建立车辆与地面耦合的一体式动力学模型的方法

摘要

本发明涉及一种建立车辆和地面耦合的一体式动力学模型的方法，该方法将车辆的多体动力学模型与地面的有限单元模型都集成到一个模型内，它一方面从数学上涵盖了车辆与地面的力学关系；另一方面，从求解过程中也反映出它们之间的耦合关系，再以此计算地面的坐标和总应变，然后再根据地面的力学特性、屈服方程、流动准则、地面的变形状态去计算地面的弹性力矢量Q

说明书

技术领域

本发明涉及一种建立车辆和地面耦合的一体式动力学模型的方法，属 于建立车辆与地面耦合动力学模型的方法技术领域。

背景技术

车辆的研发过程中，需要充分考虑车辆与不同地面之间的耦合特性， 从而使得车辆能够适应各种地面的特性，减少颠簸，打滑等情况。

车辆—地面耦合动力学模型是分析和研究车辆动力特性、舒适性等的 重要基础。

目前所有商业多体动力学软件都不能真正地与连续体地面力学模型进 行一体化耦合，只能简单地用一些力学中的经验公式或模型（比如BEKKER 公式或模型）进行力和位移的计算，而且这些商业多体动力学软件都不适 合大变形的地面情形。具体来说：

1）目前所有商业多体动力学软件都不能与连续体地面力学模型进行一 体化耦合，它们通常需要两个独立的计算程序来解决车辆与地面的耦合问 题，因此这些商业多体动力学软件只能在两个软件间交换状态变量和力信 息，却不能统一处理必须满足多体动力学算法中有关位置、速度、加速度 要求的代数约束方程，这样就不可能真正解决车辆与地面的动力学耦合问 题。

2）而且这些商业多体动力学软件都不适合解决地面的大变形情形，如 塑形变形问题。

发明内容

本发明需要解决的技术问题是：目前所有商业多体动力学软件都不能 与连续体地面力学模型进行一体化耦合，它们通常需要两个独立的计算程 序来解决车辆与地面的耦合问题，因此这些商业多体动力学软件只能在两 个软件间交换状态变量和力信息，却不能统一处理必须满足多体动力学算 法中有关位置、速度、加速度要求的代数约束方程，这样就不可能真正解 决车辆与地面的动力学耦合问题。

本发明采取以下技术方案：

一种建立车辆与地面耦合的一体式动力学模型的方法，包括以下步骤：

a)建立绝对节点坐标系：

单元j上任意点位置矢量r^j表示成全局坐标系XYZ成 r^j＝S^j(x^j,y^j,z^j)e^j(t)，在该方程中x^j,y^j,和z^j是单元的空间坐标，S^j是 形状函数矩阵，e^j是时刻t时单元节点坐标矢量,节点坐标矢量e^jk在节点k 的表达式是式一:

$e^{\mathrm{jk}}={\left[r^{\mathrm{jkT}}{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial x}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial y}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial z}^j}\right)}^T\right]}^T;$

广义连续体力学方法计算格林-拉格朗日应变张量ε＝(J^TJ-I)/2, 这里J是位置矢量斜率矩阵，它在节点k的表达式是式二:

$J^{\mathrm{jk}}={\left[{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial x}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial y}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial z}^j}\right)}^T\right]}^T;$

左柯西-格林变形张量表示为这里下标e、p分别表 示弹性、塑形；对于剑桥粘土地面模型，其弹性柯西-格林变形张量表示 为，$C_l^e=J^e{J}^{\mathrm{eT}}=J{\left(C_l^p\right)}^{-1}{J}^T;$

b)建立地面有限单元或变形体动力方程:

对于地面有限单元或变形体，实际功原理可以表示为式三：

${\int }_V\rho {\stackrel{··}{r}}^T\mathrm{\delta rdV}+\underset{V}{\int }{\sigma }_{P2}:\mathrm{\delta ϵdV}-\underset{V}{\int }{f}_b^T\mathrm{\delta rdV}=0,$

这里V是单元体积，ρ是质量密度，r任意点的位置向量,f_b是体力 向量，式三中的第二项用广义内力表示为式四：

${\mathrm{\delta W}}_s=\underset{V}{\int }{\sigma }_{P2}:\mathrm{\delta ϵdV}=Q_s^T\mathrm{\delta e},$

这里δe绝对节点坐标有限单元上节点坐标的变化值，Q_s是广义内力， 这样式三能够进一步导出为运动方程，即式五：

$M\stackrel{..}{e}+Q_s-Q_e=0,$

其中，M是固定不变的系统质量矩阵，Q_s是广义内力矩阵，Q_e是单 元外加节点力矩阵；

c)建立一体化车辆-地面耦合模型的运动方程：

建立一体化车辆-地面耦合运动方程的增量形式，并用方程表示为式 六：$\left(\begin{array}{cccc}{M}_{\mathrm{rr}}& M_{\mathrm{rf}}& 0& C_{q_r}^T\\ M_{\mathrm{fr}}& M_{\mathrm{ff}}& 0& C_{q_f}^T\\ 0& 0& M_{\mathrm{aa}}& C_{q_a}^T\\ C_{q_r}& C_{q_f}& C_{q_a}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{..}{q}}_r\\ {\stackrel{..}{q}}_f\\ {\stackrel{..}{q}}_a\\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{Q}_r\\ Q_f\\ Q_a\\ Q_c\end{array}\right),$方程中下标r,f和a分 别表示相对坐标，弹性坐标和绝对节点坐标，M_rr,M_rf,M_fr,M_ff是浮 动坐标公式中的分惯性矩阵,M_aa是绝对节点坐标中的固定系统质量矩阵， C_q是约束点雅各比矩阵，λ拉格朗日乘子矩阵，Q_r,Q_f,和Q_a分别是相 对坐标，弹性坐标和绝对节点坐标中的广义力矩阵，Q_c是二次速度矩阵， 在相对坐标方程中广义坐标q_r和q_f用来描述经历较小变形的刚体 和柔性体运动,在绝对节点坐标中的矢量q_a用来描述经历较大变形和塑形 变形的柔性体运动,矢量q_a包括所有ANCF单元的节点坐标；质量矩阵M_aa包括绝对节点坐标中的地面单元和车辆部件的质量矩阵，质量矩阵M_aa通过 乔莱斯基坐标变换成统一的质量矩阵；使用乔莱斯基转换矩阵B_c和，节点 坐标e表示成乔莱斯基坐标p形式的e＝B_cp；广义力矩阵Q_a包括车辆-地面耦 合的相互作用中的内力矩阵Q_s和节点力矩阵Q_e；

d)求解所述式六的方程：车体能够确定加速度矢量和和拉格 朗日乘子λ;地面坐标就是有限单元节点上的坐标，即q_a=e，加速度矢量用 来求地面的坐标e和速度r＝S(x,y,z)e(t)，地面的坐标根据式二：

$J^{\mathrm{jk}}={\left[{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial x}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial y}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial z}^j}\right)}^T\right]}^T$来求地面的总应变量， ε＝(J^TJ-I)/2，总应变量包括弹性应变ε^e和塑形应变ε^p2个部分，它们分别 对应于J^e和J^p；对应于总变形、弹性变形和塑形变形的右柯西-格林变形张 量分别表示为$C_r=J^{T}J,C_r^e={\left(J^e\right)}^T{J}^e,C_r^p={\left(J^p\right)}^T{J}^p,$因此弹性 柯西-格林应变张量表示为对于各向同性材料来说，左柯 西-格林变形张量C_l表示为C_l＝JJ^T，其弹性柯西-格林变形张量根据 公式$C_l^e=J^e{J}^{\mathrm{eT}}=J{\left(C_l^e\right)}^{-1}{J}^T$计算出来；这样，体积应变值是${ϵ}_v^e={ϵ}^e·\delta ,$偏应变矢量是其中δ＝[1 1 1]^T；偏应变值为

${ϵ}_s^e=\sqrt{2/3}\left|\right|e^e\left|\right|;$

柯西应力向量σ_K的主方向与弹性左变形向量的主方向是一样的， 柯西应力张量计算表示为式七：${\sigma }_K=2(\partial \psi /{\partial C}_l^e){C_l^e}_{=}\mathrm{P\delta }+\sqrt{2/3}Q\hat{n},$这里，

$P=(\partial \psi /{\partial ϵ}_v^e)=P_0{e}^{\Omega (1+\frac{3\alpha {\left({ϵ}_s^e\right)}^2}{2\hat{K}}),}$$Q=\partial \psi /{\partial ϵ}_s^e=3({\mu }_0-{\mathrm{\alpha P}}_0{e}^{\Omega }){ϵ}_s^e$

这里ψ是储能函数，即 P₀是屈服曲面上的硬 化参数，是弹性压缩比，α，μ₀是常数；同时，2 阶皮奥拉-基尔霍夫应力张量可以表示为σ_P2＝J^-1σ_KJ^-1T，该应力张量 与应变张量一起去计算式四中的绝对节点坐标力矢量Q_s。由于地面的特 性、屈服方程、流动准则都已包含在上述的公式中，因此，上述方程，即 式六所表示的结构允许将所有地面的模型系统地代入到复杂车辆使用的 多体动力学模型中。

通过式三，将车辆的多体动力学模型与地面的有限单元模型都集成到 一个方程内，它一方面从数学上涵盖了车辆与地面的力学关系，如惯性矩 阵，质量矩阵，广义力矩阵，约束点雅各比矩阵等。另一方面，从求解过 程中也反映出它们之间的耦合关系，即，通过先求解车辆的加速度矢量， 再以此计算地面的坐标和总应变，然后再根据地面的力学特性、屈服方程、 流动准则、地面的变形状态（弹性或塑形变形）去计算地面的弹性力矢量Q_s等，最后再将这些弹性力矢量带回式三中进行新一轮的计算，通过这样的 循环迭代去完成全时域的车辆和地面的所有变形、运动和受力状态等的计 算过程。

由于地面的大变形或塑形变形，所以单元的描述不仅要有位移坐标还 要有转动坐标，即位移斜率坐标，从这一点来说，绝对节点坐标方法都具 备，而其他方法不具备。

本发明的有益效果在于：

1）提供了建立车辆与地面耦合的一体式动力学模型的方法，将车辆的 多体动力学模型与地面的有限单元模型都集成到一个模型内，实现了与连 续体地面力学模型进行一体化耦合。

2）真正解决了车辆与地面的动力学耦合问题。

3）适用于解决地面的大变形情形，如塑形变形问题。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进一步说明。

本发明的目的是这样实现的：

1.建立绝对节点坐标系

绝对节点坐标单元不是采用无限小的旋转或有限旋转作节点坐标，而 是用节点处的绝对斜率和位移作节点坐标。单元j上任意点位置矢量r^j可以 表示成全局坐标系XYZ成r^j＝S^j(x^j,y^j,z^j)e^j(t)，在该方程中x^j,y^j,和z^j是单元的空间坐标，S^j是形状函数矩阵，e^j是时刻t时单元节点坐标矢量。 节点坐标矢量e^jk在节点k的表达式是:

$e^{\mathrm{jk}}={\left[r^{\mathrm{jkT}}{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial x}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial y}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial z}^j}\right)}^T\right]}^T---\left(1\right)$

对于完全参数化的绝对节点坐标单元不仅不排除使用弹性力学的公 式，而且允许使用广义连续体力学方法计算Green-Lagrange（格林-拉格朗 日）应变张量ε＝(J^TJ-I)/2,这里J是位置矢量斜率矩阵，它在节点k 的表达式是:

$J^{\mathrm{jk}}={\left[{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial x}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial y}^j}\right)}^T{\left(\frac{{\partial r}^{\mathrm{jk}}}{{\partial z}^j}\right)}^T\right]}^T---\left(2\right)$

根据绝对节点坐标方法的描述，左Cauchy-Green(柯西-格林)变形张量 C_l可以表示为C_l＝JJ^T。在大应变的塑性变形公式中，可以使用乘法 分解式J＝J^eJ^p，这里J^e相应于弹性变形的位置矢量斜率矩阵,J^p相应于塑性变形的位置矢量斜率矩阵。同样，左Cauchy-Green(柯西-格林) 变形张量可表示为这里下标e、p分别表示弹性、塑形。 对于Cam-Clay地面模型，其弹性Cauchy-Green（柯西-格林）变形张量可表示为，完全参数化的绝对节点坐标板单 元和体单元能保证在节点处位置斜率的连续性以及车体碾压而产生的地面 几何形状的变化。

2.建立地面有限单元或变形体动力方程

对于地面有限单元或变形体，实际功原理可以表示为：

${\int }_V\rho {\stackrel{··}{r}}^T\mathrm{\delta rdV}+\underset{V}{\int }{\sigma }_{P2}:\mathrm{\delta ϵdV}-\underset{V}{\int }{f}_b^T\mathrm{\delta rdV}=0---\left(3\right)$

这里V单元体积，ρ是质量密度，r任意点的位置向量,f_b是体力向 量。方程(3)中的第二项可以用广义内力表示为

${\mathrm{\delta W}}_s=\underset{V}{\int }{\sigma }_{P2}:\mathrm{\delta ϵdV}=Q_s^T\mathrm{\delta e}---\left(4\right)$

这里δe绝对节点坐标有限单元上节点坐标的变化值，Q_s是广义内 力。这样方程(3)可以进一步导出为下列运动方程：

$M\stackrel{..}{e}+Q_s-Q_e=0---\left(5\right)$

式中，M是固定不变的系统质量矩阵，Q_s是广义内力矩阵，Q_e是 单元外加节点力矩阵。

3.建立一体化车辆-地面耦合模型的运动方程

由于ANCF有限单元可以将包含约束节点和大变形在内的所有单元和约 束的统一在一个方程内，这样就能建立一个统一的求解车辆多体动力学模 型和地面力学模型相互耦合的计算程序，而不是过去的两个独立的计算程 序。根据节点方程和运动方程，一体化车辆-地面耦合运动方程的增量形式 可表示如下：

$\left(\begin{array}{cccc}{M}_{\mathrm{rr}}& M_{\mathrm{rf}}& 0& C_{q_r}^T\\ M_{\mathrm{fr}}& M_{\mathrm{ff}}& 0& C_{q_f}^T\\ 0& 0& M_{\mathrm{aa}}& C_{q_a}^T\\ C_{q_r}& C_{q_f}& C_{q_a}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{..}{q}}_r\\ {\stackrel{..}{q}}_f\\ {\stackrel{..}{q}}_a\\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{Q}_r\\ Q_f\\ Q_a\\ Q_c\end{array}\right)---\left(6\right)$

式中下标r,f和a分别表示相对坐标，弹性坐标和绝对节点坐标， M_rr,M_rf,M_fr,M_ff是浮动坐标公式中的分惯性矩阵,M_aa是 绝对节点坐标中的固定系统质量矩阵，C_q是约束点雅各比矩阵，λ拉格朗 日乘子矩阵，Q_r,Q_f,和Q_a分别是相对坐标，弹性坐标和绝对节点坐 标中的广义力矩阵，Q_c是二次速度矩阵，也就是，在相对 坐标方程中广义坐标q_r和q_f用来描述经历小变形的刚体和柔性体运动, 在绝对节点坐标中的矢量q_a用来描述经历大变形和塑形变形的柔性体运 动,矢量q_a包括所有ANCF单元的节点坐标。质量矩阵M_aa包括绝对节点 坐标中的地面单元和车辆部件的质量矩阵，该矩阵可以通过Cholesky(乔莱 斯基)坐标变换成统一的质量矩阵，它是一个优化的稀疏矩阵。使用 Cholesky(乔莱斯基)转换矩阵B_c和，节点坐标e可以表示成Cholesky(乔 莱斯基)坐标p形式的e＝B_cp。广义力矩阵Q_a包括车辆-地面耦合的相互 作用中的内力矩阵Q_s和节点力矩阵Q_e。由于地面的特性、屈服方程、流 动准则都已包含在上述的公式中，因此，方程（6）的结构允许将所有地面 的模型系统地代入到复杂车辆使用的多体动力学模型中。

通过式三，将车辆的多体动力学模型与地面的有限单元模型都集成到 一个方程内，它一方面从数学上涵盖了车辆与地面的力学关系，如惯性矩 阵，质量矩阵，广义力矩阵，约束点雅各比矩阵等。另一方面，从求解过 程中也反映出它们之间的耦合关系，即，通过先求解车辆的加速度矢量， 再以此计算地面的坐标和总应变，然后再根据地面的力学特性、屈服方程、 流动准则、地面的变形状态（弹性或塑形变形）去计算地面的弹性力矢量Q_s等，最后再将这些弹性力矢量带回式三中进行新一轮的计算，通过这样的 循环迭代去完成全时域的车辆和地面的所有变形、运动和受力状态等的计 算过程。

由于地面的大变形或塑形变形，所以单元的描述不仅要有位移坐标还 要有转动坐标，即位移斜率坐标，从这一点来说，绝对节点坐标方法都具 备，而其他方法不具备。

上述实施例仅为本发明的优选实施例，并不用来限制本发明的保护范 围，本领域的普通技术人员在本实施例的启发下，可以做出修改和变化， 均在本发明的保护范围之内。