一种多轴机床几何精度稳健优配方法

摘要

随着机械加工精度的要求越来越高，如何在确保机床加工性能的前提下，合理配置机床几何误差，实现成本与加工精度的均衡，是机床制造亟待解决的问题。本发明针对多轴机床提出了一种新的基于零部件制造成本和质量损失的多目标几何精度优化分配方法，采用多体系统理论建立机床几何误差的综合空间误差模型，通过对几何误差影响最大的机床部件的加工特征建立机床部件的制造成本模型，同时结合质量损失成本建立了基于成本的目标函数，通过对几何误差的辨识，建立与部件精度等级相关的优化模型，即将所有精度参数变量欧式范数的最大化作为另一个目标函数，通过Isight和Matlab集成结合NSGA-Ⅱ来实现优化分配。

说明书

技术领域

本发明涉及到一种多轴机床几何精度稳健优配方法，属于机床精度设计领域，具体涉及 一种基于质量损失成本和制造成本的精度优化分配方法。

背景技术

数控机床是一种高精度、高效率、高技术的现代机电设备，作为先进制造技术的基础与 核心设备，越来越广泛的应用于机械生产之中，并制约着制造领域和各高新科技的发展。而 衡量数控机床设计与使用性能的重要指标是数控机床的精度。随着机械加工精度的要求越来 越高，如何在确保机床加工性能的前提下，合理配置机床几何误差，实现成本与加工精度的 均衡，是机床制造亟待解决的问题。

数控机床的精度指标主要有加工精度、定位精度和重复定位精度，其中加工精度是数控 机床追求的最终精度，体现着机械制造业的制造能力和发展水平，也是整个国家科技和工业 水平的重要标志之一。而由零部件几何误差耦合成的机床空间误差是影响加工精度的主要原 因，占到加工误差的30%左右，但盲目通过提高零部件的几何精度来保证机床的空间误差将 使机床制造成本显著增加。

如何协调精度与成本的关系，对机床进行精度设计，在保证机床加工精度的前提下，提 高工作效率，降低成本，是我们需要重点关注的问题。精度设计是机床优化设计的重要一环， 包括精度分析和精度分配两个互逆问题。精度分配是指根据给定机床的整体精度要求，决定 其各组成件的尺寸公差。

国内外学者在精度分配方面进行较为广泛而深入的研究，主要有零部件公差加权欧式范 数最大法、蒙特卡罗法、尺寸链法，以及U.Dorndorf等人利用基于可靠度和失效概率的成本 模型进行的二次优化法等，这些方法大多针对并联机床或其他零部件，而对于一般卧式或立 式加工中心，研究单位一般采用一些传统方法进行设计，效率低且成本高，无法满足日益增 长的精度要求。

此外，以往的精度分配优化模型一般仅以制造成本最低作为目标函数，而制造成本只考 虑了厂家的利益，却没有考虑到顾客的利益。

精度分配的基础是建立准确、真实的误差模型。多体系统理论将多轴机床抽象为多体系 统，在多体系统中建立广义坐标系，通过坐标系来描述体间相对位置和姿态变化以及误差情 况，是一般机械系统最为全面的完整抽象、高度概括和有效描述，可全面考虑影响系统的各 项因素及相互耦合关系，是分析和研究机械系统的最优模型形式，因而广泛应用于机械系统 的运动误差建模。

发明内容

在综合考虑机床成本、加工精度以及零部件精度等级等因素之间的相互影响，本发明提 供一种多轴机床几何精度稳健优配方法，在以多体系统建立的几何误差模型的基础上，将机 床精度分配转化为一种多目标优化问题。该多目标优化问题以成本函数和与零部件精度参数 相关的方差函数为目标函数，以机床加工精度要求为约束条件，并对其进行参数优化，最终 可实现精度的优化分配，同时还能给出机床主要零部件的精度等级。

为了解决上述多目标优化问题，解决传统优化方法的缺陷，NSGA-Ⅱ作为非支配排序遗 传算法（NSGA）的改良版，将用来解决本发明的优化问题。NSGA-Ⅱ具有探索性能良好的优点， 它提出了快速非支配排序算法，引入了精英策略，拥挤度以及拥挤度算子，降低了计算的复 杂性，保留了种群中各体的多样性，同时避免了搜索集中于Pareto frontier的一部分。

本发明的多轴机床几何精度稳健优配方法，在对机床几何误差影响最大的机床零部件的 成本最小和精度参数变量欧式范数最大的前提下对几何误差进行优化分配，协调好机床精度 与成本之间的关系，在保证机床加工精度的基础上，提高工作效率，降低机床制造成本。

本发明引入了质量损失成本和制造成本之和，并将几何误差参数与零部件精度等级联系 了起来，使得以机床零部件质量损失成本和制造成本之和为成本的优化模型更加准确，同时 在对几何误差进行优化之后即可确定各相关零部件的精度等级。

本发明是采用以下技术手段实现的：

1.基于多体系统运动学理论，采用低序体阵列描述抽象机床系统的拓扑结构，建立基于 多体系统理论的综合空间误差模型：

在多体系统中建立广义坐标系，矢量及其列向量表达位置关系，齐次变换矩阵计算多体 系统间的相互关系，其中，坐标系i到坐标系j的总齐次坐标变换矩阵为：

T_ij=T_ijpΔT_ijpT_ijsΔT_ijs             （1）

式（1）中，T_ijp为体间理想静止特征矩阵，ΔT_ijp为体间静止误差特征矩阵，T_ijs为体间理 想运动特征矩阵，ΔT_ijs为体间运动误差特征矩阵。

从低序体i到高序体j的总齐次坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{ij}}=\underset{k=i}{\overset{j}{\Pi }}{T}_{k(k+1)}---\left(2\right)$

式（2）中，k为j的不小于i的低序体号。

基于多体系统运动学理论，结合多轴机床的特征，设刀尖在工件坐标系w中的齐次坐标 为P_w，在刀具坐标系t中的齐次坐标为P_t，参考坐标系j到坐标系w的齐次坐标变换矩阵为T_jw， 参考坐标系j到坐标系t的齐次坐标变换矩阵为T_jt。在实际加工过程中，刀具成形点的实际 位置总是会不可避免地偏离理想位置，从而产生空间位置误差。故实际刀具成形点与理想刀 具成形点的综合空间位置误差即加工点的综合空间误差为：

E=T_jwP_w-T_jtP_t           （3）

式(3)即为数控机床的通用运动学综合空间误差模型的数学表达式。

2.建立基于零部件成本和精度参数的优化设计模型，对机床的几何误差进行优化分配， 同时合理选择相关部件的精度等级并对其进行搭配组合，其包括以下步骤：

2.1以对几何误差影响最大的零部件的制造成本和质量损失成本之和为成本函数并使之 达到最小为目标建立基于制造-质量损失成本的精度优化分配模型。

机床几何误差主要是由机床零部件几何误差引起的，它们之间存在着一定的相互影响。 根据误差溯源，我们可得到各基本几何误差与相应零部件之间的关系。为建立机床几何误差 与制造成本之间的关系，本发明将几何误差与对其影响最大的机床零部件尺寸公差进行了近 似转换，根据相应零部件的尺寸加工特征对几何误差进行了分类，主要分为外圆特征、孔特 征、定位特征、和平面特征四类尺寸。进而根据我国中型机械类企业中等批量加工时，各特 征尺寸的最适用成本—公差模型，最终建立了相关机床零部件的制造成本—公差模型。

其中，外圆特征尺寸的最适用加工成本-公差模型为：

$C\left(t_m\right)=\left(\begin{array}{cc}15.1138e^{-42.2874t_m}+\frac{t_m}{0.8611t_m+0.01508},& t_m\le 0.11\\ 1.151063& t_m>0.11\end{array}\right)---\left(4\right)$

平面特征尺寸的最适用成本-公差模型为：

$C\left(t_n\right)=\left(\begin{array}{cc}5.0261e^{-15.8903t_n}+\frac{t_n}{0.3927t_n+0.1176}& t_n\le 0.165\\ 1.273338& t_n>0.165\end{array}\right)---\left(5\right)$

内孔特征尺寸的最适用成本-公差模型为：

$C\left(t_h\right)=\left(\begin{array}{cc}13.4998t_h{e}^{\frac{-0.015048}{t_h}}+13.0973e^{-23.5481t_h}& t_h<0.11\\ 2.282035& t_h\ge 0.11\end{array}\right)---\left(6\right)$

定位特征尺寸的最适用成本-公差模型为：

$C\left(t_l\right)=\left(\begin{array}{cc}13.3114t_l{e}^{\frac{-0.0438}{t_l}}+7.6593e^{-25.1731t_l},& t_l\le 0.11\\ 1.463467& t_l>0.11\end{array}\right)---\left(7\right)$

式（4）、（5）、（6）、（7）中，t_m，t_n，t_h，t_l分别表示外圆、平面、孔、定位特征尺寸的 尺寸公差，尺寸公差值在本发明中近似等于相对应的几何误差值。C(t_m)，C(t_n)，C(t_h)，C(t_l)则 分别表示相应的外圆、平面、孔、定位特征尺寸公差的制造成本，根据各最适用加工成本- 公差模型，即可得出对各几何误差影响最大的机床部件的总制造成本的表达式。

质量损失是由于质量特性偏离设计目标值而造成的，产品的质量特性是指产品满足用户 要求的属性，在本发明里，机床几何误差即可被看作为机床的质量特性，且目标值为0。假 设机床的质量特性即几何误差用Y表示，则Y为望小特性，即Y越小越好且波动越小越好，以 0为目标值但不能为负，可得到该质量特性Y的质量损失函数为：L(Y)=kY²，k为与Y无关的 比例常数。若有n个具有望小特性的质量特性Y₁,Y₂,…,Y_n，则平均质量损失为本发明中，几何误差可分为M项线性误差和N项角度误差，故质量损失函数L_Σ(t_i)可近似表示 为：

$L_{\Sigma }\left(t_i\right)=k[\frac{1}{M}{\mathrm{\Sigma t}}_s^2+\frac{1}{N}{\mathrm{\Sigma t}}_a^2]---\left(8\right)$

其中，t_s和t_a分别表示机床的线性几何误差和角度几何误差，k为与t无关的质量损失系 数。

根据上文的制造成本和质量损失成本，对机床几何误差影响最大的零部件的总成本目标 函数可表示为：

M1(minimize)[C_Σ(t_i)+L_Σ(t_i)]=min[C_∑(t_m)+C_∑(t_n)+C(t_h)+C(t_l)+L_∑(t_i)]

$L_{\Sigma }\left(t_i\right)=k[\frac{1}{M}{\mathrm{\Sigma t}}_s^2+\frac{1}{N}{\mathrm{\Sigma t}}_a^2]$

约束条件：

$\left(\begin{array}{c}\Delta x_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta x}\right)\\ {\mathrm{\Delta y}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta y}\right)\\ {\mathrm{\Delta z}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta z}\right)\end{array}\right)---\left(9\right)$

在上式中，t_m，t_n，t_h，t_l分别表示划分为外圆、平面、孔、定位特征尺寸公差的机床几 何误差项，C_∑(t_m)，C_∑(t_n)，C_∑(t_h)，C_∑(t_l)则分别表示对应的特征尺寸的制造成本。t_i表示机床 几何误差，L_Σ(t_i)表示基于机床几何误差的质量损失成本，t_s和t_a分别表示机床的线性几何误 差和角度几何误差，k为与t无关的质量损失系数。def(Δx),def(Δy),def(Δz)分别为X、Y、Z向最 大允许误差。对不同机床，def(Δx),def(Δy),def(Δz)可根据实际性能要求确定。

2.2建立基于机床零部件精度等级的优化模型

由上文知，机床几何误差与零部件精度等级之间存在一定的对应关系。以任意三轴机床 为例，根据零部件精度参数与几何误差之间的关系，机床几何误差可分为运动方向线位移误 差，用对应的机床零部件精度参数S(x)、S(y)、S(z)表示；垂直面内线位移误差，用对应的机 床零部件精度参数Δs₁(x)、Δs₁(y)、Δs₁(z)表示；水平面内线位移误差，用对应的机床零部件精度 参数Δs₂(x)、Δs₂(y)、Δs₂(z)表示；滚转角误差，用对应的机床零部件精度参数Δs₃(x)、Δs₃(y)、Δs₃(z) 表示；颠簸角误差、偏摆角误差、垂直度误差则均可用上述直线度误差表示出来。其中，上 述精度参数中，x、y、z分别表示沿x、y、z方向。将机床零部件精度参数作为设计变量， 可构造目标函数：

$M2\left(\max \mathrm{imize}\right)=\max \sqrt{\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_i^2\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_j^2\left(y\right)+\underset{k=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_k^2\left(z\right)+S^2\left(x\right)+S^2\left(y\right)+S^2\left(z\right)}$

约束条件：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta x}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta x}\right)\\ {\mathrm{\Delta y}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta y}\right)\\ {\mathrm{\Delta z}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta z}\right)\\ \mathrm{lb}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\le {\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\\ (i=\mathrm{1,2,3};u=x,y,z)\\ \mathrm{lb}\left(S\left(u\right)\right)\le S\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left(S\left(u\right)\right)\\ (u=x,y,z)\end{array}\right)---\left(10\right)$

式（10）中，Δs_i(u)、S(u)均表示与机床几何误差相对应的机床零部件精度参数，数值大小近 似等于相应几何误差。式（10）以所有变量欧式范数的最大化表示待优化精度参数最大限度 的放宽。约束条件中，def(Δx),def(Δy),def(Δz)的含义与上文相同，表示优化后的x、y、z向误 差要小于等于最大允许误差，后两项不等式限制了零部件精度参数的上下边界。同时，隐含 条件是机床同一部件上的精度参数间差异不应过大，且优化后的变量值不应全部小于等于标 准值。

2.3建立总优化模型

由前文知，本发明的优化问题可以理解为在确保机床加工精度的约束条件下，实现对几 何误差影响最大的机床零部件成本最小化和精度参数变量欧式范数最大化的目的。故多轴机 床的精度分配问题可描述成一个二目标优化问题，当几何误差得到优化之后，机床主要部件 的精度等级也能得到确定。优化模型如下：

M1(minimize)=min[C_Σ(t_i)+L_Σ(t_i)]=min[C_∑(t_m)+C_∑(t_n)+L_∑(t_i)]

$M2\left(\max \mathrm{mize}\right)=\max \sqrt{\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_i^2\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_j^2\left(y\right)+\underset{k=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_k^2\left(z\right)+S^2\left(x\right)+S^2\left(y\right)+S^2\left(z\right)}$

约束条件：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta x}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta x}\right)\\ {\mathrm{\Delta y}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta y}\right)\\ {\mathrm{\Delta z}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta z}\right)\\ \mathrm{lb}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\le {\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\\ (i=\mathrm{1,2,3};u=x,y,z)\\ \mathrm{lb}\left(S\left(u\right)\right)\le S\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left(S\left(u\right)\right)\\ (u=x,y,z)\end{array}\right)---\left(11\right)$

式（11）中，t_m、t_n、t_i、Δs_i(u)、S(u)均表示机床几何误差，M1表示与几何误差相对应的 零部件成本最小，M2表示与几何误差相对应的机床零部件精度参数变量欧式范数最大化。为 了增强优化后的几何误差值的可比较性，几何误差应不小于标准值，且同一机床部件上的精 度参数间差异不应过大，X、Y、Z向最大允许误差应根据用户要求设定。上述设定即为本发 明的约束条件。

3基于NSGA-Ⅱ的精度优化分配

本发明中采用NSGA-Ⅱ进行优化的步骤如图1所示。

考虑到Isight的优化算法库中嵌入了NSGA-II,NCGA,ANGA,PE等多目标优化算法，同 时，它还可以与Matlab,UG,CATIA,ANSYS等软件进行集成，故本发明将采用Isight与Matlab 集成的方法来对该二目标优化问题进行优化。

Isight与Matlab集成使用的实施框架如图2所示。根据此方案即可对所有变量进行优 化，从而得出优化后的机床几何误差以及相应的机床关键部件的精度等级。

通过上面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及 实施过程。

附图说明

图1NSGA-II的实施流程图

图2Isight与Matlab集成进行优化的实现过程

图3三轴立式机床的结构简图

其中：0-床身；1-工件；2-X轴导轨；3-Y轴导轨；4-Z轴导轨；5-主轴（刀具）

图4三轴立式机床的拓扑结构图

图5 15组最优解集对应的M1,M2的值

具体实施方式

为实现机床成本与精度的均衡，本发明以某型号三轴立式机床为例，对上述稳健优化设 计方法进行了验证。该三轴立式加工中心技术指标为：工作台面尺寸为320mm×460mm；X、 Y、Z行程分别为300mm、250mm、300mm；主轴最高转速为20000r/min，BT40刀柄；X、Y、Z 快速移动速度均为48m/min；全闭环情况下定位精度≦0.003mm，重复定位精度≦0.0015mm， 其结构简图如图3。该三轴机床主要有X、Y、Z轴三个平动单元和主轴单元，本发明主要考 虑机床静态误差，故该机床共有21项几何误差，包括X、Y、Z各六项基本误差 （Δx_x,Δy_x,Δz_x,Δα_x,Δβ_x,Δγ_x,Δx_y,Δy_y,Δz_y,Δα_y,Δβ_y,Δγ_y,Δx_z,Δy_z,Δz_z,Δα_z,Δβ_z,Δγ_z）和三项垂直度 误差（Δγ_xy,Δβ_xz,Δα_yz）。

具体实施步骤如下：

步骤一：建立综合空间误差模型

通过多体系统理论建立该三轴立式机床的综合空间误差模型，将该机床抽象为多体系统， 该系统主要由5个典型体组成，图4为其拓扑结构图。表1是三轴立式机床的低序体阵列， 表2是该机床的自由度，它表示机床各单元之间的约束情况，其中“0”表示不能自由运动， “1”表示可以自由运动。

表1三轴立式机床的低序体阵列

表2三轴立式机床的自由度

设刀具成形点在刀具坐标系内的坐标为:

P_t=[P_tx P_ty P_tz 1]^T           (12)

且工件成型点在工件坐标系内的坐标为：

P_w=[P_wx P_wy P_wz 1]^T       (13)

那么机床在无误差情况（理想情况）下，刀具成形点在工件坐标系内的理想成形函数为

$\left[\underset{j=n,L^n\left(5\right)=o}{\overset{j=1}{\Pi }}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)p}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)s}\right]P_t=\left[\underset{u=n,L^n\left(1\right)=o}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)p}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)s}\right]P_w---\left(14\right)$

刀具成形点在工件坐标系中的理想成形函数为：

$P_t={\left[\underset{j=n,L^n\left(5\right)=o}{\overset{j=1}{\Pi }}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)p}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)s}\right]}^{-1}\underset{u=n,L^n\left(1\right)=o}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)p}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)s}{P}_w---\left(15\right)$

故加工点的综合空间位置误差为

$E=\left[\underset{u=n,L^n\left(1\right)=o}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)}\right]P_w-\left[\underset{j=n,L^n\left(5\right)=o}{\overset{j=1}{\Pi }}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)}\right]P_t$

$=\left[\underset{u=n,L^n\left(1\right)=o}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)}\right]P_w-$

$\left[\underset{j=n,L^n\left(5\right)=o}{\overset{j=1}{\Pi }}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)}\right]{\left[\underset{j=n,L^n\left(5\right)=o}{\overset{j=1}{\Pi }}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)p}{T}_{L^j\left(5\right)L^{j-1}\left(5\right)s}\right]}^{-1}\left[\underset{u=n,L^n\left(1\right)=o}{\overset{u=1}{\Pi }}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)p}{T}_{L^u\left(1\right)L^{u-1}\left(1\right)s}\right]P_w---\left(16\right)$

$=T_{01p}{\mathrm{\Delta T}}_{01p}{T}_{01s}{\Delta }_{01s}{P}_w-$

$T_{02p}{\mathrm{\Delta T}}_{02p}{T}_{02s}{\mathrm{\Delta T}}_{02s}{T}_{23p}{\mathrm{\Delta T}}_{23p}{T}_{23s}{\mathrm{\Delta T}}_{23s}{T}_{34p}{\mathrm{\Delta T}}_{34p}{T}_{34s}{\mathrm{\Delta T}}_{34s}{\left[T_{02p}{T}_{02s}{T}_{23p}{T}_{23s}{T}_{34p}{T}_{34s}\right]}^{-1}\left[T_{01p}{T}_{01s}\right]P_w$

式（14）即为三轴立式机床的综合空间误差模型。在上式中，表示体间理想静止、 运动特征矩阵，其中表示体间理想静止特征矩阵，表示体间理想运动特征矩 阵，和分别表示体间实际静止和运动误差特征矩阵。以T₂₃为例， T₂₃=T_23pΔT_23pT_23sΔT_23s，其中

T_23p=I_4×4   ${\mathrm{\Delta T}}_{23p}=\left(\begin{array}{cccc}1& {-\mathrm{\Delta \gamma }}_{\mathrm{xy}}& 0& 0\\ {\mathrm{\Delta \gamma }}_{\mathrm{xy}}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$T_{23s}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$  ${\mathrm{\Delta T}}_{23s}=\left(\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\Delta \gamma }}_y& {\mathrm{\Delta \beta }}_y& {\mathrm{\Delta x}}_y\\ {\mathrm{\Delta \gamma }}_y& 1& -\Delta {\alpha }_y& {\mathrm{\Delta y}}_y\\ -{\mathrm{\Delta \beta }}_y& {\mathrm{\Delta \alpha }}_y& 1& {\mathrm{\Delta z}}_y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

步骤二：建立基于零部件制造-质量损失成本的成本函数和基于零部件精度等级的公差优 化模型

1.建立基于零部件制造-质量损失成本的精度优化分配模型

1.1制造成本

该三轴立式机床基本几何误差与相应机床零部件几何误差之间的对应关系：

（1）运动方向线位移误差Δx_x,Δy_y,Δz_z主要是由丝杠的螺距累积误差决定，即由丝杠本 身的制造精度所影响；

（2）垂直面内的线位移误差Δz_x,Δz_y,Δy_z主要是由导轨在垂直面内的直线度误差所影 响；

（3）水平面内的线位移误差Δy_x,Δx_y,Δx_z主要由导轨在水平面内的直线度误差所影响；

（4）滚摆角误差Δα_x,Δβ_y,Δγ_z由导轨的平行度误差引起；

（5）颠簸角误差Δβ_x,Δα_y,Δα_z由导轨垂直面内的直线度误差和运动部件的长度共同决 定；

（6）偏摆角误差Δγ_x,Δγ_y,Δβ_z由导轨水平面内的直线度误差和运动部件的长度共同决 定。

令变量Δx_x,Δy_x,Δz_x,Δα_x,Δβ_x,Δγ_x,Δx_y,Δy_y,Δz_y,Δα_y,Δβ_y,Δγ_y,Δx_z,Δy_z,Δz_z, Δα_z,Δβ_z,Δγ_z,Δγ_xy,Δβ_xz,Δα_yz=t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉,t₁₀,t₁₁,t₁₂,t₁₃,t₁₄,t₁₅,t₁₆,t₁₇,t₁₈,t₁₉,t₂₀,t₂₁

根据对21项机床几何误差影响最大的机床零部件尺寸公差的加工特征对相应几何误差 进行分类，这21项几何误差可被分为：

外圆特征尺寸：t₁,t₈,t₁₅

平面特征尺寸：t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₉,t₁₀,t₁₁,t₁₂,t₁₃,t₁₄,t₁₆,t₁₇,t₁₈,t₁₉,t₂₀,t₂₁

根据式（4）、（5）即可得该三轴机床对几何误差影响最大的零部件的制造成本的表达式， 表示如下：

C_Σ(t_i)=C_∑(t_m)+C_∑(t_n)

m=1,8，15                                       （17）

n=2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19，20,21

1.2质量损失成本

本发明中，21项机床几何误差可分为9项线性误差和12项角度误差，故与21项几何误 差相对应的质量损失成本L_Σ(t_i)可近似表示为：

$L_{\Sigma }\left(t_i\right)=k[\frac{1}{9}{\mathrm{\Sigma t}}_s^2+\frac{1}{12}{\mathrm{\Sigma t}}_a^2]$

s=1,2,3,7,8,9,13,14,15              （18）

a=4,5,6,10,11,12,16,17,18,19，20,21

其中，t_s和t_a分别表示机床的线性几何误差和角度几何误差，k为与t无关的质量损失系 数。

根据上文的制造成本和质量损失成本，对机床几何误差影响最大的机床零部件总成本目 标函数可表示为：

M1(minimize)[C_Σ(t_i)+L_Σ(t_i)]=min[C_∑(t_m)+C_∑(t_n)+L_∑(t_i)]

m=1,8，15

n=2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19，20,21

$L_{\Sigma }\left(t_i\right)=k[\frac{1}{9}{\mathrm{\Sigma t}}_s^2+\frac{1}{12}{\mathrm{\Sigma t}}_a^2]$

s=1,2,3,7,8,9,13,14,15

a=4,5,6,10,11,12,16,17,18,19,20,21

约束条件：

$\left(\begin{array}{c}\Delta x_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta x}\right)\\ {\mathrm{\Delta y}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta y}\right)\\ {\mathrm{\Delta z}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta z}\right)\end{array}\right)---\left(19\right)$

2.基于机床零部件精度等级的优化模型

由上述几何误差与机床零部件几何误差之间的关系，我们可知21项基本几何误差与机床 零部件精度参数之间的关系。表达式如表3所示，其中L(^*)为X、Y、Z向运动部件长度，S(^*)、 Δs₁(^*)、Δs₂(^*)、Δs₃(^*)为与机床几何误差相对应的零部件精度参数。

表3基本几何误差与精度参数之间的关系

运动部件的3项垂直度误差也可以通过导轨的直线度误差辨识出来，令两轴夹角大 于90°时，垂直度误差为正。

${\mathrm{\Delta \gamma }}_{\mathrm{xy}}=\mathrm{arctg}\frac{{\mathrm{\Delta s}}_2\left(y\right)}{a\left(y\right)}-\mathrm{arctg}\frac{{\mathrm{\Delta s}}_2\left(x\right)}{a\left(x\right)}$

${\mathrm{\Delta \beta }}_{\mathrm{xz}}=\mathrm{arctg}\frac{{\mathrm{\Delta s}}_1\left(x\right)}{a\left(x\right)}-\mathrm{arctg}\frac{{\mathrm{\Delta s}}_2\left(z\right)}{a\left(z\right)}---\left(20\right)$

${\mathrm{\Delta \alpha }}_{\mathrm{yz}}=\mathrm{arctg}\frac{{\mathrm{\Delta s}}_1\left(z\right)}{a\left(z\right)}-\mathrm{arctg}\frac{{\mathrm{\Delta s}}_1\left(y\right)}{a\left(y\right)}$

其中，a(x),a(y),a(z)分别为x、y、z向导轨的长度。

根据机床零部件精度参数与几何误差之间的关系，将机床零部件精度参数作为设计变量， 可构造目标函数：

$M2\left(\max \mathrm{imize}\right)=\max \sqrt{\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_i^2\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_j^2\left(y\right)+\underset{k=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta s}}_k^2\left(z\right)+S^2\left(x\right)+S^2\left(y\right)+S^2\left(z\right)}$

$=\max \sqrt{t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_7^2+t_8^2+t_9^2+t_{11}^2+t_{13}^2+t_{14}^2+t_{15}^2+t_{18}^2}$

约束条件：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta x}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta x}\right)\\ {\mathrm{\Delta y}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta y}\right)\\ {\mathrm{\Delta z}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta z}\right)\\ \mathrm{lb}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\le {\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\\ (i=\mathrm{1,2,3};u=x,y,z)\\ \mathrm{lb}\left(S\left(u\right)\right)\le S\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left(S\left(u\right)\right)\\ (u=x,y,z)\end{array}\right)---\left(21\right)$

3.总优化模型

M1(minimize)=min[C_Σ(t_i)+L_Σ(t_i)]=min[C_∑(t_m)+C_∑(t_n)+L_∑(t_i)]

$M2\left(\max \mathrm{mize}\right)=\max \sqrt{t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_7^2+t_8^2+t_9^2+t_{11}^2+t_{13}^2+t_{14}^2+t_{15}^2+t_{18}^2}$

约束条件：

m=1,8,15

n=2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19，20,21

s=1,2,3,7,8,9,13,14,15

a=4,5,6,10,11,12,16,17,18,19,20,21,

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta x}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta x}\right)\\ {\mathrm{\Delta y}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta y}\right)\\ {\mathrm{\Delta z}}_{\max }\le \mathrm{def}\left(\mathrm{\Delta z}\right)\\ \mathrm{lb}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\le {\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left({\mathrm{\Delta s}}_i\left(u\right)\right)\\ (i=\mathrm{1,2,3};u=x,y,z)\\ \mathrm{lb}\left(S_{300P}\left(u\right)\right)\le S_{300P}\left(u\right)\le \mathrm{ub}\left(S_{300P}\left(u\right)\right)\\ (u=x,y,z)\end{array}\right)---\left(22\right)$

根据用户要求，该三轴机床的X、Y、Z向最大允许误差为：

E_x=-0.015,E_y=-0.015,E_z=-0.01

根据精密加工中心的几何精度检验标准GB/T20957.2—2007《精密加工中心检验条件第 2部分：立式或带垂直主回转轴的万能主轴头机床几何精度检验（垂直Z轴）》，可以查出三 轴立式机床的标准几何误差参数，为实现优化的目的，优化后的几何误差必须不小于标准值， 且同一部件上的精度参数差异不应过大，故本发明将标准值取为变量的下界，标准值的3倍 取为变量上界。上述设定即为本发明的约束条件。

步骤三：基于NSGA-Ⅱ的精度优化分配

为了证明上述方法的可行性，我们将根据上述三轴立式机床的精度模型，对典型工件进 行虚拟加工计算，进而计算并检验优化后的机床精度是否满足精度要求。在精加工条件下， 按照精密加工中心的几何精度检验标准GB/T20957.7-2007《精密加工中心检验条件第7部 分：精加工试件精度检验》，将加工试件安装在工作台上，在x-y平面上加工一个直径为Φ 108mm的圆。根据机床的设计结构、技术参数以及多体系统中广义坐标系的设置，可设定工 件坐标系原点在工作台坐标系中的位置坐标为：

(x_wd,y_wd,z_wd,1)=(150,-58,-65,1)

工件上加工点的坐标为：

(P_wx,P_wy,P_wz,1)^T=(-54,54,73,1)^T

各个运动轴的坐标为：

x=96,y=-4,z=-68

将上述二目标函数作为目标函数，21项几何误差作为变量，设定好各变量的约束范围以 及机床精度要求后，这21项几何误差即可通过集成Isight和Matlab来进行优化。经多次计 算得知，当种群数量取240，遗传代数取160时，可得到较好的优化结果。图5表示出了15 组最优解，横轴表示每组最优解对应的M1值，纵轴表示对应的M2值，最优折中解的值表示 如下。

表4给出了优化后的变量值

表4优化结果

优化后，我们可得到E_x=-0.14993,E_y=-0.014884,E_z=-0.0099933,M₁=119.068,M₂=0.02296。通过 表4可知优化后的所有变量均比标准值大，同时，E_x,E_y,E_z的值也在最大允许误差范围内， 这意味着我们在确保满足机床精度的前提下，对部分几何误差进行了适当放大。

表5导轨精度等级表

表6丝杠精度等级表

表7运动部件精度参数的计算值

表5和表6给出了对机床几何误差影响最大的部件的精度参数，根据上述几何误差的优化结 果和表5、表6的精度参数，可确定机床X、Y、Z向导轨、丝杠的精度等级。因此，通过本 发明提出的优化方法，我们给出了机床X、Y、Z向主要运动部件的精度等级，避免了生产过 程中为提高机床精度而盲目提高关键部件的精度等级的行为。