

附图56D_DOE方向的梯度检测               附图57D_DOF方向的梯度检测图

附图58D_DOG方向的梯度检测               附图59D_DOH方向的梯度检测图

附图60D_EOF方向的梯度检测               附图61D_EOG方向的梯度检测图

附图62D_EOH方向的梯度检测图             附图63D_FOG方向的梯度检测图

附图64D_FOH方向的梯度检测图             附图65D_GOH方向的梯度检测

附图66检测出的噪声点位置               附图67实际添加噪声点位置

具体实施方式：分数阶微分是整数阶微分的一种扩展与延拓，将分数阶微积分引入到图像处理领域本身就是一种探索，同时由于工程界对其研究时间不长。因此，具体实施从分数阶滤波器的实现开始介绍。

1、分数阶微分(FIR)滤波器的实现

分数阶微分滤波器可以由整数阶微分滤波器推演获得，分数阶微分有限冲击(FIR)滤波器的传递函数如下：

$>D^v\left(z\right)={\left(\frac{1-z^{-1}}{T}\right)}^v---\left(1\right)$>

式中v为微分阶数，利用二项式级数展开式并用-z^-1代替x，上式可以写为

$>\left(\begin{array}{c}{D}^v\left(z\right)=\frac{1}{T^v}(1-{\mathrm{vz}}^{-1}+\underset{i=2}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{v(v-1)...(v-i+1)}{i!}{\left({-z}^{-1}\right)}^{-i})\\ =\frac{1}{T^v}\underset{i=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}{(-1)}^i\frac{\Gamma (v+1)}{\Gamma (i-1)\Gamma (v-i+1)}{z}^{-i}\end{array}\right)---\left(2\right)$>

为了用于实现，选取合适的N通过截短可以得到一阶向后有限差分近似公式：

$>D^v\left(z\right)={\left(\frac{1-z^{-1}}{T}\right)}^v\approx \frac{1}{T^v}\underset{i=0}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^i\frac{\Gamma (v+1)}{\Gamma (i+1)\Gamma (v-i+1)}{z}^{-i}---\left(3\right)$>

式中T为采样周期，z为位移算子，Γ(·)为Gamma函数。

2、分数阶微分梯度及其算子

根据(3)式，可以获得一维信号的差分方程：

$>\frac{d^{v}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^v}\approx f\left(t\right)+(-v)f(t-1)+\frac{v(v-1)}{2}f(t-2)+...+{(-1)}^n\frac{\Gamma (v+1)}{n!\Gamma (v-n+1)}f(t-n)---\left(4\right)$>

根据式(4)写出差分方程右边的前n项$>a_0=1,a_1=-v,a_2=\frac{v(v-1)}{2},a_3=\frac{-v(v-1)(v-2)}{6},$>$>a_4=\frac{v(v-1)(v-2)(v-3)}{24},...,a_n={(-1)}^n\frac{\Gamma (v+1)}{n!\Gamma (v-n+1)}.$>

当分数微分滤波器的传递函数中v为1和2时，分别对应于一阶和二阶微分。

$>\left(\begin{array}{cc}{D}^1\left(z\right)=\frac{1-z^{-1}}{T}& D^2\left(z\right)=\frac{{(1-z^{-1})}^2}{T^2}=\frac{1}{T^2}(1-{2z}^{-1}+z^{-2})\end{array}\right)---\left(5\right)$>

由此可以获得信号的一阶差分微分方程：

$>\frac{\mathrm{df}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}f\left(t\right)-f(t-1)--\left(6\right)$>

信号的二阶差分微分方程：

$>\frac{d^{2}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^2}=f\left(t\right)-2f(t-1)+f(t-2)---\left(7\right)$>

由此可以看出整数阶微分只是分数阶微分的特例，分数阶微分实际上表示任意阶。对于数字图像，依据信号的差分方程可以获得不同方向的分数阶微分梯度的计算公式。

3、28个方向的分数阶微分梯度模板的构建

假设中心点像素为O，其周围八个像素点分别为A，B，C，D，E，F，G，H。以中心点像素O为基准，与其周围八个像素点组成的边缘方向，利用组合公式计算可得共28个方向。因此可能出现的边缘方向依次为D_AOB，D_AOC，D_AOD，D_AOE，D_AOF，D_AOG，D_AOH，D_BOC，…，D_EOH，D_FOG，D_FOH，D_GOH。具体边缘检测的方向可以参见附图1分数阶微分梯度28个方向示意图。根据式(4)构建D_AOB方向的分数阶微分梯度掩模如附图2所示。其中梯度掩膜的系数如下：$>a_3=\frac{-v(v-1)(v-2)}{6},a_4=\frac{(v-1)(v-2)(v-3)}{24},...,a_n{(-1)}^n\frac{\Gamma (v+1)}{n!\Gamma (v-n+1)}.$>选择前n项，通过截断的方式完成具体实现。为不使滤波器误差太大，选择分数阶差分定义的前三项，构造了如下不同方向的5×5的分数阶微分梯度掩模。D_AOB方向的5×5分数阶微分梯度掩模如附图3所示。其它方向的梯度模板于此相似，一共构造28个方向的梯度掩膜。

4、具体实现过程：首先选取微分阶数v，通过运算获得28个方向的分数阶微分梯度模板，然后使用28个方向的分数阶微分梯度模板与噪声图像进行卷积运算，分别得到28个不同方向的分数阶微分梯度图。分别计算28个方向梯度图的均值取整并加2-3作为阈值，可获取28个梯度方向的梯度检测图。结合多个方向的梯度图，通常选5-7个方向，通过与运算。消除梯度图中在某些方向上无梯度跳变的点，即图像中的边缘，即可获取检测出的噪声点位置。为说明本算法的有效性，分别对人工图像和自然图像添加随机噪声，并使用本算法进行检测。

人工图像：在人工图像中加入强度值为90-177的随机噪声，原始图像和加入噪声后的图像如附图4和附图5所示：选取微分阶数v=0.5，使用28个方向分数阶微分梯度模板进行卷积运算，并通过阈值判断后得到对应28个梯度方向发生跳变的点，即梯度检测图如附图4至图33所示。选取D_AOB，D_AOC，D_AOD，D_AOE，D_AOF，D_AOG，D_AOH等7个方向梯度检测图，通过与运算获得检测出的噪声点位置图如附图34与实际添加噪声点位置附图35。为衡量本算法的有效性定义以下参数：

检错率=误检率+漏检率

本例的人工图像为300×300的图像，随机添加强度为90-177的噪声点共1052个，正确检测的有920，漏检的有132，误检的2个。因此噪声检测率为87.4％，漏检率为12.5％，误检率为0.2％，以及检错率为12.7％。

自然图像：在自然图像中加入强度值为90-170的随机噪声，未加噪声的图像和加入噪声后的图像如附图36和附图37所示：选取微分阶数v=0.5，使用28个方向分数阶微分梯度模板进行卷积运算，并通过阈值判断后获取的28个方向的梯度检测图如附图38至附图65所示。选取D_AOB，D_AOC，D_AOD，D_AOE，D_AOF，D_AOG，D_AOH等7个方向的梯度检测图，通过与运算可获得检测出的噪声点位置图如附图66与实际添加噪声点位置附图67。本例的自然图像为332×481的图像，随机添加强度为90-170的噪声点共1170个，正确检测的有1085，漏检的有85，误检的1.87个。因此噪声检测率为92.7％，漏检率为7.3％，误检率为16％，以及检错率为23.3％。