一种基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法

摘要

本发明公开了一种基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法，主要包含两部分：基于名义值模型设计轨迹跟踪控制器和设计神经网络全调节补偿控制器，将两个控制器的控制输出相结合，作为微陀螺仪的控制输入。本发明利用了模型控制方法的优势，同时采用了神经网络强大的逼近能力，在线实时地估计并补偿建模误差和外界扰动作用，能够极大提高追踪性能和系统的鲁棒性，基于Lyapunov稳定性理论设计神经网络权值、高斯函数的中心和基宽的自适应算法，能够保证闭环系统的全局稳定性以及控制输入的有界性。

说明书

技术领域

本发明涉及微陀螺仪的控制方法，特别是涉及一种基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法。

背景技术

微机械陀螺仪（MEMS Gyroscope）是利用微电子技术和微加工技术加工而成的用来感测角速度的惯性传感器。它通过一个由硅制成的振动的微机械部件来检测角速度，因此微机械陀螺仪非常容易小型化和批量生产，具有成本低和体积小等特点。近年来，微机械陀螺仪在很多应用中受到密切地关注，例如，陀螺仪配合微机械加速度传感器用于惯性导航、在数码相机中用于稳定图像、用于电脑的无线惯性鼠标等等。但是，由于生产制造过程中不可避免的加工误差以及环境温度的影响，会造成原件特性与设计之间的差异，导致微陀螺仪存在参数不确定性，难以建立精确的数学模型。再加上工作环境中的外界扰动作用不可忽略，使得微陀螺仪的轨迹追踪控制难以实现，且鲁棒性较低。传统的控制方法完全基于微陀螺仪的名义值参数设计，且忽略正交误差和外界扰动的作用，虽然在大部分情况下系统仍是稳定的，但追踪效果远不理想，这种针对单一环境设计的控制器具有很大的使用局限性。

国内对于微陀螺仪的研究目前主要集中在结构设计及制造技术方面，以及上述的机械补偿技术和驱动电路研究，很少出现用先进控制方法补偿制造误差和控制质量块的振动轨迹，以达到对微陀螺仪的完全控制和角速度的测量。国内研究微陀螺仪的典型机构为东南大学仪器科学与工程学院及东南大学微惯性仪表与先进导航技术重点实验室。

国际上的文章有将各种先进控制方法应用到微陀螺仪的控制当中，典型的有自适应控制和滑模控制方法。这些先进方法一方面补偿了制作误差引起的正交误差，另一方面实现了对微陀螺仪的轨迹控制。但自适应控制对外界扰动的鲁棒性很低，易使系统变得不稳定。

由此可见，上述现有的陀螺仪在使用上，显然仍存在有不便与缺陷，而有待加以进一步改进。为了解决现有的陀螺仪在使用上存在的问题，相关厂商莫不费尽心思来谋求解决之道，但长久以来一直未见适用的设计被发展完成。

发明内容

本发明的目的在于，克服现有的微陀螺仪控制方法存在的缺陷，特别是提高微陀螺仪系统在存在模型不确定、参数摄动以及外界扰动力等各种干扰情况下，对理想轨迹的追踪性能和整个系统的鲁棒性，而提供一种基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法。

本发明的目的及解决其技术问题是采用以下技术方案来实现的，依据本发明提出的一种基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法，包括以下步骤：

（1）建立微陀螺仪的理想动力学方程；

（2）建立微陀螺仪的非量纲动力学方程；

（3）设计名义控制器，所述名义控制器是基于微陀螺仪的名义值模型设计的轨迹跟踪控制器，具体为，由于微陀螺仪的动力学方程中，D,K,Ω均为未知参数，设它们的名义值为D₀,K₀,Ω₀，将控制器的控制输出u₁设计为，

$>u_1={\stackrel{..}{q}}_d-k_v\stackrel{.}{e}-k_{p}e+D_0\stackrel{.}{q}+K_{0}q+{2\Omega }_0\stackrel{.}{q};---\left(7\right)$>

其中，q_d为微陀螺仪的理想轨迹，q为微陀螺仪的运动轨迹，e＝q-q_d为跟踪误差，k_v，k_p为正定对称的常数矩阵，$>k_p=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2\end{array}\right),k_v=\left(\begin{array}{cc}2\alpha & 0\\ 0& 2\alpha \end{array}\right),$>α为常数；

（4）设计神经网络全调节补偿控制器，具体为：

4-1）定义模型误差f为：

$>f=\tilde{D}\stackrel{·}{q}+\tilde{K}q+2\tilde{\Omega }\stackrel{·}{q}+d---\left(10\right)$>

4-2）设计神经网络全调节补偿控制器，用神经网络逼近未知的模型误差f(x)，神经网络的输出即为模型误差f(x)的估计值，本发明采用RBF神经网络，神经网络的输出为，

$>\hat{f}\left(x\right)={\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)$>

将神经网络全调节补偿控制器的输出u₂设计为

$>u_2=-\hat{f}\left(x\right)$>

其中，$>\tilde{D}=D_0-D,\tilde{K}=K_0-K,\tilde{\Omega }={\Omega }_0-\Omega ;$>x为神经网络输入向量，$>x=\left(\begin{array}{c}e\\ \stackrel{·}{e}\end{array}\right),$>θ为神经网络权值向量，是神经网络权值向量的估计值，φ(x)为各神经网络隐层节点输出的组合向量，是φ(x)的估计值；

（5）将名义控制器和神经网络全调节补偿控制器相结合，作为微陀螺仪的控制输入，即u＝u₁+u₂    （19）

其中，$>u_1={\stackrel{··}{q}}_d-k_v\stackrel{·}{e}-k_{p}e+D_0\stackrel{·}{q}+K_{0}q+{2\Omega }_0\stackrel{·}{q},u_2=-{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right);$>

（6）设计Lyapunov函数，选取自适应律，

所述Lyapunov函数V为，

$>V=\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Px}+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\tilde{\theta }\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)+\frac{1}{2}{\tilde{\phi }}^T\Lambda \tilde{\phi }---\left(21\right)$>

所述自适应律设计为，

$>\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}=\stackrel{·}{\hat{\theta }}={\gamma }^{-1}\hat{\phi }{x}^T\mathrm{PB}---\left(24\right)$>

$>\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}=\stackrel{·}{\hat{\phi }}={\Lambda }^{-1}\hat{\theta }{B}^T\mathrm{Px}---\left(25\right)$>

其中，γ,Λ，P，Q为对称正定矩阵，γ,Λ＞0，P和Q满足PA+A^TP＝-Q，$>A=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ -K_p& {-K}_v\end{array}\right);$>为神经网络权值向量的估计误差，为神经网络权值向量的理想值，为神经网络隐层节点输出向量的估计误差，为神经网络隐层节点输出的理想值；

（7）对所述步骤（6）的自适应律进行离散化，得到神经网络权值、高斯函数的中心和基宽的自适应算法，保证闭环系统的全局稳定性，用下述表示：

神经网络权值的自适应算法为，$>{\hat{\theta }}_i(n+1)={\hat{\theta }}_i\left(n\right)-{\eta }_1\frac{\partial \hat{f}}{\partial {\theta }_i^T}{x}^T\left(n\right)P\left(n\right)B\left(n\right)$>

高斯函数的中心的自适应算法为，$>{\hat{c}}_i(n+1)={\hat{c}}_i\left(n\right)+{\eta }_3\frac{\partial \hat{\phi }\left(n\right)}{\partial {{\hat{c}}_i}^T}{\hat{\theta }B}^{T}P\left(n\right)x\left(n\right)$>

高斯函数的基宽的自适应算法为，$>{\hat{\sigma }}_i(n+1)={\hat{\sigma }}_i\left(n\right)+{\eta }_4\frac{\partial \hat{\phi }\left(n\right)}{\partial {{\hat{\sigma }}_i}^T}{\hat{\theta }B}^{T}P\left(n\right)x\left(n\right),$>

其中，n为离散变量的采样指针，i为第i基宽和中心向量的第i列，为RBF神经网络的输出，η₁，η₃，η₄，为可适当调节的标量。

前述的理想动力学方程描述如下：

x_d＝A₁sin(ω₁t),y_d＝A₂sin(ω₂t)    （3）

其中ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振动频率，ω₁≠ω₂，且都不为零，A₁、A₂分别为微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振幅，t是时间；

将理想动力学方程写成向量形式为：

$>{\stackrel{··}{q}}_d+k_d{q}_d=0---\left(4\right)$>

其中，$>q=\left(\begin{array}{c}{x}_d\\ y_d\end{array}\right)$>为理想运动轨迹，$>k_d=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1^2& 0\\ 0& {\omega }_2^2\end{array}\right).$>

前述的建立微陀螺仪的非量纲动力学方程为：

2-1）考虑到制造误差和外界干扰作用，两轴微陀螺仪的动力学方程为：

$>\left(\begin{array}{c}m\stackrel{··}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+d_x+2m{\Omega }_z\stackrel{·}{y}\\ m\stackrel{··}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y=u_y+d_y-2m{\Omega }_z\stackrel{·}{x}\end{array}\right)---\left(1\right)$>

其中，m为质量块的质量；x,y分别为质量块沿驱动轴和感测轴的位置；d_xx,d_xy,d_yy为微陀螺仪的阻尼系数，k_xx,k_xy,k_yy为微陀螺仪的弹性系数；Ω_z是微陀螺仪工作环境中的角速度；u_x,u_y是控制输入；d_x,d_y是外界干扰；

2-2）对模型进行非量纲化处理，得到非量纲化的动力学方程的向量形式，

$>{\stackrel{··}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}+K^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\Omega }^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}+d^{*}$>

其中，$>q^{*}=\frac{q}{q_0},q=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),D^{*}=\frac{D}{{\mathrm{mw}}_0},D=\left(\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right),K=\left(\begin{array}{cc}{w}_x^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& w_y^2\end{array}\right),$>

$>{w_x}^2=\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{w_0}^2},{w_y}^2=\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{w_0}^2},w_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{w_0}^2},u^{*}=\frac{u}{m{w_0}^2{q}_0},u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right),{\Omega }^{*}=\frac{\Omega }{w_0},$>

$>\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& -{\Omega }_z\\ {\Omega }_z& 0\end{array}\right),d^{*}=\frac{d}{m{w_0}^2{q}_0},d=\left(\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\end{array}\right);$>

2-3）为了计算方便，重新用q代替q^*，用D代替D^*，用K代替K^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，用d代替d^*，

上述非量纲向量方程重写为：

$>\stackrel{··}{q}+D\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=u-2\Omega \stackrel{·}{q}+d---\left(2\right)$>

其中，$>q=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$>为微陀螺仪的运动轨迹，$>u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right)$>为微陀螺仪的控制输入。前述的RBF神经网络选用三层结构，输入层，隐层和输出层；所述输入层接收可测量信号输入x；所述隐层采用高斯基函数计算非线性映射后的输出；所述输出层通过加权各隐层节点的输出得到整个RBF网络的输出，用数学描述RBF神经网络模型如下：

$>\left(\begin{array}{c}{y}_i=\underset{j=1}{\overset{n_2}{\Sigma }}{\omega }_{\mathrm{ij}}{\phi }_j,i=\mathrm{1,2},···n_2\\ {\phi }_j\left(x\right)=\exp \left(\right||x-c_j||/{\sigma }_j),j=\mathrm{1,2}···n_3\end{array}\right)---\left(12\right)$>

其中，n₂,n₃分别表示隐层节点个数和输出层节点个数；ω_ij表示第i个隐藏节点到第j个输出的网络权值；y_i表示RBF神经网络的输出；φ_j(x)为隐层节点输出；c_j,σ_j分别表示各隐层节点的中心向量和基宽；

RBF神经网络模型写成向量形式为：

y＝θ^Tφ(x)    （13）

θ^T＝[ω_ij]为网络权值组成的向量，φ(x)＝[φ_j(x)]为各隐层节点输出组成的向量。

本发明与现有技术相比，优点在于：

（1）微陀螺仪的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和环境干扰；

（2）基于Lyapunov方法设计神经网络权值、高斯函数的中心和基宽的自适应算法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性以及控制输入的有界性；

（3）将基于名义值模型设计的控制方法的优势和神经网络强大的逼近能力相结合，在线实时地估计并补偿建模误差和外界扰动作用，大大提高了微陀螺仪的动态特性，提高了系统对外界干扰的鲁棒性；

（4）本发明对微陀螺仪的控制不需要建立在对象精确建模的基础上，节省了建模的费用，更加适于实用，且具有产业上的利用价值。。

附图说明

图1为本发明简化的微振动陀螺仪模型；

图2为本发明的具体实施例中微陀螺仪x轴的轨迹跟踪曲线；

图3为本发明的具体实施例中微陀螺仪y轴的轨迹跟踪曲线；

图4为本发明的具体实施例中微陀螺仪跟踪误差响应曲线；

图5为本发明的具体实施例中x轴神经网络全调节逼近模型误差的曲线图；

图6为本发明的具体实施例中y轴神经网络全调节逼近模型误差的曲线图。

具体实施方式

为更进一步阐述本发明为达成预定发明目的所采取的技术手段及功效，以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提出的一种基于名义控制器的神经网络全调节控制方法其具体实施方式、结构、特征及其功效，详细说明如后。

本发明的基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法，包括如下步骤：

(1)建立微陀螺的非量纲动力学模型

考虑进制造误差和外界干扰作用，微机械陀螺仪的动力学方程为：

$>\left(\begin{array}{c}m\stackrel{··}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+d_x+2m{\Omega }_z\stackrel{·}{y}\\ m\stackrel{··}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y=u_y+d_y-2m{\Omega }_z\stackrel{·}{x}\end{array}\right)---\left(1\right)$>

式中，m为质量块的质量；x,y分别为质量块沿驱动轴和感测轴的位置；d_xx,d_xy,d_yy为微陀螺仪的阻尼系数，k_xx,k_xy,k_yy为微陀螺仪的弹性系数，未知且缓慢时变；Ω_z是微陀螺仪工作环境中的角速度，也是未知量；u_x,u_y是控制输入；d_x,d_y是外界干扰作用。

对模型进行非量纲化处理，定义非量纲时间t^*＝w₀t，方程（1）两边同除以两轴固有频率的平方w₀²、参考长度q₀和质量块质量m，得到非量纲化的动力学方程的向量形式

$>{\stackrel{··}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}+K^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\Omega }^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}+d^{*}$>

其中，$>q^{*}=\frac{q}{q_0},q=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),D^{*}=\frac{D}{{\mathrm{mw}}_0},D=\left(\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right),K=\left(\begin{array}{cc}{w}_x^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& w_y^2\end{array}\right),$>

$>{w_x}^2=\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{w_0}^2},{w_y}^2=\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{w_0}^2},w_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{w_0}^2},u^{*}=\frac{u}{m{w_0}^2{q}_0},u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right),{\Omega }^{*}=\frac{\Omega }{w_0},$>

$>\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& -{\Omega }_z\\ {\Omega }_z& 0\end{array}\right),d^{*}=\frac{d}{m{w_0}^2{q}_0},d=\left(\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\end{array}\right);$>

为了计算方便，重新用q代替q^*，用D代替D^*，用K代替K^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，用d代替d^*，

上述非量纲向量方程重写为：

$>\stackrel{··}{q}+D\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=u-2\Omega \stackrel{·}{q}+d---\left(2\right)$>

其中，$>q=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$>为微陀螺仪的运动轨迹，$>u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right)$>为微陀螺仪的控制输入。

（2）建立理想动力学模型

微陀螺仪的理想动态特性是一种无能量损耗，两轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，可以描述如下：

x_d＝A₁sin(ω₁t),y_d＝A₂sin(ω₂t)   （3）

其中ω₁、ω₂分别是微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振动频率，ω₁≠ω₂，且都不为零，A₁、A₂分别为微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振幅，t是时间；

参考模型写成向量形式为：

$>{\stackrel{··}{q}}_d+k_d{q}_d=0---\left(4\right)$>

其中，$>q=\left(\begin{array}{c}{x}_d\\ y_d\end{array}\right)$>为理想运动轨迹，$>k_d=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1^2& 0\\ 0& {\omega }_2^2\end{array}\right).$>

（3）设计名义控制器，具体为设计基于微陀螺仪的名义值模型的轨迹跟踪控制器，

如果系统设计精确，且无外界干扰，即d＝0，则控制器的输出u₁可以设计为：

$>u_1={\stackrel{··}{q}}_d-k_v\stackrel{·}{e}-k_{p}e+D\stackrel{·}{q}+Kq+2\Omega \stackrel{·}{q}---\left(5\right)$>

将控制器的输出u₁作为微陀螺仪的控制输入，带入方程式（2）中，则得到闭环系统表达式：

$>\stackrel{··}{e}+k_v\stackrel{·}{e}+k_{p}e=0---\left(6\right)$>

其中，q_d为理想的微陀螺仪轨迹，e＝q-q_d为跟踪误差，k_v、k_p为正定、对称的常矩阵，由设计者确定，一般取$>k_p=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2\end{array}\right),k_v=\left(\begin{array}{cc}2\alpha & 0\\ 0& 2\alpha \end{array}\right),$>α为常数，可以使系统满足一定的动态特性和稳定性。

但实际上，微陀螺仪动力学模型中的D,K,Ω均为未知变动参数，所以设它们的名义值为D₀,K₀,Ω₀，那么控制器的输出u₁变为：

$>u_1={\stackrel{··}{q}}_d-k_v\stackrel{·}{e}-k_{p}e+D_0\stackrel{·}{q}+K_{0}q+{2\Omega }_0\stackrel{·}{q}---\left(7\right)$>

将控制器的输出u₁作为微陀螺仪的控制输入，带入方程式（2）中，可以得到:

$>\stackrel{··}{q}+D\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}={\stackrel{··}{q}}_d-k_v\stackrel{·}{e}-k_{p}e+D_0\stackrel{·}{q}+K_{0}q+{2\Omega }_0\stackrel{·}{q}-2\Omega \stackrel{·}{q}+d---\left(8\right)$>

设$>\tilde{D}=D_0-D,\tilde{K}=K_0-K,\tilde{\Omega }={\Omega }_0-\Omega ,$>则得到闭环系统：

$>\stackrel{··}{e}+k_v\stackrel{·}{e}+k_{p}e=\tilde{D}\stackrel{·}{q}+\tilde{K}q+2\tilde{\Omega }\stackrel{·}{q}+d---\left(9\right)$>

由式（9）可以看到，由于系统的不确定性和外界干扰的存在，虽然仍能保证系统地稳定性，但是微陀螺仪的动态性能和鲁棒性都会大大降低，因此有必要设计一个补偿控制器，提高系统地动态特性和跟踪误差。

（4）设计神经网络全调节补偿控制器，具体为，

定义模型误差f如下：

$>f=\tilde{D}\stackrel{·}{q}+\tilde{K}q+2\tilde{\Omega }\stackrel{·}{q}+d---\left(10\right)$>

将（9）式改写成状态空间形式:

$>\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bf}---\left(11\right)$>

其中，$>x=\left(\begin{array}{c}e\\ \stackrel{·}{e}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ -k_p& -k_v\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ I\end{array}\right),x\in R^{4\times 1},A\in R^{4\times 4},B\in R^{4\times 2},$>由此可知，A,B是常数向量，x仅是f的函数，那么f(·)可以表示为f(x)，由于神经网络有强大的跟踪能力，因此可以利用神经网络的近似特性识别未知的f(x)。

本发明选用RBF神经网络，选用三层结构：输入层，隐层和输出层。输入层接受系统中的可测量信号输入x；隐层采用高斯基函数计算非线性映射后的输出；输出层通过加权各隐层节点的输出得到整个RBF神经网络的输出，用数学描述RBF神经网络模型如下：

$>\left(\begin{array}{c}{y}_i=\underset{j=1}{\overset{n_2}{\Sigma }}{\omega }_{\mathrm{ij}}{\phi }_j,i=\mathrm{1,2},···n_2\\ {\phi }_j\left(x\right)=\exp \left(\right||x-c_j||/{\sigma }_j),j=\mathrm{1,2}···n_3\end{array}\right)---\left(12\right)$>

式中，n₂,n₃分别表示隐层节点个数和输出层节点个数，而输入信号x的维数记为n₁；ω_ij表示第i个隐藏节点到第j个输出的网络权值；y_i表示RBF神经网络输出；φ_j(x)为隐层节点输出；c_j,σ_j分别表示各隐层节点的中心向量和基宽。现有文献已经证明，RBF网络能够以任意精度逼近任意光滑的非线性函数，本发明中的RBF网络的中心向量、基宽和权值在线实时更新。

RBF神经网络模型的向量形式为：

y＝θ^Tφ(x)    （13）

其中，θ^T＝[ω_ij]为网络权值组成的向量，φ(x)＝[φ_j(x)]为各隐层节点输出组成的向量，x为神经网络输入向量。

用神经网络逼近未知的模型误差f(x)，神经网络的输出即为模型误差f(x)的估计值，将神经网络全调节补偿控制器的输出u₂设计为

$>u_2=-\hat{f}\left(x\right)$>

根据RBF神经网络模型式（13），可以得到神经网络的输出

$>\hat{f}\left(x\right)={\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)$>

则

$>u_2=-{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)---\left(14\right)$>

其中为神经网络权值向量的估计值，为神经网络隐藏节点输出向量的估计值。

可以假设给定一个常数矩阵ε₀，存在一个理想的权值向量θ^*和一个理想的隐层节点数n^*，使RBF神经网络的理想输出满足：

$>\max \left|\right|\hat{f}(x,{\theta }^{*})-f\left(x\right)\left|\right|\le {ϵ}_0$>

定义η为使用神经网络后的建模误差：

$>\eta =f\left(x\right)-\hat{f}(x,{\theta }^{*})---\left(15\right)$>

其中，η有上界η₀：

$>{\eta }_0=\sup \left|\right|f\left(x\right)-\hat{f}(x,{\theta }^{*})\left|\right|---\left(16\right)$>

式（11）可以写成：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+B\{\hat{f}(x,{\theta }^{*})-+[f\left(x\right)-\hat{f}(x,{\theta }^{*})\left]\right\}\\ =\mathrm{Ax}+B[\hat{f}(x,{\theta }^{*})+\eta \end{array}\right)---\left(17\right)$>

式中，θ^*是理想的神经网络权值，

根据RBF神经网络模型式（13）可以得到理想输出为：

$>\hat{f}(x,{\theta }^{*})={\theta }^{*T}{\phi }^{*}\left(x\right)---\left(18\right)$>

其中θ,φ(x)均为未知变量，需要调节θ、c_i、σ_i得到较好的跟踪效果。

（5）将名义控制器和神经网络全调节补偿控制器相结合，作为微陀螺仪的控制输入，那么新的控制输入可以表示为：

u＝u₁+u₂    （19）

其中，

$>u_1={\stackrel{··}{q}}_d-k_v\stackrel{·}{e}-k_{p}e+D_0\stackrel{·}{q}+K_{0}q+{2\Omega }_0\stackrel{·}{q}---\left(7\right)$>

$>u_2=-{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)---\left(14\right)$>

带入微陀螺仪动力学方程后，闭环系统可以表示为：

$>\stackrel{··}{e}+k_v\stackrel{·}{e}+k_{p}e=\tilde{D}\stackrel{.}{q}+\tilde{K}q+2\tilde{\Omega }\stackrel{·}{q}+d-{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)$>

状态空间形式为:$>\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bf}-{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)$>

即

$>\stackrel{·}{x}\mathrm{Ax}+B[{\theta }^{*T}{\phi }^{*}\left(x\right)+\eta -{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }\left(x\right)]---\left(20\right)$>

式中，

$>A=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ -k_p& -k_v\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ I\end{array}\right),x\in R^{4\times 1},A\in R^{4\times 4},B\in R^{4\times 2},k_p=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2\end{array}\right),k_v=\left(\begin{array}{cc}2\alpha & 0\\ 0& 2\alpha \end{array}\right),$>

要使得α＞0，则A为稳定矩阵。

（6）设计Lyapunov函数，选取自适应律，

定义权值向量的估计误差为，神经网络隐层节点输出向量的估计误差为，定义Lyapunov函数V为：

$>V=\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Px}+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\tilde{\theta }\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)+\frac{1}{2}{\tilde{\phi }}^T\Lambda \tilde{\phi }---\left(21\right)$>

式中，γ,Λ，P，Q为对称正定矩阵，γ,Λ＞0，P和Q满足：

PA+A^TP＝-Q    （22）

对Lyapunov函数V求导得：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}=\frac{1}{2}{x}^{T}P\stackrel{·}{x}+\frac{1}{2}{\stackrel{·}{x}}^T\mathrm{Px}+\mathrm{tr}\left(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda \tilde{\phi }\\ =-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}+x^T\mathrm{PB}{\theta }^{*T}{\phi }^{*T}\left(x\right)-x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T{\hat{\phi }}^T\left(x\right)+\mathrm{tr}\left(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda \tilde{\phi }\\ =-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}+x^T\mathrm{PB}({\hat{\theta }}^T\hat{\phi }-{\hat{\theta }}^T\tilde{\phi }-{\tilde{\theta }}^T\hat{\phi }+{\tilde{\theta }}^T\tilde{\phi })-x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T{\hat{\phi }}^T\left(x\right)+\mathrm{tr}\left(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda \tilde{\phi }\\ =-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}+x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T\hat{\phi }-x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T\tilde{\phi }-x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\tilde{\phi }+x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T\tilde{\phi }-x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T{\hat{\phi }}^T\left(x\right)+\mathrm{tr}\left(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)\\ =-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}-x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T\tilde{\phi }-x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\hat{\phi }+x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\tilde{\phi }+\mathrm{tr}\left(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }\gamma }{\tilde{\theta }}^T\right)+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda \tilde{\phi }\\ =-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}-x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T\tilde{\phi }-x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\hat{\phi }+\mathrm{tr}\left(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma {\tilde{\theta }}^T\right)+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda \tilde{\phi }\\ =-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}+({\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda -x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T)\tilde{\phi }+[\mathrm{tr}(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }\gamma }{\tilde{\theta }}^T-x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\hat{\phi })\end{array}+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\right)\Lambda \tilde{\phi }$>

推倒过程中，由于和都很小，相乘更小，故项为0。

已知$>x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\hat{\phi }=\mathrm{tr}\left(x^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\hat{\phi }\right)=\mathrm{tr}\left(\hat{\phi }{x}^T\mathrm{PB}{\tilde{\theta }}^T\right),$>则可以得到：

$>\stackrel{·}{V}=-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}+({\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda -x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T)\tilde{\phi }+\mathrm{tr}\left[(\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma -\hat{\phi }{x}^T\mathrm{PB}){\tilde{\theta }}^T\right]---\left(23\right)$>

我们设定：$>{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}}^T\Lambda -x^T\mathrm{PB}{\hat{\theta }}^T=0,\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}\gamma -\hat{\phi }{x}^T\mathrm{PB}=0,$>

又由于$>\tilde{\theta }=\hat{\theta }-{\theta }^{*},\tilde{\phi }=\hat{\phi }-{\phi }^{*},$>θ*和φ*为常数，故$>\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}=\stackrel{·}{\hat{\theta }},\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}=\stackrel{·}{\hat{\phi }}$>

则选取自适应律有：

$>\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}=\stackrel{·}{\hat{\theta }}={\gamma }^{-1}\hat{\phi }{x}^T\mathrm{PB}---\left(24\right)$>

$>\stackrel{·}{\stackrel{~}{\phi }}=\stackrel{·}{\hat{\phi }}={\Lambda }^{-1}\hat{\theta }{B}^T\mathrm{Px}---\left(25\right)$>

选取自适应律后：

$>\stackrel{·}{V}=-\frac{1}{2}{x}^T\mathrm{Qx}+{\eta }^T{B}^T\mathrm{Px}---\left(26\right)$>

由||η^T||≤η₀,||B^TP||≤||P||，有：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}\le -\frac{1}{2}{\lambda }_{\min }\left(Q\right){\left|\right|x\left|\right|}^2+{\eta }_0{\lambda }_{\max }\left(P\right)\left|\right|x\left|\right|\\ =-\frac{1}{2}\left|\right|x\left|\right|\left[{\lambda }_{\min }\left(Q\right)\right|\left|x\right||-2{\eta }_0{\lambda }_{\max }\left(P\right)]\end{array}\right)---\left(27\right)$>

为了使得那么要使：$>{\lambda }_{\min }\left(x\right)\ge \frac{{2\lambda }_{\max }\left(P\right)}{\left|\right|x\left|\right|}{\eta }_0,$>

其中，λ_min(P)和λ_max(P)分别是P的最小特征值和最大特征值，

根据数学上的离散化方法，将自适应律进行离散化，得到离散形式的神经网络权值自适应算法：

$>{\hat{\theta }}_i(n+1)={\hat{\theta }}_i\left(n\right)-{\eta }_1\frac{\partial \hat{f}}{\partial {\theta }_i^T}{x}^T\left(n\right)P\left(n\right)B\left(n\right)---\left(28\right)$>

得到离散形式的高斯函数的中心和基宽自适应算法：

$>{\hat{c}}_i(n+1)={\hat{c}}_i\left(n\right)+{\eta }_3\frac{\partial \hat{\phi }\left(n\right)}{\partial {{\hat{c}}_i}^T}{\hat{\theta }B}^{T}P\left(n\right)x\left(n\right)---\left(29\right)$>

$>{\hat{\sigma }}_i(n+1)={\hat{\sigma }}_i\left(n\right)+{\eta }_4\frac{\partial \hat{\phi }\left(n\right)}{\partial {{\hat{\sigma }}_i}^T}{\hat{\theta }B}^{T}P\left(n\right)x\left(n\right)---\left(30\right)$>

式中，n为离散变量的采样指针，i为第i基宽和中心向量的第i列，为RBF神经网络的输出，η₁，η₃，η₄，为可适当调节的标量。

最后，进行计算机仿真分析

为了更加直观地显示本发明提出的基于名义控制器的神经网络全调节的控制方法的有效性，现利用数学软件MATLAB/SIMULINK对本控制方案进行计算机仿真实验。选取非量纲的微陀螺仪的参数为：

$>w_x^2=355.3,w_y^2=532.9,w_{\mathrm{xy}}=70.99,$>

d_xx＝0.01,d_yy＝0.01,d_xy＝0.002,Ω_z＝0.1

假设微陀螺仪参数的名义值为：D₀＝0.9*D,K₀＝0.9*K,Ω₀＝0；

理想的x轴和y轴轨迹为：x_d＝cos(6.17t),y_d＝cos(5.11t)；

微陀螺仪的初始状态为：x(0)＝[0;0;0;0]；

取11个隐藏节点，神经网络权值向量每个元素的初始值为0，基宽的每个初值设计为2，中心初值从[-1-1-1-1]以0.2的步长变化为[1111]；

自适应律参数Q尽量取大一些以保证追踪效果，Q＝10*I,其中I为四阶矩阵；

k_v,k_p中取α＝2；

取式（28）、（29）、（30）中η₁＝η₃＝η₄＝0.05；

外界干扰取：

d＝[10*((sin(6.17*t))²+2*cos(6.17*t));10*((sin(5.11*t))²+2*cos(5.11*t))]；

在以上各控制器参数的情形下，运行仿真程序，得到发明具体实施例的仿真结果曲线如图2至图6所示。

图2和图3分别为微陀螺仪两轴轨迹跟踪曲线，其中，虚线为理想轨迹，实线为微陀螺仪的实际运动轨迹，由图可以看出，微陀螺仪的X，Y轴输出轨迹很快能跟踪上理想的轨迹；

图4为两轴追踪误差响应曲线，可以看到跟踪误差迅速收敛为零；

图5和图6中，实线为实际模型误差f，虚线为RBF神经网络的输出可以证明模型误差f能够被RBF神经网络全调节有效的逼近，追踪误差大大减小，且有效的改善了微陀螺仪系统的动态特性和对外界干扰的鲁棒性。因此，仿真结果证明了RBF神经网络全调节的有效性。

从以上仿真图可以看出，本发明提出的控制方法对微陀螺仪的轨迹跟踪有着很好的控制效果，大大提高了微陀螺仪系统的追踪性能和鲁棒性，对微陀螺仪两轴振动轨迹的高精度控制提供了理论依据和仿真基础。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的技术知识。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上大的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本方明技术方案的范围内。