用于位置伺服系统的部分周期重复控制器

摘要

本发明涉及了一种位置伺服系统重复控制器，给定环节产生周期对称的参考信号；构造周期反馈环节；基于离散时间单位向量连续化吸引律形成理想误差动态；依据误差动态方程，构造信号变换模块，其输出信号用于重复控制器的修正量；将当前的控制器计算获得的信号作为伺服对象的输入。具体的控制器参数整定工作可依据表征系统收敛性能的指标进行，且提供了表征跟踪误差收敛过程的单调减区域、绝对吸引层和稳态误差带边界。闭环系统能够完全消除周期对称干扰信号，实现位置伺服系统跟随参考信号变化。本发明提供了一种能够显著减少内存占用空间、且有效抑制对称干扰、提高控制精度的周期重复控制器。

说明书

技术领域

本发明涉及一种适于部分周期对称参考信号的位置伺服系统重复控制器，也适用于工业场合中的周期运行过程。

背景技术

为了跟踪周期参考信号/抑制周期干扰，重复控制器具有“记忆”和“学习”特性，它以跟踪误差信号修正前一周期的控制输入，形成当前的控制输入。这种重复控制技术已应用于旋转电机、硬盘驱动、VCD/DVD、UPS、电力电子线路以及电能质量控制等。

目前获得的重复控制理论结果集中于基于内模原理的分析与设计。如果某信号被看作是一个自治系统的输出，将该信号的产生多项式置入稳定的闭环系统中，被控量的输出将能够完全跟踪参考信号。重复控制器构造周期信号内模为：

$>\frac{1}{1-e^{-\mathrm{Ts}}}$>

其中T为给定信号的周期，它是一个含周期时延(e^-Ts)的正反馈环节。不考虑输入信号的具体形式，只要给定初始段信号，内模输出就会对输入信号逐周期累加，重复输出与上周期相同的信号。采用连续内模的重复控制器设计多是频域设计。实际工程中采用计算机控制技术，控制系统多是以离散时间方式实现。离散重复控制器设计主要有两种途径：一种是通过对连续重复控制器离散化得到；另一种是直接针对离散时间系统进行设计。取采样间隔T_s，使得参考信号周期为采样间隔的整数倍，记每个周期中的采样点个数为N，即T＝NT_s。这样，离散周期信号内模为：

$>\frac{1}{1-z^{-N}}$>

离散内模的计算复杂程度取决于采样周期T_s，实现离散周期内模时所需内存量至少为N。如果T_s取得过大，系统控制精度降低；取得过小，内模的阶次将会增加。

重复控制实现时需考虑减少控制器的内存占用量的问题。在Hoog的专利(Hoog T J D.Repetitive controller having reduced memory elements.UnitedStates Patent,US 7265932B2,2007)中，对于满足

x(t+T/2)＝-x(t)

的半周期对称信号，提出一种半周期重复控制内模，构造重复控制器，使得内存占用量，比整周期重复控制的内存使用量减少一半。Costa-Castello等提出奇次谐波重复控制方法，它能够有效利用信号的半周期对称性，提出的奇次谐波信号内模，也减少了一半内存占用量(Costa-Castello R,Grino R,Fossas E.Odd-Harmonic digital repetitive control of a single-phase current activefilter.IEEE Transactions on Power Electronics,2004,19(4):1060-1068)。上述重复控制器的设计是在频域进行的。

发明内容

为了克服整周期重复控制器未考虑参考信号的对称性质和占用内存量较大的缺陷，本发明旨在提供一种部分周期对称参考信号下，能够显著减少内存占用空间，有效抑制对称干扰，具有较高性价比的部分周期重复控制器，且设计过程在时域进行。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种适于1/M周期对称参考信号的位置伺服系统重复控制器(M＝2,3,4…)，被控对象为重复伺服系统，其输入输出特性为：

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k  (1)

其中，d表示延迟，u_k和y_k分别表示k时刻的输入和输出信号，w_k为k时刻的干扰信号；A(q^-1)和B(q^-1)为关于q^-1的多项式：

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀+b₁q^-1+…+b_mq^-m

这里，q^-1是一步延迟算子，n为A(q^-1)的阶数，m为B(q^-1)的阶数；a₁,…,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0；d为整数，且d≥1。

给定参考信号r_k，该参考信号具有1/M周期对称特性：

P1.r_k＝±r_k′  (2)

或

P2.r_k＝±r_k-N/M  (3)

这里，k′＝(ceil(Mk/N)-1)(2N/M)-k,k＞N/M；M、N均为正整数，且N＞M；

其中，ceil(·)表示返回大于或者等于(·)的最小整数。r_k′，r_k-N/M分别表示k′，k-N/M时刻的参考信号。

根据参考信号的1/M周期对称特性，构造等效干扰d_k，其形式可针对情形P1、P2分别给出。

对于P1

对于P2

其中，w_k′，w_k-N/M分别表示k′，k-N/M时刻的干扰信号。

构造的离散时间形式的吸引律为

$>e_{k+1}=(1-\rho )e_k-ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }---\left(6\right)$>

其中，e_k＝r_k-y_k表示跟踪误差，ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，δ为单位向量连续化参数；其取值范围为：ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0。

对于情形，误差动态方程为

将误差方程(7)代入吸引律(6)，

上述控制器的实现，需要给出式中d_k+1的补偿值并以代替d_k+1。这样，本发明提供的1/M周期重复控制器具有如下形式

记

控制器表达式为：

u_k＝±u_k′+v_k  (8)

对于情形，进行1/M周期重复控制器设计，需先给出误差动态方程

将误差方程(9)代入吸引律(6)，

$>-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}]$>

为了实现上述控制器，需给出上式中d_k+1的补偿值并以替代d_k+1。这样，本发明提供的1/M周期重复控制器具有如下形式

$>-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}]$>

记

$>v_k^{\prime }={\left[q^{-d+1}B\left(q^{-1}\right)\right]}^{-1}[r_{k+1}+y_{k+1-N/M}+q(A\left(q^{-1}\right)-1)(y_k+y_{k-N/M})-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}],$>

控制器表达式为：

$>u_k=\pm u_{k-N/M}+v_k^{\prime }---\left(10\right)$>

这里，可认为是一种干扰抑制作用，用于抑制干扰信号d_k+1的影响。

具有干扰抑制项的误差动态方程。将u_k作为伺服对象的控制输入信号，可量测获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。将控制器式(8)代入式(7)，或将式(10)代入式(9)，可以得到下述具有干扰抑制项的理想误差动态方程：

$>e_{k+1}=(1-\rho )e_k-ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }+d_{k+1}^{*}-d_{k+1}---\left(11\right)$>

上述也即“嵌入”了干扰抑制作用的吸引律。

进一步地，所述1/M周期重复控制器的参数包括吸引速度常数ρ、ε，单位向量连续化参数δ，理想误差动态干扰的界Δ。控制器参数整定可根据表征系统收敛性能的指标进行，这些指标是单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL，稳态误差带边界Δ_SSE，其具体表达式为

(1)单调减区域(Δ_MDR)

$>{\Delta }_{\mathrm{MDR}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \Delta \delta }}}{2\rho },& 0<ϵ<\frac{(1-2\rho )(2\Delta +\delta )}{2}\\ 2\Delta ,& ϵ=\frac{(1-2\rho )(2\Delta +\delta )}{2}\\ \frac{ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta +\sqrt{{(ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta )}^2+4(1-\rho )\mathrm{\Delta \delta }}}{2(1-\rho )},& ϵ>\frac{(1-2\rho )(2\Delta +\delta )}{2}\end{array}\right)$>

其中，Δ为扰动d_k的界值；

(2)绝对吸引层(Δ_AAL)

$>{\Delta }_{\mathrm{AAL}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \Delta \delta }}}{2\rho },& 0<ϵ<(1-\rho )(\delta +\Delta )\\ \Delta ,& ϵ=(1-\rho )(\delta +\Delta )\\ \frac{-[(2-\rho )\delta -ϵ-\Delta ]+\sqrt{{[(2-\rho )\delta -ϵ-\Delta ]}^2+4(2-\rho )\mathrm{\Delta \delta }}}{2(2-\rho )},& ϵ>(1-\rho )(\delta +\Delta )\end{array}\right)$>

(3)稳态误差带(Δ_SSE)

特别地，对于M＝1的情形，参考信号满足r_k＝r_k-N，具有整周期对称特性。本发明中提出的重复控制器设计方法也适用于整周期重复控制，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-N。

特别地，对于N＝M情形，参考信号满足r_k＝r_k-1。本发明中提出的重复控制器设计方法也适用于常值调节问题，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1。

本发明的技术构思为：伺服系统在周期对称参考信号下运行，使得本发明可利用信号的周期对称特点设计重复控制器。考虑信号对称性质的设计，不仅大大减少控制器内存占用量，内模响应时间也更快，有易于加速扰动的消除。控制器设计是基于离散吸引律进行的，是一种时域设计方法。时域设计方法在设计重复控制器时具有独到的地方，这主要是因为信号对称特性表现在时域中。本发明考虑的参考信号周期对称特性，比在频域中考虑信号各奇次谐波的周期对称性质更为一般，且设计会更直观。另外，控制器时域设计使得其能够方便地与现有的时域干扰观测技术相结合。

针对参考信号满足1/M周期对称特性的伺服系统，本发明提供一种基于时域设计方法的1/M周期重复控制器，不仅实现对周期性外部干扰信号的完全跟踪或抑制，而且降低内存占用量。具体体现在，周期重复控制器需要用到前一个周期的控制信号，而1/M周期重复控制只需要用到前1/M周期的控制信息，将控制器的内存占用降低(M-1)/M，显著节省了内存占用空间。

本发明的有益效果主要表现在：在显著减少控制器内存占用量的同时，兼有快速收敛性能、加速干扰抑制和高控制精度。

附图说明

图1是1/M周期重复控制器结构示意图。

图2是伺服对象方框图。

图3是基于吸引律方法的控制系统设计流程图。

图4为M＝1/3时的k′。

图5为M＝1/5时的k′。

图6是1/3周期对称信号示意图。

图7a、图7b和图7c是1/5周期对称信号示意图。

图8为参考信号满足1/M周期对称特性的重复控制系统方框图：

图8a为参考信号满足r_k＝±r_k′的重复控制系统方框图，图8b为参考信号满足对称特性r_k＝±r_k-N/M的重复控制系统方框图。

图9是1/M周期重复控制器方框图：

图9a为参考信号满足r_k＝-r_k′的控制器方框图，图9b为参考信号满足r_k＝r_k′的控制器方框图，图9c为参考信号满足r_k＝-r_k-N/M的控制器方框图，图9d为参考信号满足r_k＝r_k-N/M的控制器方框图。

图10-12是1/3周期重复控制器作用下，针对永磁同步直线电机控制系统的仿真结果，其中：

图10为ρ=0.4，ε=0.03，δ=0.1时的给定信号，输出信号，以及边界值Δ_AAL、Δ_SSE、Δ_MDR。

图11为ρ=0.4，ε=0.1，δ=0.1时的给定信号，输出信号，以及边界值Δ_AAL、Δ_SSE、Δ_MDR。

图12为ρ=0.4，ε=0.12，δ=0.1时的给定信号，输出信号，以及边界值Δ_AAL、Δ_SSE、Δ_MDR。

图13-15是15周期重复控制器作用下，针对永磁同步直线电机控制系统的仿真结果，其中：

图13为ρ=0.4，ε=0.03，δ=0.1时的给定信号，输出信号，以及边界值Δ_AAL、Δ_SSE、Δ_MDR。

图14为ρ=0.4，ε=0.1，δ=0.1时的给定信号，输出信号，以及边界值Δ_AAL、Δ_SSE、Δ_MDR。

图15为ρ=0.4，ε=0.12，δ=0.1时的给定信号，输出信号，以及边界值Δ_AAL、Δ_SSE、Δ_MDR。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步描述。

参照图1-9，一种基于吸引律的1/M周期重复控制器。为便于说明实施方式，针对二阶离散系统设计1/M周期重复控制器。考虑下述二阶离散系统差分方程模型

y_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1＝b₁u_k+b₂u_k-1+w_k+1  (1)

其中，u_k-1,u_k,y_k-1,y_k分别为k-1,k时刻系统的输入输出信号；w_k+1为k+1时刻系统扰动信号，a₁,a₂,b₁,b₂为相应的系统参数。

所述伺服系统，其参考信号r_k满足1/M周期对称特性，即满足如下关系

r_k＝±r_k′或r_k＝±r_k-N/M  (2)

其中，

k′＝(ceil(Mk/N)-1)(2N/M)-k,k＞N/M,N＞M

ceil(·)表示返回大于或者等于(·)的最小整数。N是用于刻画周期对称性的参数，r_k′，r_k-N/M分别表示k′，k-N/M时刻的参考信号。当M＝3、5时，k′分别见图4、图5。特别地，满足1/3周期对称性的参考信号见图6，共计16种。满足1/5周期对称性的参考信号见图7a、图7b和图7c，共计256种。

跟踪误差信号(e_k＝r_k-y_k)满足：

e_k+1＝r_k+1-y_k+1＝r_k+1+a₁y_k+a₂y_k-1-b₁u_k-b₂u_k-1-w_k+1

＝r_k+1±y_k′+1+a₁(y_k±y_k′)+a₂(y_k-1±y_k′-1)  (3)

-b₁(u_k±u_k′)-b₂(u_k-1±u_k′-1)-(w_k+1±w_k′+1)

式中，e_k+1，r_k+1分别表示k+1时刻的误差信号、参考信号。

利用式(3)，w_k+1±w_k′+1可表达为

w_k+1±w_k′+1＝r_k+1±y_k′+1+a₁(y_k±y_k′)+a₂(y_k-1±y_k′-1)  (4)

-b₁(u_k±u_k′)-b₂(u_k-1±u_k′-1)-e_k+1

等效干扰(d_k＝w_k±w_k′)满足

d_k+1＝r_k+1±y_k′+1+a₁(y_k±y_k′)+a₂(y_k-1±y_k′-1)  (5)

-b₁(u_k±u_k′)-b₂(u_k-1±u_k′-1)-e_k+1

描述1/M周期对称参考信号时，不仅需要知道周期参数，还需要掌握1/M周期对称形式。对于不同的1/M周期对称参考信号，相应的重复控制器设计过程及其表达式也不相同。扰动项w_k一般不能严格满足对称条件，只是w_k的周期部分呈现1/M周期对称特性。因此，当w_k存在非周期扰动成分时，d_k≠0。这时需采用干扰观测技术，在闭环系统中引入干扰补偿作用以提高控制性能。跟踪控制目的是在有限时间内，使得系统跟踪误差收敛至原点的一个邻域内，并一直停留在这一邻域。为了达到这一控制目标，考虑等效扰动对e_k的影响，依据预先形成的误差动态设计控制器。为此，修正吸引律，构造如下误差动态方程

$>e_{k+1}=(1-\rho )e_k-ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }+d_{k+1}^{*}-d_{k+1}---\left(6\right)$>

式中，为等效扰动d_k+1的补偿值；ρ、ε为表达吸引速度的两个常数，δ为单位向量连续化参数；其取值范围分别为：ε＞0，0＜ρ＜1，δ＞0。

1)参考信号r_k满足r_k＝-r_k′，k′＝(ceil(Mk/N)-1)(2N/M)-k，等效扰动为d_k＝w_k+w_k′。将等效干扰(5)代入误差方程(6)，

$>e_{k+1}=(1-\rho )e_k-ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }+d_{k+1}^{*}-r_{k+1}-y_{k^{\prime }+1}-a_1(y_k+y_{k^{\prime }})$>

$>-a_2(y_{k-1}+y_{k^{\prime }-1})+b_1(u_k+u_{k^{\prime }})+b_2(u_{k-1}+u_{k^{\prime }-1})+e_{k+1}---\left(7\right)$>

控制u_k的表达式为：

$>u_k=-u_{k^{\prime }}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k^{\prime }-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}]---\left(8\right)$>

$>+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}+y_{k^{\prime }-1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k+y_{k^{\prime }})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}+y_{k^{\prime }-1})$>

记$>v_k=\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}+y_{k^{\prime }+1})+a_1(y_k+y_{k^{\prime }})+a_2(y_{k-1}+y_{k^{\prime }-1})],$>输入信号控制器可表达为

$>{\bar{u}}_k=-{\bar{u}}_{k^{\prime }}+v_k---\left(9\right)$>

式中，v_k表示输入信号的修正量。

2)参考信号r_k满足r_k＝r_k′，k′＝(ceil(Mk/N)-1)(2N/M)-k，等效扰动为d_k＝w_k-w_k′。将相应的等效干扰(5)代入误差方程(6),

$>e_{k+1}=(1-\rho )e_k-ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }+d_{k+1}^{*}-r_{k+1}+y_{k^{\prime }+1}-a_1(y_k-y_{k^{\prime }})$>

$>-a_2(y_{k-1}-y_{k^{\prime }-1})+b_1(u_k-u_{k^{\prime }})+b_2(u_{k-1}-u_{k^{\prime }-1})+e_{k+1}---\left(10\right)$>

控制u_k的表达式为，

$>u_k=u_{k^{\prime }}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k^{\prime }-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}]---\left(11\right)$>

$>+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}-y_{k^{\prime }+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k-y_{k^{\prime }})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}-y_{k^{\prime }-1})$>

记$>v_k^{\prime }=\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}-y_{k^{\prime }+1})+a_1(y_k-y_{k^{\prime }})+a_2(y_{k-1}-y_{k^{\prime }-1})],$>输入信号控制器可表达为：

$>{\bar{u}}_k={\bar{u}}_{k^{\prime }}+v_k^{\prime }---\left(12\right)$>

式中，v_k′表示输入信号的修正量。

按照式(3)-式(12)所描述的步骤，可设计1/M周期对称(r_k＝±r_k-N/M，)情形下的重复控制器。

1)参考信号r_k满足r_k＝-r_k-N/M，等效扰动为d_k＝w_k+w_k-N/M，离散重复控制器u_k为

$>u_k=-u_{k-N/M}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}+u_{k-N/M-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}]---\left(13\right)$>

$>+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}+y_{k-N/M+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k+y_{k-N/M})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}+y_{k-N/M-1})$>

记$>v_k^{\prime \prime }=\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}-y_{k-N/M+1})+a_1(y_k+y_{k-N/M})+a_2(y_{k-1}+y_{k-N/M-1})],$>输入信号控制器可表达为

$>{\bar{u}}_k=-{\bar{u}}_{k-N/M}+v_k^{\prime \prime }---\left(14\right)$>

式中，v_k″表示输入信号的修正量。

2)参考信号r_k满足r_k＝r_k-N/M，等效扰动为d_k＝w_k-w_k-N/M，离散重复控制器u_k为

$>u_k=u_{k-N/M}-\frac{b_2}{b_1}(u_{k-1}-u_{k-N/M-1})+\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}]---\left(15\right)$>

$>+\frac{1}{b_1}(r_{k+1}-y_{k-N/M+1})+\frac{a_1}{b_1}(y_k-y_{k-N/M})+\frac{a_2}{b_1}(y_{k-1}-y_{k-N/M-1})$>

记$>v_k^{\prime \prime \prime }=\frac{1}{b_1}[-(1-\rho )e_k+ϵ\frac{e_k}{\left|e_k\right|+\delta }-d_{k+1}^{*}+(r_{k+1}-y_{k-N/M+1})+a_1(y_k-y_{k-N/M})+a_2(y_{k-1}-y_{k-N/M-1})],$>输入信号控制器可表达为

$>{\bar{u}}_k=-{\bar{u}}_{k-N/M}+v_k^{\prime \prime \prime }---\left(16\right)$>

式中，v_k″′表示输入信号的修正量。

对于上述设计的1/M周期重复控制器，做以下说明：

1)吸引律中引入d_k+1反映了对于给定周期对称性质的扰动信号的抑制措施，为d_k+1的补偿值，用于补偿非周期性扰动。

一种直接的补偿值确定方法是d_k已知时，取

这里，提供一种d_k的界已知时的补偿值确定方法。设等效扰动d_k的上、下界分别为d_u、d_l，则d_k满足不等式

d_l≤d_k≤d_u

记$>\bar{d}=\frac{d_u+d_l}{2},$>$>\Delta =\frac{d_u-d_l}{2},$>

$>|d_k-\bar{d}|\le \Delta$>

扰动补偿为

$>d_{k+1}^{*}=\bar{d}=\frac{d_u+d_l}{2}$>

2)式(8)，(11)，(13)与(15)中，e_k,y_k,y_k-1,y_k-N/M+1,y_k-N/M,y_k-N/M-1,y_k′+1,y_k′,y_k′-1均可通过测量得到，u_k-1,u_k-N/M,u_k-N/M-1,u_k′,u_k′-1为控制信号的存储值，可从内存中读取。

3)对于M＝1的情形，参考信号满足r_k＝r_k-N，具有整周期对称特性。因此，本发明中提出的重复控制器设计方法也适用于整周期重复控制，此时等效扰动为d_k＝w_k-w_k-N。

4)对于N＝M情形，参考信号满足r_k＝r_k-1。因此，本发明中提出的重复控制器设计方法也适用于常值调节问题，此时等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1。

5)上述1/M周期重复控制器针对二阶系统(1)给出，按照相同的方法同样可给出高阶系统的设计结果。

系统的1/M周期重复控制器设计完成之后，需要整定其中的控制器参数，包括表达吸引速度的两个常数ρ、ε。具体的参数整定工作可依据表征系统收敛性能的指标进行。为表征跟踪误差收敛过程，本发明引入单调减区域，绝对吸引层和稳态误差带概念，具体定义如下：

单调减区域

$>\left(\begin{array}{cc}0<e_{k+1}<e_k,& e_k>{\Delta }_{\mathrm{MDR}}\\ e_k<e_{k+1}<0,& e_k<-{\Delta }_{\mathrm{MDR}}\end{array}\right)$>

绝对吸引层

$>\left|e_k\right|>{\Delta }_{\mathrm{AAL}}\Rightarrow {|e}_{k+1}|<|e_k|$>

稳态误差带

$>\left|e_k\right|\le {\Delta }_{\mathrm{SSE}}\Rightarrow \left|e_{k+1}\right|\le {\Delta }_{\mathrm{SSE}}$>

这里，Δ_MDR为单调减区域边界，Δ_AAL为绝对吸引层边界，Δ_SSE为稳态误差带边界。

对于1/M周期重复控制器作用下导致的闭环系统误差动态，本发明分别给出其单调减区域边界Δ_MDR，绝对吸引层边界Δ_AAL和稳态误差带边界Δ_SSE，其具体表达式为：

(1)单调减区域(Δ_MDR)

$>{\Delta }_{\mathrm{MDR}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \Delta \delta }}}{2\rho },& 0<ϵ<\frac{(1-2\rho )(2\Delta +\delta )}{2}\\ 2\Delta ,& ϵ=\frac{(1-2\rho )(2\Delta +\delta )}{2}\\ \frac{ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta +\sqrt{{(ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta )}^2+4(1-\rho )\mathrm{\Delta \delta }}}{2(1-\rho )},& ϵ>\frac{(1-2\rho )(2\Delta +\delta )}{2}\end{array}\right)$>

(2)绝对吸引层(Δ_AAL)

$>{\Delta }_{\mathrm{AAL}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \Delta \delta }}}{2\rho },& 0<ϵ<(1-\rho )(\delta +\Delta )\\ \Delta ,& ϵ=(1-\rho )(\delta +\Delta )\\ \frac{-[(2-\rho )\delta -ϵ-\Delta ]+\sqrt{{[(2-\rho )\delta -ϵ-\Delta ]}^2+4(2-\rho )\mathrm{\Delta \delta }}}{2(2-\rho )},& ϵ>(1-\rho )(\delta +\Delta )\end{array}\right)$>

(3)稳态误差带(Δ_SSE)

对于理想误差动态(6)，本发明给出三个性能指标与控制器参数之间的关系：

1)当0＜ε≤min{(1-ρ)δ,(1-2ρ)(2Δ+δ)/2}时，

$>{\Delta }_{\mathrm{MDR}}={\Delta }_{\mathrm{AAL}}={\Delta }_{\mathrm{SSE}}=\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \delta \Delta }}}{2\rho }$>

闭环系统的单调减区域、绝对吸引层边界和稳态误差带边界都是相等的，并且随着参数ε的增大而减小。因此，在该区间选择控制器参数时，ε越大，系统的收敛速度越快，稳态误差越小，所以选取ε=min{(1-ρ)δ,(1-2ρ)(2Δ+δ)/2}，此时系统的稳态误差最小。

2)当max{(1-ρ)δ,(1-2ρ)(2Δ+δ)/2}＜ε＜(1-ρ)(δ+Δ)时，单调减区域为

$>{\Delta }_{\mathrm{MDR}}=\frac{ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta +\sqrt{{(ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta )}^2+4(1-\rho )\mathrm{\Delta \delta }}}{2(1-\rho )}$>

绝对吸引层边界为

$>{\Delta }_{\mathrm{AAL}}=\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \delta \Delta }}}{2\rho }$>

稳态误差带边界为

$>{\Delta }_{\mathrm{SSE}}=\max \{{(\sqrt{(1-\rho )\delta }-\sqrt{ϵ})}^2+\Delta ,\frac{-(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )+\sqrt{{(\mathrm{\rho \delta }+ϵ-\Delta )}^2+4\mathrm{\rho \delta \Delta }}}{2\rho }\}$>

这时的稳态误差带边界都是随着参数的增大而增大，此时控制参数的选取视系统瞬态与稳态性能之间的权衡而定。

3)当ε≥(1-ρ)(δ+Δ)时，单调减区域为

$>{\Delta }_{\mathrm{MDR}}=\frac{ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta +\sqrt{{(ϵ+\Delta -(1-\rho )\delta )}^2+4(1-\rho )\mathrm{\Delta \delta }}}{2(1-\rho )}$>

绝对吸引层边界为

$>{\Delta }_{\mathrm{AAL}}=\frac{-[(2-\rho )\delta -ϵ-\Delta ]+\sqrt{{[(2-\rho )\delta -ϵ-\Delta ]}^2+4(2-\rho )\mathrm{\delta \Delta }}}{2(2-\rho )}$>

稳态误差带边界为

三个边界(Δ_MDR、Δ_AAL和Δ_SSE)会随着参数ε的增大而增大。在这个区间选择控制器参数时，ε越大，稳态误差越大，所以选取ε＝(1-ρ)(δ+Δ)；这时，系统误差函数绝对吸引层的边界达到最小Δ_AAL＝Δ。

实施例

该实施例以直线电机伺服系统在一固定区间上执行重复跟踪任务为例，其位置参考信号具有1/M周期对称特性。当伺服系统进入稳态阶段，系统模型中的干扰项将表现出明显的1/M周期对称特性。本实施例设计的离散重复控制器作为直线电机三环控制系统中的位置环控制器，而电流环与速度环采用PI控制算法。

在设计位置环控制器之前，需建立除位置环以外的伺服对象的数学模型，包括速度环、电流环、功率驱动器、直线电机本体以及检测装置(见图2)。

利用最小二乘辨识算法获得伺服对象的数学模型

y_k+1-0.8699y_k-0.1301y_k-1＝0.5099u_k+0.1952u_k-1+w_k+1  (1)

其中，y_k，u_k分别为直线电机系统的位置输出与速度给定信号(控制输入)，w_k为干扰信号。

该实施例采用本发明给出的1/3、1/5周期重复控制器进行数值仿真。

例一、1/3周期重复控制

取直线电机的位置参考信号(单位：mm)为

$>r\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}(5-5\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/3)}{N/15}\right)-3)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),3)-0.5),\\ 0\le \mathrm{mod}(k,N/3)<2N/15\\ 10*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),3)-0.5),2N/15\le \mathrm{mod}(k,N/3)<N/5\\ (5-5\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/3)}{N/15}\right)-4)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),3)-0.5),\\ N/5\le \mathrm{mod}(k,N/3)<N/3\end{array}\right)---\left(2\right)$>

对于k＞N/3,

$>r\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}-r_{k^{\prime }},& 0\le \mathrm{mod}(k,N)<N/3\\ r_{k^{\prime }},& N/3\le \mathrm{mod}(k,N)<2N/3\\ -r_{k^{\prime }},& 2N/3\le \mathrm{mod}(k,N)<N\end{array}\right)---\left(3\right)$>

其中，k′＝(ceil(3k/N)-1)(2N/3)-k。N＝600。频率f＝1/6Hz，采样周期T_s＝0.01s。扰动量w(k)由周期性干扰和非周期性干扰两部分构成：

$>w\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}(1-\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/3)}{N/15}\right)-3)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),3)-0.5)\\ +0.05{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/200)}{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/30)}\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(k,30)-9),0\le \mathrm{mod}(k,N/3)<2N/15\\ 2*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),3)-0.5)+0.05{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/200)}{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/30)}\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(k,30)-9),\\ 2N/15\le \mathrm{mod}(k,N/3)<N/5\\ (1-\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/3)}{N/15}\right)-4)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),3)-0.5)\\ +0.05{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/200)}{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/30)}\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(k,30)-9),N/5\le \mathrm{mod}(k,N/3)<N/3\end{array}\right)---\left(4\right)$>

对于k＞N/3,

$>w\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}-w_{k^{\prime }},& 0\le \mathrm{mod}(k,N)<N/3\\ w_{k^{\prime }},& N/3\le \mathrm{mod}(k,N)<2N/3\\ -w_{k^{\prime }},& 2N/3\le \mathrm{mod}(k,N)<N\end{array}\right)---\left(5\right)$>

理想误差动态中不确定项的界Δ＝0.1。

对于r_k＝±r_k′情形，k′＝(ceil(3k/N)-1)(2N/3)-k，重复控制器由下式给出

在1/3周期重复控制器(6)的作用下，选取不同的控制器参数ρ,ε,δ，导致收敛过程三个边界层也不相同。为了检验本发明给出的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE边界值，就ρ,ε,δ的三种取值分别进行讨论。

(1)当0≤ε＜(1-ρ)δ时，闭环系统的绝对吸引层边界Δ_AAL和稳态误差带边界Δ_SSE相等。1/3周期重复控制器参数的选取为：ρ＝0.4,ε＝0.03,δ＝0.1。相应的Δ_AAL＝Δ_SSE＝Δ_MDR＝0.2。这时的单调吸引层边界Δ_MDR取到最小值。仿真结果见图10。

(2)当(1-ρ)δ≤ε＜(1-ρ)(δ+Δ)时，绝对吸引层边界Δ_AAL小于或等于稳态误差带边界Δ_SSE。当1/3周期重复控制器参数的选取为ρ＝0.4，ε＝0.1，δ＝0.1。相应的Δ_AAL＝Δ_SSE＝0.1158，Δ_MDR＝0.2907。仿真结果见图11。

(3)当ε≥(1-ρ)(δ+Δ)时，绝对吸引层边界Δ_AAL小于或等于稳态误差带边界Δ_SSE。当1/3周期重复控制器参数的选取为ρ＝0.4，ε＝0.12，δ＝0.1。此时，ε＝(1-ρ)(δ+Δ)，相应的Δ_AAL＝0.1，Δ_SSE＝0.1103，Δ_MDR＝0.3189。绝对吸引层边界达到最小值Δ_AAL＝Δ＝0.1。仿真结果见图12。

在给定系统模型、参考信号和干扰信号的情况下，上述数值结果验证了本发明给出的1/3周期重复控制器作用下的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE。

例二、1/5周期重复控制

直线电机的位置参考信号(单位：mm)为

$>r\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}(5-5\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/5)}{N/25}\right)-3)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/5}\right),5)-0.5),\\ 0\le \mathrm{mod}(k,N/5)<2N/25\\ 10*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/5}\right),5)-0.5),2N/25\le \mathrm{mod}(k,N/5)<3N/25\\ (5-5\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/5)}{N/25}\right)-4)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/5}\right),5)-0.5),\\ 3N/25\le \mathrm{mod}(k,N/5)<N/5\end{array}\right)---\left(7\right)$>

对于k＞N/5,

$>r\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}-r_{k^{\prime }},& 0\le \mathrm{mod}(k,N)<N/5\\ r_{k^{\prime }},& N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<2N/5\\ r_{k^{\prime }},& 2N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<3N/5\\ r_{k^{\prime }},& 3N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<4N/5\\ -r_{k^{\prime }},& 4N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<N\end{array}\right)---\left(8\right)$>

其中，k′＝(ceil(5k/N)-1)(2N/5)-k。N＝600。频率f＝1/6Hz，采样周期T_s＝0.01s。扰动量w(k)由周期性干扰和非周期性干扰两部分构成：

$>w\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}(1-\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/5)}{N/25}\right)-3)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/3}\right),5)-0.5)\\ +0.05{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/200)}{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/30)}\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(k,30)-9),0\le \mathrm{mod}(k,N/5)<2N/25\\ 2*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/5}\right),5)-0.5)+0.05{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/200)}{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/30)}\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(k,30)-9),\\ 2N/25\le \mathrm{mod}(k,N/5)<3N/25\\ (1-\sin (\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N/5)}{N/25}\right)-4)\frac{\pi }{2})*\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(\mathrm{ceil}\left(\frac{\mathrm{mod}(k,N)}{N/5}\right),5)-0.5)\\ +0.05{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/200)}{(-1)}^{\mathrm{fix}(k/30)}\mathrm{sgn}(\mathrm{mod}(k,30)-9),3N/25\le \mathrm{mod}(k,N/5)<N/5\end{array}\right)---\left(9\right)$>

对于k＞N/5,

$>w\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}-w_{k^{\prime }},& 0\le \mathrm{mod}(k,N)<N/5\\ w_{k^{\prime }},& N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<2N/5\\ w_{k^{\prime }},& 2N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<3N/5\\ w_{k^{\prime }},& 3N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<4N/5\\ -w_{k^{\prime }},& 4N/5\le \mathrm{mod}(k,N)<N\end{array}\right)---\left(10\right)$>

理想误差动态中不确定项的界Δ＝0.1。

对于r_k＝±r_k′情形，k′＝(ceil(5k/N)-1)(2N/5)-k，重复控制器由下式给出

在1/5周期重复控制器(11)的作用下，选取不同的控制器参数ρ,ε,δ，导致收敛过程三个边界层也不相同。为了检验本发明给出的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE边界值，就ρ,ε,δ的三种取值分别进行讨论。

(1)当0≤ε＜(1-ρ)δ时，闭环系统的绝对吸引层边界Δ_AAL和稳态误差带边界Δ_SSE相等。1/5周期重复控制器参数的选取为ρ＝0.4，ε＝0.03，δ＝0.1。相应的Δ_AAL＝Δ_SSE＝Δ_MDR＝0.2。这时的单调吸引层边界Δ_MDR取到最小值。仿真结果见图13。

(2)当(1-ρ)δ≤ε＜(1-ρ)(δ+Δ)时，绝对吸引层边界Δ_AAL小于或等于稳态误差带边界Δ_SSE。当1/5周期重复控制器参数的选取为ρ＝0.4，ε＝0.1，δ＝0.1。相应的Δ_AAL＝Δ_SSE＝0.1158，Δ_MDR＝0.2907。仿真结果见图14。

(3)当ε≥(1-ρ)(δ+Δ)时，绝对吸引层边界Δ_AAL小于或等于稳态误差带边界Δ_SSE。当1/5周期重复控制器参数的选取为ρ＝0.4，ε＝0.12，δ＝0.1。此时，ε＝(1-ρ)(δ+Δ)，相应的Δ_AAL＝0.1，Δ_SSE＝0.1103，Δ_MDR＝0.3189。绝对吸引层边界达到最小值Δ_AAL＝Δ＝0.1。仿真结果见图15。

在给定系统模型、参考信号和干扰信号的情况下，上述数值结果验证了本发明给出的1/5周期重复控制器作用下的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE。