使用自动多级子结构化生成子结构

摘要

提供了一种用于物理对象的三维（3D）表示的有限元分析的计算机实现的方法。所述计算机实现的方法包括：组合所述3D表示的多个保留的自由度，以形成根子结构；将所述3D表示的结构缩减到缩减的自动多级子结构化（AMLS）子空间上；基于缩减的结构来计算多个本征模式和压缩算子；以及使用AMLS变换矩阵来计算约束模式。所述计算机实现的方法还包括：基于所述多个本征模式、约束模式以及压缩算子来生成所述3D表示的至少一个子结构；以及将所述至少一个子结构存储在存储区域中。

说明书

技术领域

概括地说，本申请描述的实施例涉及有限元分析，具体地说，本申请 描述的实施例涉及具有大量自由度的结构的有限元分析（FEA）模拟。

背景技术

在有限元框架中，通常采用子结构化技术（或部件模态综合法）来分 析大型复杂结构的系统。这些技术使得局部设计修改变得更加容易并且加 速了模型组装过程。尤其在大型车辆模型的设计阶段中，子结构化技术常 常用于减小组装系统的大小，因此减小了对组装系统进行后续分析的成 本。为了使用子结构化技术减小大型系统的大小，除了约束（有时还称作 静态）模式之外，通常还会使用删减的正常模式。为了满足较为频繁的对 有限元模型的不断增加的精度需求，模型系统的大小显著地增加并且需要 许多个子结构本征模式。

对大规模本征值问题进行求解的一个已知方法是自动多级子结构化 （AMLS）技术。AMLS技术还用于加速用于大型子结构生成的本征求解 过程。然而，生成子结构占用了很多的计算时间并且需要大量的计算机资 源，这是由于需要存储大型子结构的完全子结构模式以用于后续恢复，并 且需要在子结构生成过程中获取大型子结构的完全子结构模式以进行压 缩矩阵计算，其中生成子结构包括将子结构系统矩阵投影到包括本征模式 和约束模式的子结构模态空间上。在大规模模型的传统动态子结构生成过 程中，计算本征模式是强制性的，并且计算约束模式和将系统矩阵（即刚 度、质量、阻尼矩阵以及力向量）投影到子结构模态空间上的成本非常高， 这是由于投影是使用物理空间中的完全子结构模式来执行的，其大小可能 很容易大于数亿的自由度。

发明内容

在一个方面中，提供了一种用于物理对象的三维（3D）表示的有限元 分析的计算机实现的方法。所述计算机实现的方法包括：用AMLS方法， 组合所述3D表示的多个保留的自由度，以形成根子结构；将所述3D表 示的结构投影到多级的AMLS子结构模态子空间（或缩减的AMLS子空 间）上；计算缩减的AMLS子空间上的多个本征模式和压缩算子；以及 使用AMLS变换矩阵来计算子结构约束模式。所述计算机实现的方法还 包括：基于所述多个本征模式、约束模式以及压缩算子来生成所述3D表 示的至少一个子结构；以及将所述至少一个子结构存储在存储区域中。

在另一个方面中，提供了一种用于物理对象的三维（3D）表示的有限 元分析的计算机。所述计算机包括：存储区域；以及处理器，可操作地耦 合到所述存储区域。所述处理器被配置为：利用AMLS技术来组合所述 3D表示的多个保留的自由度，以形成根子结构；将所述3D表示的结构投 影到多级的子结构模态子空间上；基于缩减的结构来计算多个本征模式和 压缩算子；以及使用AMLS变换矩阵来计算约束模式。所述处理器还被 配置为：基于所述多个本征模式、约束模式以及压缩算子来生成所述3D 表示的至少一个子结构；以及将所述至少一个子结构存储在存储区域中。

在另一个方面中，提供了一种用于物理对象的三维（3D）表示的有限 元分析的计算机程序产品。所述计算机程序产品包括具有计算机可执行组 件的一个或多个计算机可读存储介质，其中所述组件包括根子结构生成组 件，所述根子结构生成组件当由处理器执行时，使得所述处理器组合所述 3D表示的多个保留的自由度，以形成根子结构。所述组件还包括子结构 生成组件，所述子结构生成组件当由处理器执行时，使得所述处理器：将 所述3D表示的结构缩减到子结构模态子空间（或缩减的AMLS子空间） 上；基于缩减的结构来计算多个本征模式和压缩算子；以及使用AMLS 变换矩阵来计算约束模式。所述子结构生成组件还使得所述处理器：基于 所述多个本征模式、约束模式以及压缩算子来生成所述3D表示的至少一 个子结构。

附图说明

在下面的附图和描述中给出了本发明的一个或多个实施例的细节。根 据说明书、附图以及根据权利要求书，本发明的其它特征、目的和优点将 是显而易见的。

图1的流程图示出了包括用于计算本征模式的AMLS技术以及已知 的Craig-Bampton（或固定界面）子结构生成技术的已知过程。

图2的流程图示出了用于物理对象的三维（3D）表示的有限元分析 （FEA）的包括基于AMLS的Craig-Bampton过程的示例性方法。

图3为被划分的系统的多级子结构树。

图4为被划分的系统的多级子结构树，包括保留的自由度。

图5的流程图示出了与图1中示出的过程类似的已知过程，其中，可 以使用自由界面正常模式和约束模式来生成传统的Craig-Chang（或自由 界面）子结构。

图6的流程图示出了用于物理对象的3D表示的FEA的包括基于 AMLS的Craig-Chang过程的示例性方法。

图7为用于物理对象的3D表示的有限元分析的示例性计算机系统的 示意性框图。

图8为与在图7中示出的计算机系统一起使用的示例性计算机架构的 示意性框图。

具体实施方式

如同在本申请中所使用的，术语Craig-Bampton和Craig-Bampton过 程、程序和/或方法一般涉及使用约束模式和固定界面动态模式的子结构 化方法，固定界面动态模式包括本征模式和/或残余模式。

如同在本申请中所使用的，术语Craig-Chang和Craig-Chang过程、 程序和/或方法一般涉及使用约束模式和自由界面动态模式的子结构化方 法，自由界面动态模式包括修改的本征模式和/或残余模式。Craig-Chang 方法使用正交化过程来去除动态模式的可能的线性相关性，并将动态模式 修改成与其在固定界面方法中相同的结构（然而，并未改变子空间）。

如同在本申请中所使用的，术语通用混合界面过程、程序和/或方法 一般涉及使用通用动态模式和/或任何其它动态模式的子结构化方法，通 用动态模式可以包括在子结构界面处具有任意边界条件的本征模式。 Craig-Bampton和Craig-Chang都是这种通用方案的子集。

在本申请中描述了用于物理对象的三维（3D）表示的有限元分析 （FEA）的方法、系统、装置以及计算机程序产品的示例性实施例。本申 请中描述的实施例有助于将AMLS本征求解过程与子结构生成过程集成， 以解决当前子结构生成过程的缺点。此外，使用本申请中描述的实施例， 能够以非常小的额外计算成本在AMLS本征求解过程期间计算子结构正 常模式和约束模式以及压缩的子结构系统矩阵。因此，本申请中描述的实 施例通过消除对使用和计算完全子结构模式（包括本征模式和约束模式） 的需求，显著地提高了子结构生成过程的性能，并且降低了计算资源的利 用。

本申请中描述的方法、系统、装置以及计算机程序的示例性技术效果 包括新的基于AMLS的子结构生成算法。可以在AMLS本征求解过程中 生成固定界面、自由界面以及混合界面子结构。在传统的子结构生成方法 中，通过对刚度矩阵进行分解来获得消除的自由度（DOF）并对线性方程 的系统进行求解来计算约束模式，在线性方程中，消除的DOF和保留的 DOF之间的耦合刚度项作为该系统中的右端向量。接着，使用完全本征模 式和约束模式来计算出压缩的系统矩阵。由于在AMLS变换期间对刚度 矩阵进行分解，从而被分解的刚度矩阵可以在AMLS本征解过程中重用 于计算约束模式。这将会在子结构生成过程中节省刚度矩阵的一次分解。 并且，如果保留的子结构被定义为根子结构，则压缩的系统矩阵为保留的 子结构的系统矩阵。这意味着，压缩矩阵的对角块是作为AMLS变换过 程的一部分而计算出来的，从而对于生成子结构，不存在计算压缩的刚度 和质量矩阵的对角块的额外成本。此外，由于缩减的AMLS子空间的大 小通常比该结构的原始大小要小两个数量级，从而可以以较低的计算成本 在缩减的AMLS子空间上计算出压缩的质量和阻尼矩阵中的需要完全本 征模式的非对角块。因此，完全消除了在子结构生成过程中的计算。此外， 如同在本申请中关于本发明的示例性实施例所描述的，由于除了子结构完 全恢复之外并不需要完本征模式，所以对于子结构生成而言不需要计算出 完全本征模式。因此，如果在子结构生成过程中请求选择性恢复，则可以 请求仅选择性恢复用户定义的节点处的本征模式，以节省在AMLS本征 求解过程中恢复完全本征模式的时间，并且消除了为后续的子结构生成过 程存储大型的完全本征模式的二级磁盘空间需求。对于Craig-Chang方法， 可以在缩减的AMLS子空间上有效地完成修改的动态模式的必要正交化， 这会显著地降低计算需求。

图1的流程图100示出了包括用于计算本征模式的AMLS技术102 以及已知的Craig-Bampton（或固定界面）子结构生成技术104的已知过 程。在已知过程中，对系统矩阵进行组装106，以获得物理对象的3D表 示或模型，其中系统矩阵包括刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和/或力向 量矩阵。例如，如同公式（1）和（2）所示的，划分刚度矩阵（K）和质 量矩阵M：

$K=\left(\begin{array}{cc}{K}_{\mathrm{ee}}& K_{\mathrm{er}}\\ K_{\mathrm{er}}^T& K_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（1）

$M=\left(\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{ee}}& M_{\mathrm{er}}\\ M_{\mathrm{er}}^T& M_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（2）

这里，下标e表示子结构的消除的自由度，并且下标r表示子结构的保留的 自由度。对于此系统，如同公式（3）所示的，Craig-Bampton变换矩阵可 以写成：

$\left(\begin{array}{c}{u}_e\\ u_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_e& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\Phi & \Psi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)=T_{\mathrm{CB}}\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)$公式（3）

其中，${\Psi }_{\mathrm{er}}=-K_{\mathrm{ee}}^{-1}{K}_{\mathrm{er}}.$

如同公式（4）到公式（8）所示的，使用Craig-Bampton变换矩阵的 压缩的（或投影的）刚度（K）和质量（M）矩阵可以写成：

$\hat{K}=T_{\mathrm{CB}}^{T}K{T}_{\mathrm{CB}}=\left(\begin{array}{cc}{\Lambda }_{\mathrm{\alpha \alpha }}& 0\\ 0& {\hat{K}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（4）

$\hat{M}=T_{\mathrm{CB}}^{T}M{T}_{\mathrm{CB}}=\left(\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{\alpha \alpha }}& {\hat{M}}_{\mathrm{\alpha r}}\\ {\hat{M}}_{\mathrm{\alpha r}}^T& {\hat{M}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（5）

其中，

${\hat{K}}_{\mathrm{rr}}=K_{\mathrm{rr}}-K_{\mathrm{er}}^T{K}_{\mathrm{ee}}^{-1}{K}_{\mathrm{er}}=K_{\mathrm{rr}}+K_{\mathrm{er}}^T{\Psi }_{\mathrm{er}}$公式（6）

${\hat{M}}_{\mathrm{rr}}=M_{\mathrm{rr}}+{\Psi }_{\mathrm{er}}^T(M_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+M_{\mathrm{er}})+M_{\mathrm{er}}^T{\Psi }_{\mathrm{er}}$公式（7）

${\hat{M}}_{\alpha }={\Phi }_e^T(M_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+M_{\mathrm{er}})$公式（8）

这里，Λ_αα表示在对角线上具有本征值的对角矩阵并且α表示子结构的模态 自由度。

类似地，如同公式（9）到公式（12）所示的，可以形成压缩的阻尼 矩阵：

$\hat{D}=T_{\mathrm{CB}}^{T}D{T}_{\mathrm{CB}}=\left(\begin{array}{cc}{\hat{D}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}& {\hat{D}}_{\mathrm{\alpha r}}\\ {\hat{D}}_{\mathrm{\alpha r}}^T& {\hat{D}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（9）

其中，

${\hat{D}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}={\Phi }_e^T{D}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_e$公式（10）

${\hat{D}}_{\mathrm{rr}}=D_{\mathrm{rr}}+{\Psi }_{\mathrm{er}}^T(D_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+D_{\mathrm{er}})+D_{\mathrm{er}}^T{\Psi }_{\mathrm{er}}$公式（11）

${\hat{D}}_{\alpha }={\Phi }_e^T(D_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+D_{\mathrm{er}})$公式（12）

此外，如同公式（13）所示的，压缩的（或投影的）力向量矩阵可以 写成：

$\hat{F}=\left(\begin{array}{c}{\hat{F}}_{\alpha }\\ {\hat{F}}_r\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_e& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}{F}_e\\ F_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\Phi }_e^T{F}_e\\ {\Psi }_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)$公式（13）

子结构生成过程的目标为生成子结构模式（本征模式（Φ）+约束模 式（Ψ））和压缩的子结构系统矩阵：以及

因此，在AMLS过程102中，在多个级别上将结构划分成多个子结 构108，接着将该结构缩减到子结构模态子空间上110。对所产生的本征 问题进行求解112，以计算缩减的本征模式，接着恢复全局本征模式114 并将其存储在存储区域中116。

在Craig-Bampton过程104中，首先计算出约束模式118并将其存储 在存储区域中120，接着通过计算压缩子结构算子122来生成一个或多个 子结构，接着将这些压缩子结构算子存储在存储区域中124。

使用上述过程具有已知的缺点。例如，这一已知的过程占用了很多的 计算时间并且需要大量的计算机资源，这是由于需要存储大型子结构的完 全子结构模式以用于后续恢复，并且需要在子结构生成过程中获取大型子 结构的完全子结构模式以进行压缩矩阵计算。在大规模模型的传统动态子 结构生成过程中，计算本征模式是强制性的，并且计算约束模式和将系统 矩阵投影到Craig-Bampton子空间（本征模式和约束模式）上的成本非常 高，这是由于投影是使用物理空间中的完全子结构本征模式来执行投影， 其大小可能很容易大于数亿的自由度。这需要大量的数据存储区域并使用 不断增加的大量时间来将数据的一部分从一个存储区域（例如硬盘）传送 到另一个存储区域（例如工作存储器）。

图2的流程图200示出了将基于AMLS的过程与Craig-Bampton过程 集成的用于物理对象的3D表示的FEA的示例性方法。在示例性实施例中， 如同上文关于图1所描述的，组装系统矩阵202，以获得物理对象的3D 表示或模型，其中系统矩阵包括刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和/或力 向量矩阵。

此外，在AMLS过程中对根子结构本征问题进行求解，以使得变换 的刚度矩阵完全对角化。因此，对于被定义为仅具有保留的自由度的根子 结构，示例性实施例不再需要计算根子结构本征问题的解以及使用根子结 构本征模式的缩减过程。因此，使用在AMLS本征求解过程期间所生成 的副产物，可以在Craig-Bampton子空间上生成压缩的系统矩阵。

在示例性实施例中，根据AMLS变换矩阵来表示AMLS过程所计算 出的全局本征模式。如同公式（14）所示的，使用AMLS过程所计算出 的本征模式可以表示成：

Φ_e=T_AΦ_A                    公式（14）

其中，T_A为AMLS变换矩阵，并且Φ_A为表示在AMLS子结构模态空间中计 算出的缩减的本征模式的矩阵。由于可以将Craig-Bampton变换矩阵分成两 个分量，所以可以将该AMLS变换矩阵自然地分成两个部分：子结构约束 模式和子结构固定界面本征模式，如同公式（15）所示的：

$T_A=\left[{\Pi }_{i=1}^n{{\Psi }_S}^{\left(i\right)}{{\Phi }_S}^{\left(i\right)}\right]=\left[{\Pi }_{i=1}^n{{\Psi }_S}^{\left(i\right)}\right]\left[{\Pi }_{i=1}^n{{\Phi }_S}^{\left(i\right)}\right]={\hat{\Psi }}_S{\Phi }_S$公式（15）

其中，n为子结构的数量，Ψ_S⁽ⁱ⁾为子结构i的约束模式矩阵，并且Φ_S⁽ⁱ⁾为除 了具有与子结构i相对应的本征向量的块之外在对角块上具有单位矩阵的 块对角矩阵。

此外，由于最终的AMLS变换矩阵为所有子结构变换矩阵的乘积， 所以公式（15）中的表示完全耦合的约束模式矩阵，如下面在公式（16） 中所示的：

${\hat{\Psi }}_S=\left[{\Pi }_{i=1}^n{{\Psi }_S}^{\left(i\right)}\right]$公式（16）

图3为被划分的系统的两级子结构树300。使用上述过程，对于子结 构1，如公式（17）所示的，Ψ_S⁽¹⁾被表示成：

${{\Psi }_S}^{\left(1\right)}=\left(\begin{array}{ccccccc}{I}_1& 0& {\Psi }_{12}& 0& 0& 0& {\Psi }_{17}\\ 0& I_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& I_4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7\end{array}\right)$公式（17）

类似地，由公式（18）给出子结构2的Ψ_S⁽²⁾：

${{\Psi }_S}^{\left(2\right)}=\left(\begin{array}{ccccccc}{I}_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& I_2& {\Psi }_{23}& 0& 0& 0& {\Psi }_{27}\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& I_4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7\end{array}\right)$公式（18）

此外，对于子结构3，由公式（19）给出Ψ_S⁽³⁾：

${{\Psi }_S}^{\left(3\right)}=\left(\begin{array}{ccccccc}{I}_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& I_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& {\Psi }_{37}\\ 0& 0& 0& I_4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7\end{array}\right)$公式（19）

子结构4和5的约束模式矩阵与子结构1和2的约束模式矩阵类似， 并且子结构7的约束模式矩阵完全变为单位矩阵。因而，可以由公式（20） 表示最终的约束模式矩阵：

${\hat{\Psi }}_S={\Pi }_{i=1}^7{{\Psi }_S}^{\left(i\right)}=\left(\begin{array}{ccccccc}{I}_1& 0& {\hat{\Psi }}_{13}& 0& 0& 10& {\hat{\Psi }}_{17}\\ 0& I_2& {\hat{\Psi }}_{23}& 0& 0& 0& {\hat{\Psi }}_{27}\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& {\Psi }_{37}\\ 0& 0& 0& I_4& 0& {\hat{\Psi }}_{46}& {\hat{\Psi }}_{47}\\ 0& 0& 0& 0& I_5& {\hat{\Psi }}_{56}& {\hat{\Psi }}_{57}\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& {\hat{\Psi }}_{67}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7\end{array}\right)$公式（20）

其中，表示耦合在子结构i与j之间的约束模式，如公式（21）所示：

${\hat{\Psi }}_{\mathrm{ij}}={\Psi }_{\mathrm{ij}}+\underset{k\in {\zeta }_{i,j}}{\Sigma }\left({\Psi }_{\mathrm{ik}}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{kj}}\right)$公式（21）

并且其中ζ_ij为子结构i的祖先同时为子结构j的后代的索引的集合。

在示例性实施例中，对于子结构本征模式矩阵，如同公式（22）所示 的，子结构1的Φ_S⁽¹⁾被表示为：

${{\Psi }_S}^{\left(1\right)}=\left(\begin{array}{ccccccc}{\Phi }_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& I_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& I_4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7\end{array}\right)$公式（22）

除了在相应对角块中出现本征模式矩阵之外，每个子结构的子结构本 征模式矩阵与子结构1的子结构本征模式矩阵相同。因而，如同公式（23） 所示的，最终的子结构本征模式矩阵可以被表示为：

${\Phi }_S={\Pi }_{i=1}^7{{\Phi }_S}^{\left(i\right)}=\left(\begin{array}{ccccccc}{\Phi }_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& {\Phi }_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& {\Phi }_3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\Phi }_4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\Phi }_5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {\Phi }_6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& {\Phi }_7\end{array}\right)$公式（23）

由于每个子结构本征模式矩阵为块对角的，所以在最终矩阵中没有耦 合项。因此，如同公式（24）所示的，AMLS变换矩阵可以被表示为：

$T_A={\hat{\Psi }}_S{\Phi }_S=\left(\begin{array}{ccccccc}{I}_1& 0& {\hat{\Psi }}_{13}& 0& 0& 0& {\hat{\Psi }}_{17}\\ 0& I_2& {\hat{\Psi }}_{23}& 0& 0& 0& {\hat{\Psi }}_{27}\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& {\Psi }_{37}\\ 0& 0& 0& I_4& 0& {\hat{\psi }}_{46}& {\hat{\Psi }}_{57}\\ 0& 0& 0& 0& I_5& {\hat{\Psi }}_{56}& {\hat{\psi }}_{57}\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& {\hat{\Psi }}_{67}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccccc}{\Phi }_1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& {\Phi }_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& {\Phi }_3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\Phi }_4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\Phi }_5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {\Phi }_6& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& {\Phi }_7\end{array}\right)$公式（24）

在AMLS变换过程期间，从质量和刚度矩阵的左端和右端均应用子 结构约束模式矩阵Ψ_S⁽ⁱ⁾和子结构本征模式矩阵Φ_S⁽ⁱ⁾，以递增地对系统矩阵 进行变换。在数值线性代数的意义上，可以将子结构约束模式矩阵Ψ_S⁽ⁱ⁾称 作刚度矩阵的针对与子结构i相对应的块的分块高斯消元器。从而，通过 应用这种高斯消元器来消除刚度矩阵中的与子结构i相对应的块，并且在 应用了所有的子结构约束模式矩阵之后，所变换的刚度矩阵将是块对角 的。当在AMLS变换中刚度矩阵的分块高斯消元发展到子结构树的根时， 计算出子结构本征模式。高斯消元和子结构本征模式计算这两个操作可以 分开。换言之，可以先对系统矩阵进行分解，稍后可以接着对每个子结构 的本征值问题进行求解。

将AMLS变换分成两个部分导致了新的形式的Craig-Bampton变换矩 阵。如同公式（25）所示的，公式（3）中的Craig-Bampton变换矩阵与公 式（14）和（15）组合可以被表示为：

$T_{\mathrm{CB}}=\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_e& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{T}_A{\Phi }_A& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\hat{\Psi }}_S& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_S& 0\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_A& 0\\ 0& I_r\end{array}\right)$公式（25）

在公式（25）中，由于在定义上Ψ_er为刚度矩阵的、与消除的自由度 与保留的自由度之间的耦合相对应的分块高斯消元器，所以Ψ_er可以组合 成换言之，在AMLS变换中，可以在整个刚度矩阵的分块分解期间 执行K_er的分块分解。这使得对于每个子结构而言每个Ψ_S⁽ⁱ⁾具有扩展的行 和列，其与保留自由度的子结构相对应。例如，我们可以定义仅包括保留 的自由度的根子结构，从而可以重新排列之前的两级子结构树400，如图 4中所示的。

仍然参见图4，如同公式（26）所示的，这种子结构树的Ψ_S⁽¹⁾可以写 成：

${{\Psi }_S}^{\left(1\right)}=\left(\begin{array}{cccccccc}{I}_1& 0& {\Psi }_{13}& 0& 0& 0& {\Psi }_{17}& {\Psi }_{1r}\\ 0& I_2& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_3& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& I_4& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_5& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_6& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_7& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& I_r\end{array}\right)$公式（26）

此外，如同公式（27）所示的，约束模式Ψ可以被表示为：

$\Psi =\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{1r}\\ {\hat{\Psi }}_{2r}\\ {\hat{\Psi }}_{3r}\\ {\hat{\Psi }}_{4r}\\ {\hat{\Psi }}_{5r}\\ {\hat{\Psi }}_{6r}\\ {\hat{\Psi }}_{7r}\\ I_r\end{array}\right)$公式（27）

这里，表示由于多级扩展而与子结构i相对应的高斯消元器的完全 耦合的块。如同公式（28）所示，可以使用与公式（21）类似的如下公式 来计算每个

公式（28）

其中，表示作为子结构i的祖先的子结构的集合，但是不包括包含保留 的自由度的根子结构。由于是递归地计算的，从而可以在AMLS变换 之后计算出然而，由于Ψ_ir是在每个子结构i处计算的，从而来自子 结构i的对于保留的自由度的静态压缩（或schur补充）贡献是在每个 子结构i处计算的，并且之后可以被加到最终静态压缩。因此，通过组装 根子结构的刚度矩阵，计算出仅针对保留的自由度的最终压缩刚度矩阵， 如公式（29）所示的。这里，表示中间产品包含来自其所有后代的贡 献。

${\hat{K}}_{\mathrm{rr}}=K_{\mathrm{rr}}+\underset{i=1}{\overset{7}{\Sigma }}{K}_{\mathrm{rr}}^{\left(i\right)}=K_{\mathrm{rr}}+\underset{i=1}{\overset{7}{\Sigma }}\left({\tilde{K}}_{\mathrm{ir}}^T{\Psi }_{\mathrm{ir}}\right)$公式（29）

类似地，如同公式（30）所示，组装最终压缩的质量矩阵。这里，和表示中间产品包括来自其所有后代的贡献。

${\hat{M}}_{\mathrm{rr}}=M_{\mathrm{rr}}+\underset{i=1}{\overset{7}{\Sigma }}{M}_{\mathrm{rr}}^{\left(i\right)}=M_{\mathrm{rr}}+\underset{i=1}{\overset{7}{\Sigma }}({\Psi }_{\mathrm{ir}}^T({\tilde{M}}_{\mathrm{ii}}{\Psi }_{\mathrm{ir}}+{\tilde{M}}_{\mathrm{ir}})+{\tilde{M}}_{\mathrm{ir}}{\Psi }_{\mathrm{ir}})$公式（30）

因此，通过对仅具有保留的自由度的根子结构（子结构r）的刚度矩 阵和质量矩阵进行组装，可以获得压缩的刚度矩阵和质量矩阵，如同公式 （29）和（30）所示的。尤其是，在AMLS变换中，没有对保留的子结 构的本征问题进行求解，从而保留的子结构与消除的子结构之间的非对角 质量耦合没有减少。

此外，如果针对消除自由度的子结构计算缩减的本征模式（Φ_A），则 可以利用缩减的本征模式来计算压缩的非对角质量矩阵。这在公式（31） 中示出。

${\hat{M}}_{\mathrm{\alpha r}}={\Phi }_e^T(M_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+M_{\mathrm{er}})$

$={\Phi }_A^T{T}_A^T(M_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+M_{\mathrm{er}})$

$={\Phi }_A^T\left\{{\Phi }_S^T{\hat{\Psi }}_S^T(M_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+M_{\mathrm{er}})\right\}$公式（31）

$={\Phi }_A^T\left\{{\Phi }_S^T{\hat{M}}_{\mathrm{er}}\right\}$

$={\Phi }_A^T{\hat{\mu }}_{\mathrm{er}}$

在公式（28）中，为保留的自由度与消除的自由度之间的左端缩减 的质量耦合，通过在AMLS变换中不对保留的子结构的本征模式进行缩 减，可以容易地获得因此，在AMLS变换期间，计算出压缩的 Craig-Bampton矩阵和可以通过在计算出仅具有消除的自由度的 子结构的缩减的本征模式之后，将缩减的本征模式预先乘以一端的缩减的 质量耦合来计算出压缩的非对角质量矩阵

可以以与质量矩阵压缩类似的方式，除了对角块之外，将对称阻尼矩 阵投影到Craig-Bampton子空间上。可以以与质量矩阵压缩类似的方式来 计算和阻尼矩阵的对角块为模态阻尼矩阵，其通常是在AMLS 恢复阶段中计算出来的，以用于后续的稳态动态分析。如同在公式（32） 中推导出的，可以在缩减的AMLS子空间上计算出这种模态阻尼矩阵。

${\hat{D}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}={\Phi }_e^T{D}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_e={\Phi }_A^T\left[T_A^T{D}_{\mathrm{ee}}{T}_A\right]{\Phi }_A={\Phi }_A^T{D}_A{\Phi }_A$公式（32）

因此，在AMLS变换过程期间，还可以压缩任意对称的阻尼矩阵。

关于力向量压缩，如同公式（33）所示，可以根据AMLS缩减的本 征模式来表示压缩的力向量。

$\hat{F}=\left(\begin{array}{c}{\hat{F}}_{\alpha }\\ {\hat{F}}_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\Phi }_e^T{F}_e\\ {\hat{\Psi }}_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\Phi }_A^T\left(T_A^T{F}_e\right)\\ {\Psi }_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\Phi }_A^T{F}_A\\ {\Psi }_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)$公式（33）

在示例性实施例中，在AMLS恢复阶段中计算模态力向量，即 可以计算出针对保留的自由度的压缩力向量作为全部右端 向量。如果受力的自由度被限制在子结构树中的在根子结构右下方的最后 一个子结构中，则计算变得更简单。例如，如果受力的自由度仅包含在子 结构7和子结构r中，则如同公式（34）所示的，可以计算出压缩的力向 量：

${\hat{F}}_r={\hat{\Psi }}_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r={\Psi }_{7r}^T{F}_7+F_r$公式（34）

因此，在AMLS本征求解过程期间，可以计算出全局本征模式、约 束模式以及所有的压缩子结构系统矩阵。这意味着去除了子结构生成过程 中的用于计算约束模式和所有的系统矩阵在Craig-Bampton子空间上的投 影的计算阶段。换言之，子结构生成过程完全嵌入在AMLS本征求解过 程中。这将去除为了后续子结构生成在AMLS本征求解过程中对完全本 征模式的需求，这将会释放与大型模型的完全本征模式相关的大量计算机 资源利用。

再次参见图2，将多个保留的自由度组合在根子结构中204。接着以 多个级别将将结构划分成多个子结构206，并且接着将该结构缩减到子结 构模态子空间上208。然而，值得注意的是，没有计算根子结构模态子空 间并且没有缩减根子结构。对所产生的缩减的本征问题进行求解210，以 恢复本征模式并且计算多个约束模式和压缩算子212，将所有的本征模式、 约束模式和压缩算子都存储在存储区域中214。

在示例性实施例中，由于AMLS和Craig-Bampton过程被集成在一起， 从而不需要任何计算来生成一个或多个子结构。因此，以非常小的额外计 算成本计算出了子结构正常模式和约束模式以及压缩子结构系统矩阵。上 述实施例通过消除对使用和计算完全的子结构模式的需求，显著地提高了 子结构生成过程的性能并且降低了计算资源的利用。

图5的流程图500示出了与上文在图1中示出的过程类似的已知过 程，其中，可以使用自由界面正常模式和约束模式来生成传统Craig-Chang （或自由界面）子结构。更具体地，图5示出的已知过程包括用于恢复本 征模式的AMLS技术502以及已知的Craig-Chang（或自由界面）子结构 生成技术504。在该已知过程中，使用与上文关于图1描述的操作的相同 或类似的操作组装系统矩阵506，以获得物理对象的3D表示或模型，其 中系统矩阵包括刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和/或力向量矩阵。此外， 由于该方法使用与Craig-Bampton方法相同的约束模式，所以子结构生成 过程也可以嵌入在AMLS本征求解过程中。

假定与上述公式（1）一样划分同一系统矩阵，如同公式（35）所示 的，Craig-Chang方法的变换矩阵可以写成：

$\left(\begin{array}{c}{u}_e\\ u_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_{\mathrm{e\alpha }}& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ {\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\Phi & \Psi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)=T_{\mathrm{CC}}\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)$公式（35）

此外，如同公式（36）所示的，使用Craig-Chang变换矩阵的压缩的 刚度矩阵和质量矩阵可以写成：

$\hat{K}=T_{\mathrm{CC}}^{T}K{T}_{\mathrm{CC}}=\left(\begin{array}{cc}{\Lambda }_{\mathrm{\alpha \alpha }}& {\hat{K}}_{\mathrm{\alpha r}}\\ {\hat{K}}_{\mathrm{\alpha r}}^T& {\hat{K}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right),$$\hat{M}=T_{\mathrm{CC}}^{T}M{T}_{\mathrm{CC}}=\left(\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{\alpha \alpha }}& {\hat{M}}_{\mathrm{\alpha r}}\\ {\hat{M}}_{\mathrm{\alpha r}}^T& {\hat{M}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（36）

其中，如同公式（6）和（7）所示的那样来表示和并且如同公式 （37）和（38）所示的那样来表示刚度矩阵和质量矩阵的非对角块：

${\hat{K}}_{\mathrm{\alpha r}}={\Phi }^T\mathrm{K\Psi }$公式（37）

${\hat{M}}_{\alpha }={\Phi }^T\mathrm{M\Psi }$公式（38）

与Craig-Bampton方法不同，由于对于刚度矩阵而言自由界面本征模 式与约束模式之间具有非正交关系，从而压缩的刚度矩阵具有非零的非对 角块。换言之，在自由界面本征模式与约束模式之间可能具有线性相关性， 由于没有对保留的自由度施加本征模式的边界条件，从而这种线性相关性 将会导致压缩系统中的秩亏问题。

通过将自由界面本征模式Φ与约束模式Ψ组合，可以获得修改的动态 模式，并且这保证了修改的动态模式与约束模式之间线性无关性。通过从 自由界面本征模式中减去约束模式，对于刚度矩阵而言，可以使得修改的 动态模式与约束模式正交，如同公式（39）所示的：

$\overline{{\Phi }^T}\mathrm{K\Psi }=0$公式（39）

因而，如同公式（40）所示的，修改的动态模式可以被表示成：

$\bar{\Phi }=\Phi -\Psi {\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}=\left(\begin{array}{c}{\Phi }_{\mathrm{e\alpha }}-{\Psi }_{\mathrm{er}}{\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\bar{\Phi }}_e\\ 0\end{array}\right)$公式（40）

应注意的是，由于取消了约束模式，从而修改的动态模式可能包括零 向量或线性相关的向量。为了避免奇异的压缩系统，对于刚度矩阵和质量 矩阵而言，修改的动态模式应当在它们之间被正交化。对于具有大量所需 本征模式的大型模型而言，这种正交化过程导致了很高的计算成本。

利用正交的修改的固定界面动态模式，如同公式（41）所示的，新的 形式的Craig-Chang可以写成：

$\left(\begin{array}{c}{u}_e\\ u_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_{\mathrm{e\alpha }}-{\Psi }_{\mathrm{er}}{\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\bar{\Phi }& \Psi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)={\bar{T}}_{\mathrm{CC}}\left(\begin{array}{c}{\eta }_e\\ u_r\end{array}\right)$公式（41）

利用这种变换矩阵，如同公式（42）和（43）所示的，压缩的刚度矩 阵和质量矩阵可以写成：

$\hat{K}={\bar{T}}_{\mathrm{CC}}^{T}K{\bar{T}}_{\mathrm{CC}}=\left(\begin{array}{cc}{\hat{K}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}& 0\\ 0& {\hat{K}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（42）

$\hat{M}={\bar{T}}_{\mathrm{CC}}^{T}M{\bar{T}}_{\mathrm{CC}}=\left(\begin{array}{cc}{\hat{M}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}& {\hat{M}}_{\mathrm{\alpha r}}\\ {\bar{M}}_{\mathrm{\alpha r}}^T& {\hat{M}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（43）

其中，

${\hat{K}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}={\bar{\Phi }}^{T}K\bar{\Phi }={\bar{\Lambda }}_{\mathrm{\alpha \alpha }}$公式（44）

${\hat{K}}_{\mathrm{rr}}=K_{\mathrm{rr}}-K_{\mathrm{er}}^T{K}_{\mathrm{ee}}^{-1}{K}_{\mathrm{er}}=K_{\mathrm{rr}}+K_{\mathrm{er}}^T{\Psi }_{\mathrm{er}}$公式（45）

${\hat{M}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}={\bar{\Phi }}^{T}M\bar{\Phi }={\bar{I}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}$公式（46）

${\hat{M}}_{\alpha }={\bar{\Phi }}^T\mathrm{M\Psi }$公式（47）

${\hat{M}}_{\mathrm{rr}}=M_{\mathrm{rr}}+{\Psi }_{\mathrm{er}}^T(M_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+M_{\mathrm{er}})+M_{\mathrm{er}}^T{\Psi }_{\mathrm{er}}$公式（48）

因此，如同公式（49）所示的，压缩的阻尼矩阵还可以写成：

$\hat{D}={\bar{T}}_{\mathrm{CC}}^{T}D{\bar{T}}_{\mathrm{CC}}=\left(\begin{array}{cc}{\hat{D}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}& {\hat{D}}_{\mathrm{\alpha r}}\\ {\hat{D}}_{\mathrm{\alpha r}}^T& {\hat{D}}_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)$公式（49）

其中，

${\hat{D}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}={\bar{\Phi }}^{T}D\bar{\Phi }={\bar{\Phi }}_e^T{D}_{\mathrm{ee}}{\bar{\Phi }}_e$公式（50）

${\hat{D}}_{\alpha }={\bar{\Phi }}^T\mathrm{D\Psi }$公式（51）

${\hat{D}}_{\mathrm{rr}}=D_{\mathrm{rr}}+{\Psi }_{\mathrm{er}}^T(D_{\mathrm{ee}}{\Psi }_{\mathrm{er}}+D_{\mathrm{er}})+D_{\mathrm{er}}^T{\Psi }_{\mathrm{er}}$公式（52）

此外，如同公式（53）所示的，压缩的力向量可以写成：

$\hat{F}=\left(\begin{array}{c}{\hat{F}}_e\\ {\hat{F}}_r\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\bar{\Phi }}_e& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}{F}_e\\ F_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\bar{\Phi }}_e^T{F}_e\\ {\Psi }_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)$公式（53）

因此，在AMLS过程502中，以多个级别将结构划分成多个子结构 508，接着将该结构缩减到子结构模态子空间上510。对所产生的本征问题 进行求解512，以计算本征模式514，接着将本征模式存储在存储区域中。

在Craig-Chang过程504中，计算出多个约束模式并且将修改的动态 模式正交化518，并且将修改的动态模式和约束模式存储在存储区域中 520。之后，计算压缩算子522并将其存储在存储区域中524。

与图1中示出的过程类似，使用上述图5的过程具有已知的缺点。例 如，这一已知的过程占用了很多的计算时间并且需要大量的计算机资源， 这是由于需要存储大型子结构的完全子结构模式以用于后续恢复，并且需 要在子结构生成过程中获取大型子结构的完全子结构模式以进行压缩矩 阵计算。在大规模模型的传统动态子结构生成过程中，计算本征模式是强 制性的，并且计算约束模式和将系统矩阵映射到子结构模态空间上的成本 非常高，这是由于投影是使用物理空间中的完全子结构模式来执行的，其 大小可能很容易大于数亿的自由度。这需要大量的数据存储区域并使用不 断增长的大量时间来将数据的一部分从一个存储区域（例如硬盘）传送到 另一个存储区域（例如工作存储器）。

图6的流程图600示出了集成了基于AMLS的Craig-Chang过程的用 于物理对象的3D表示的FEA的示例性方法。与上述参见图2-图4的基于 AMLS的Craig-Bampton子结构生成方法类似，可以在AMLS本征求解过 程中生成Craig-Chang子结构。然而，在Craig-Chang方法的情况下，对 保留的子结构的本征问题进行了求解，以用于后续计算整个缩减的系统的 自由界面缩减本征模式。在这种情况下，可以在缩减的AMLS子空间中 而不是在物理FE空间中实现修改的动态模式的正交化，这将会大幅度降 低对修改的动态模式进行正交化的成本。更具体地，图6示出了包括基于 AMLS的过程与Craig-Chang过程的集成的用于物理对象的3D表示的 FEA的示例性方法。在示例性实施例中，如同上文关于图1所描述的，组 装系统矩阵602，以获得物理对象的3D表示或模型，其中系统矩阵包括 刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和/或力向量矩阵。

与公式（26）类似，如同公式（54）所示的，整个系统的由AMLS 所计算的本征模式可以被表示成如下，其中该整个系统包括根子结构，该 根子结构仅包含保留的自由度：

$\Phi =\left(\begin{array}{c}{\Phi }_{\mathrm{e\alpha }}\\ {\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}\end{array}\right)=T_A{\Phi }_A={\hat{\Psi }}_S{\Phi }_S{\Phi }_A=\left(\begin{array}{cc}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_S^e& 0\\ 0& {\Phi }_S^r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\Phi }_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ {\Phi }_A^{\mathrm{r\alpha }}\end{array}\right)$公式（54）

其中，T_A为整个系统的AMLS变换矩阵并且Φ_A为自由界面缩减本征模式， 可以基于子结构是具有消除的DOF还是具有保留的DOF而将Φ_A划分成两 个子矩阵（和）。为块对角矩阵，其中每个对角块填充有具有消除 的自由度的每个子结构的本征模式，并且为仅具有保留的自由度的根子 结构的本征模式。从公式（54）中看出，可以Φ_rα表示成如公式（55）所示 的：

${\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}={\Phi }_S^r{\Phi }_A^{\mathrm{r\alpha }}$公式（55）

如同公式（56）所示，可以使用公式（54）和（55）简化修改的动态 模式：

$\bar{\Phi }=T_A{\Phi }_A-\Psi {\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}={\bar{\Psi }}_S{\Phi }_S{\Phi }_A-\Psi {\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}$

$=\left(\begin{array}{cc}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_S^e& 0\\ 0& {\Phi }_S^r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\Phi }_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ {\Phi }_A^{\mathrm{r\alpha }}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\Psi }_{\mathrm{er}}\\ I\end{array}\right){\Phi }_{\mathrm{r\alpha }}$

$=\left(\begin{array}{cc}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\Phi }_S^e{\Phi }_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ {\Phi }_S^r{\Phi }_A^{\mathrm{r\alpha }}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\Psi }_{\mathrm{er}}\\ I\end{array}\right){\Phi }_S^r{\Phi }_A^{\mathrm{r\alpha }}$公式（56）

$=\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e{\Phi }_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ 0\end{array}\right)$

由于在定义上由的列向量组成的子空间是线性无关的，所以修 改的动态模式的线性相关性仅可能来自项因此，仅中的列向量需 要被正交化，以得到正交的修改的动态模式。首先，使用修改的 Gram-Schimidt算法来针对缩减的刚度矩阵K_A正交化的列向量，以去 除向量之间的线性相关性。由于在此正交化过程期间消除了零向量，所以 可以缩减修改的动态模式的列维度。在正交化之后，需要对刚度-正交执行Ritz分析，以使得它们既是刚度-正交向量，也是质量-正交向量，使 得正交的修改的动态模式满足如下正交条件：

${\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T{K}_A{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}={\bar{\Lambda }}_{\mathrm{\alpha \alpha }}$公式（57）

${\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T{M}_A{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}={\bar{I}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}$公式（58）

其中，为在其对角线上包括伪本征值的对角矩阵，可以在Ritz分析中 计算这些伪本征值。

利用正交的动态模式，压缩的刚度矩阵项变为对角的， 并且其对角项为伪本征值并且压缩的质量矩阵项也变为 对角的。由于在AMLS缩减子空间中将修改的动态模式正交化，从而可 以在AMLS缩减子空间中计算非对角的压缩质量矩阵这可以在以下 公式（59）中进行推导：

${\hat{M}}_{\alpha }={\bar{\Phi }}^T\mathrm{M\Psi }$

$={\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ 0\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{ee}}& M_{\mathrm{er}}\\ M_{\mathrm{er}}^T& M_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{er}}\\ I\end{array}\right)$

$={\left({\Phi }_S^e{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T\left[{\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}\\ 0\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{ee}}& M_{\mathrm{er}}\\ M_{\mathrm{er}}^T& M_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{er}}\\ I\end{array}\right)\right]$公式（59）

$={\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T\left[{\left({\Phi }_S^e\right)}^T{\hat{\Psi }}_{\mathrm{er}}\right]$

$={\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T{\hat{\mu }}_{\mathrm{er}}$

其中，为针对缩减的刚度和质量矩阵的正交化的修改的动态模式。除 了消除的子结构的缩减的本征模式应该在计算之间被正交化之外，这 种非对角的质量项与Craig-Bampton方法具有相同形式。

对于压缩的阻尼矩阵，除了对角阻尼项之外，可以以与质量矩阵相同 的方式来计算所有的压缩阻尼项。如同在如下公式（60）中所提到的，可 以计算出对角阻尼项：

${\hat{D}}_{\mathrm{\alpha \alpha }}={\bar{\Phi }}^{T}D\bar{\Phi }={\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ 0\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{ee}}& D_{\mathrm{er}}\\ D_{\mathrm{er}}^T& D_{\mathrm{rr}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\\ 0\end{array}\right)$

$={\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T\left[{\left({\Phi }_S^e\right)}^T{\left({\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}\right)}^T{D}_{\mathrm{ee}}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e\right]{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}$公式（60）

$={\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T{D}_A^e{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}$

其中，为消除的（自由度）子结构的缩减的阻尼矩阵。

因此，可以将压缩的力向量写成：

$\hat{F}=\left(\begin{array}{c}{\hat{F}}_{\alpha }\\ {\hat{F}}_r\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e{\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}& {\Psi }_{\mathrm{er}}\\ 0& I_r\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}{F}_e\\ F_r\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{c}{\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T\left[{\left({\hat{\Psi }}_{\mathrm{ee}}{\Phi }_S^e\right)}^T{F}_e\right]\\ {\Psi }_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)$公式（61）

$=\left(\begin{array}{c}{\left({\bar{\Phi }}_A^{\mathrm{e\alpha }}\right)}^T{F}_A^e\\ {\Psi }_{\mathrm{er}}^T{F}_e+F_r\end{array}\right)$

其中，为根子结构的组装的力向量，并且为使用消除的子结构的正交 化的缩减的动态模式和缩减的力向量计算出的模态力向量。

使用上述方法，在AMLS本征求解过程期间，可以计算出自由界面 本征模式和约束模式以及所有的压缩Craig-Chang子结构系统矩阵。与使 用AMLS方法的Craig-Bampton子结构生成类似，子结构生成过程可以嵌 入在AMLS本征求解过程中。由于在缩减的AMLS子空间中进行正交化 这一事实，可以显著地降低修改的子结构动态模式的重新正交化的高成 本。

在示例性实施例中，将多个保留的自由度组合在根子结构中604。接 着以多个级别将结构划分成多个子结构606。使用根子结构自己的本征模 式来缩减根子结构608，从而接着也将整个结构缩减到子结构模态子空间 上610。此外，通过对所产生的缩减的本征问题进行求解614和将修改的 动态模式正交化612，来计算出多个产生的本征模式。恢复修改的动态模 式616，并且计算多个约束模式和压缩算子，将所有的这些本征模式、约 束模式和压缩算子均存储在存储区域中618。

在示例性实施例中，由于将AMLS过程和Craig-Chang过程集成在一 起，所以不需要进行任何计算来生成一个或多个子结构。因此，与上文在 图2中示出的方法类似，以非常小的额外计算成本计算出了子结构正常模 式和约束模式以及压缩子结构系统矩阵。上述实施例通过消除对使用和计 算完全子结构模式的需求，显著地提高了子结构生成过程的性能并且降低 了计算资源的利用。

图7为用于物理对象的3D表示的有限元分析的示例性计算机系统 700的示意性框图，例如上述过程和/或可能与上述过程有关的附加过程。 在示例性实施例中，存储区域702包括用于存储数据（例如模拟数据）的 一个或多个存储设备704，所述模拟数据例如包括系统矩阵、结构信息、 子结构信息、本征模式、本征值、约束模式、正交化的本征模式、压缩算 子或可以用在FEA模拟环境中的任何其它适合的数据类型。在一些实施 例中，存储区域702耦合到服务器系统706，该服务器系统706进而经由 网络712耦合到管理员系统708和/或用户系统710。存储设备704可以体 现为一个或多个数据库，可以位于单个或多个地理位置处，或可以与服务 器系统706集成。

可以清楚的是，网络712可以为公共网络（例如因特网）、或者私人 网络（例如LAN或WAN网络）、或者公共网络和私人网络的任意组合， 并且还可包括PSTN或ISDN子网络。网络712还可以为有线的（例如以 太网）、或者可以为无线的（例如包括EDGE、3G和4G无线蜂窝系统的 蜂窝网络）。无线网络还可以为WiFi、蓝牙或已知的任何其它无线通信形 式。因而，网络712仅为示例性的，绝不是限制本申请的范围。

如本领域技术人员将认识到的，管理员系统708和/或用户系统710 可以为任意适合的计算机系统，例如下文参考图8所描述的计算机系统， 或已知的任何其它计算系统。此外，应理解的是，服务器系统706被配置 为执行上述过程和/或可能与上述过程有关的任何附加过程。

服务器系统706存储用于执行上述过程的计算机可读指令，并且将这 些指令经由网络712提供给管理员系统708和/或用户系统710。此外，服 务器系统706还可以根据需要从存储区域702向管理员系统708和用户系 统710提供数据。这样，图7包括经由云计算、分布式计算等的计算机系 统700实现。

图8为以服务器系统706、管理员系统708和/或用户系统710（每个 系统均在图7中示出）的形式使用的示例性计算机架构800的示意性框图。

在示例性实施例中，计算机架构800包括执行上述过程和/或可能与 上述过程有关的任何附加过程的一个或多个处理器802（CPU）。应理解的 是，术语“处理器”一般是指任意可编程系统，包括系统和微控制器、精 简指令集电路（RISC）、专用集成电路（ASIC）、可编程逻辑电路和/或能 够执行本申请所描述的功能的任何其它电路或处理器。上述实例仅为示例 性的，因而上述实例并不是要以任何方式限制术语“处理器”的定义和/ 或含义。

上述过程和/或任何可能与上述过程有关的附加过程中的步骤可以作 为计算机可执行指令而存储在例如存储区域804中，其中该存储区域804 通过系统总线806可操作地和/或通信地耦合到处理器802。本申请中所使 用的“存储区域”一般是指存储可由一个或多个处理器执行的程序代码和 指令以帮助使用校准工具自动校准一个或多个二级对象的任意单元。存储 区域804可以包括一个或多于一个形式的存储器。例如，存储区域804可 以包括随机存取存储器（RAM）808，其可以包括非易失性RAM、磁性 RAM、铁电RAM和/或其它形式的RAM。存储区域804还可以包括只读 存储器（ROM）810和/或闪存和/或电可编程只读存储器（EEPROM）。任 何其它适合的磁性、光学和/或半导体存储器（例如硬盘驱动器（HDD） 812）自身或与其它形式的存储器组合可以包括在存储区域804中。还可 以将HDD 812耦合到磁盘控制器802以用于向处理器802发送消息并从 处理器802接收消息。此外，存储区域804还可以为或者可以包括可拆卸 的或可移动的存储器816，例如适合的盒式磁盘、CD-ROM、DVD或USB 存储器。上述实例仅为示例性的，因而上述实例并不是要以任何方式限制 术语“存储区域”的定义和/或含义。

计算机架构800还包括显示设备818，该显示设备818耦合到显示控 制器820，例如操作地耦合到显示控制器820。显示控制器820经由系统 总线806接收数据，以供显示设备818进行显示。显示设备818可以是监 控器、电视机显示器、等离子显示器、液晶显示器（LCD）、基于发光二 极管（LED）的显示器、基于有机LED（OLED）的显示器、基于聚合物 LED的显示器、基于表面传导电子发射器的显示器、包括投影的和/或反 射的图像的显示器或任意其它适合的电子设备或显示结构，但并限于此。 此外，显示设备818可以包括具有相关联的触摸屏控制器的触摸屏。上述 实例仅为示例性的，因而上述实例并不是要以任何方式限制术语“显示设 备”的定义和/或含义。

此外，计算机架构800包括网络接口822，用于与（图8中未示出的） 网络通信。此外，计算机架构800包括一个或多个输入设备，例如键盘824 和/或定点设备826，例如滚球、鼠标、触摸板等。输入设备耦合到输入/ 输出（I/O）接口828并由I/O接口828所控制，该I/O接口828还耦合到 系统总线806。

为简短起见，在本申请中省略了对显示设备818、键盘824、定点设 备826以及显示控制器820、磁盘控制器814、网络接口822以及I/O接 口828的通用特征和功能的描述，这是由于这些特征是已知的。

在上文中详细描述了用于物理对象的3D表示的FEA的方法、系统、 装置以及计算机程序产品的示例性实施例。这些方法、系统、装置以及计 算机程序产品不限于本申请描述的特定实施例，而是这些方法和/或计算 机程序产品的操作和/或系统和/或装置的组件可以单独地并与本申请描述 的其它操作和/或组件分离地使用。此外，所述操作和/或组件还可以被定 义在其它系统、方法和/或装置中，或与其它系统、方法和/或装置结合地 使用，而不限于仅用本申请所描述的系统、方法以及存储介质来实施。

客户计算机和服务器（例如本申请所描述的客户计算机和服务器）包 括至少一个处理器或处理器单元和系统存储器。客户计算机和服务器通常 至少具有某种形式的计算机可读介质。举例来说而非限制兴地，计算机可 读介质包括计算机存储介质和通信介质。计算机存储介质包括以任意方法 或技术实现的易失的和非易失的、可移动的和不可移动的介质，用于存储 例如计算机可读指令、数据结构、程序模块或其它数据之类的信息。通信 介质通常用调制的数据信号（例如载波）或其它传输机制来表示计算机可 读指令、数据结构、程序模块或其它数据，并包括任意的信息传递介质。 本领域技术人员熟悉调制的数据信号，其以将信息编码到信号中的方式来 设定或改变其特性中的一个或多个特性。任意上述介质的组合也包括在计 算机可读介质的范围内。

用于使用上述过程的示例性计算机可执行组件包括但不限于仅仅包 括使得（图7中示出的）服务器系统706或（图8中示出的）处理器802 组合3D表示的多个保留的自由度以形成根子结构的根子结构生成组件。 所述组件还包括使得服务器系统706或处理器802将3D表示的结构缩减 到子结构模态子空间上并基于缩减的结构来计算多个本征模式、约束模式 以及压缩算子的子结构生成组件。此外，子结构生成组件使得服务器系统 706或处理器802基于多个本征模式、约束模式以及压缩算子来生成3D 表示的至少一个子结构。

在一些实施例中，所述组件还包括使得服务器系统706或处理器802 计算刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵以及力向量矩阵中的至少一个的矩阵 生成组件。在这些实施例中，子结构生成组件使得服务器系统706或处理 器802至少部分地基于刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵以及力向量矩阵中 的至少一个来计算缩减的结构。

在一些实施例中，子结构生成组件还使得服务器系统706或处理器 802至少部分基于刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵以及力向量矩阵中的至 少一个将结构划分成至少一个子结构，使得所述至少一个子结构包括多个 级别。

在一些实施例中，子结构生成组件还使得服务器系统706或处理器 802使用缩减的结构计算缩减的本征问题。

此外，在一些实施例中，子结构生成组件使得服务器系统706或处理 器802除了根子结构之外缩减结构。在其它实施例中，子结构生成组件使 得服务器系统706或处理器802缩减该结构和该根子结构。

在一些实施例中，子结构生成组件还使得服务器系统706或处理器 802计算多个正交的修改的动态模式。

尽管结合示例性FEA模拟系统环境描述了本发明，然而本发明的实 施例可用于多个其它通用目的或特定目的的模拟系统环境或配置。模拟系 统环境并不是要暗示对本发明的任何方面的用途或功能的范围进行任何 限制。此外，模拟系统环境不应被解释为具有与在示例操作环境中示出的 组件中的任意一个或组合有关的任何相关性或需求。可以适于与本发明的 方面一起使用的公知模拟系统、环境和/或配置的实例包括但不限于个人 计算机、服务器计算机、手持或膝上型设备、多处理器系统、基于微处理 器的系统、机顶盒、可编程消费电子设备、移动电话、网络PC、微型计 算机、大型计算机、包括任意上述系统或设备的分布式计算环境等。

可以在由一个或多个计算机或其它设备执行的计算机可执行指令（例 如程序组件或模块）的一般上下文中描述本发明的实施例。可以用任意数 量的以及任意组成的组件或模块来实现本发明的方面。例如，本发明的方 面不限于在附图中示出和在本申请中描述的特定的计算机可执行指令或 特定的组件或模块。本发明的替代实施例可以包括比在本申请中示出和描 述的功能具有更多或更少功能的不同计算机可执行指令或组件。

除非另外指定，否则在本申请中示出和描述的本发明的实施例中的操 作的执行或运行的次序不是必要的。即，除非另外指定，否则可以以任何 次序执行这些操作，并且本发明的实施例可以包括额外的操作或者包括比 本申请公开的操作更少的操作。例如，可以预料到在另一个操作之前执行 或运行特定操作、与另一个操作同时执行或欲行特定操作、或在另一个操 作之后执行或运行特定操作均在本发明的方面的范围内。

当介绍本发明或本发明实施例的方面中的元素时，冠词“一”、“一个”、 “该”以及“所述”旨在意味着具有一个或多个元素。术语“包含”、“包 括”以及“具有”旨在是包容性的并且表示除了列出的元素之外还可能具 有额外的元素。

本书面说明书使用实例（包括最佳实施例）来公开本发明，并且还使 得任何本领域技术人员能够实施本发明，包括制造和使用任意设备或系统 和执行任意合并的方法。本发明的专利范围由权利要求来限定，并且可以 包括本领域技术人员想到的其它实例。如果这些其它实例具有不与权利要 求的书面语言不同的结构元素，或者如果其它实例包括具有与权利要求的 书面语言非实质性不同的等同结构元素，则这些其它实例旨在落入权利要 求的范围内。