一种日照温差采集样本概率密度的测定方法

摘要

本发明公开了一种日照温差采集样本概率密度的测定方法，包括如下步骤：步骤10）：确定日照温差采集样本；步骤20）：确定正温差样本和负温差样本；步骤30）：确定正温差样本和负温差样本中各温差值对应的累加概率值；步骤40）：对正温差样本的累加分布进行拟合；步骤50）：对负温差样本的累加分布进行拟合；步骤60）：确定正温差样本的概率密度参数；步骤70）：确定负温差样本的概率密度参数；步骤80）：确定日照温差采集样本的概率密度。该测定方法可以准确测定日照温差采集样本的概率密度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种日照温差采集样本参数的测定方法，具体来说，涉及一种日照 温差采集样本概率密度的测定方法。

背景技术

日照温差作为重要气候环境因素之一，其采集样本的概率统计特性在我国农业科 学、生物科学、环境科学、建筑科学等重要领域的研究中均有所涉及，且其采集样本 的概率统计特性在各学科领域中普遍采用概率密度表示^[1-5]，例如，肖建庄等人以上海 市气象档案馆提供的1973年~2002年三十年每年6~8月的最大气温日温差为样本，建 立样本的概率密度直方图并以此进行曲线拟合，经χ²检验拟合曲线接近极值I型分布， 并进一步确定了具有一定重现期的日温差代表值；雷笑等人对一座具有100mm沥青铺 装层的预应力混凝土梁桥箱梁进行了为期2年的温度观测，并以冬季最大日温差作为 随机变量，采用假设检验和参数分析的方法认为此随机变量服从参数为W(3.958, 2.7207)的Weibull分布，并基于此计算出了冬季日温差最大值。因此，对于日照温差 采集样本概率密度参数的测定方法研究，具有十分重要的意义。

目前，各学科领域对于日照温差采集样本概率密度参数的测定，共有以下几种方 法：①假设检验和参数分析法：此法需要事先假定采集样本的概率密度服从某一分布， 并通过样本确定分布参数，最后借助检验方法进行分布验证，此方法需要一定的经验 基础，可行性较差；②概率密度直方图法：此法首先建立采集样本的概率密度直方图， 并对直方图进行曲线拟合，最后借助检验方法确定最接近拟合曲线的分布参数，此方 法由于不同的温度区间划分会导致不同形状的概率密度直方图，使得分布参数不具有 唯一性和准确性；③概率统计工具箱法：此法直接将采集样本导入概率统计工具箱中， 利用工具箱中的分布函数对采集样本一一分析，并从中找出最佳分布参数，此法受到 概率统计工具箱中分布函数的限制，适用性不强。因此，对于日照温差采集样本概率 密度参数的测定，有必要研究一种可行性好、准确性高、适用性强的技术方法。

发明内容

技术问题：本发明所要解决的技术问题是：提供一种日照温差采集样本概率密 度的测定方法，该测定方法可以准确测定日照温差采集样本的概率密度。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明采用的一种日照温差采集样本概率密 度的测定方法，该测定方法包括如下步骤：

步骤10）：确定日照温差采集样本：将多个温度传感器配接到同一个温度采集 系统中，多个温度传感器对不同测点的日照温度同时进行采集，获取不同测点的 日照温度采集样本，对其中两个测点的日照温度采集样本在同一时刻的温度值相 减，得到日照温差采集样本，日照温差采集样本包含不同时刻对应的温差值；

步骤20）：确定正温差样本和负温差样本：对步骤10）得到日照温差采集样 本，温差值大于或等于0℃的为正温差值，正温差值对应的样本作为正温差样本， 温差值小于0℃的为负温差值，负温差值对应的样本作为负温差样本；

步骤30）：确定正温差样本和负温差样本中各温差值对应的累加概率值：

利用式（1）对正温差样本的累加分布特性进行分析，确定正温差样本中各温 差值对应的累加概率值；

$P(T^{+}\le t^{+})=\frac{q_1(T^{+}\le t^{+})}{l_1}---\left(1\right)$

式中，T⁺表示正温差变量，t⁺为正温差样本中某一温差值，P(T⁺≤t⁺)表示t⁺对 应的累加概率值，q₁(T⁺≤t⁺)表示正温差样本中小于等于t⁺的温差值个数，l₁为正温 差样本中温差值的总数；

利用式（2）对负温差样本的累加分布特性进行分析，确定负温差样本中各温 差值对应的累加概率值：

$P(T^{-}\le t^{-})=\frac{q_2(T^{-}\le t^{-})}{l_2}---\left(2\right)$

式中，T^-表示负温差变量，t^-为负温差样本中某一温差值，P(T^-≤t^-)表示t^-对 应的累加概率值，q₂(T^-≤t^-)表示负温差样本中小于等于t^-的温差值个数，l₂为负温 差样本中温差值的总数；

步骤40）：对正温差样本的累加分布进行拟合：

对步骤20）得到的正温差样本，利用式（3）对正温差样本的累加分布特性进 行拟合，式（3）表达如下：

$F\left(T^{+}\right)=a_0+\underset{i=1}{\overset{n_1}{\Sigma }}[a_i\cos \left({\mathrm{iwT}}^{+}\right)+b_i\sin \left({\mathrm{iwT}}^{+}\right)]---\left(3\right)$

式中，T⁺表示正温差变量，F(T⁺)表示正温差变量的累加分布拟合函数，n₁为 ≥4的整数，a₀表示F(T⁺)的常数项，a₀、w、a_i和b_i为待估参数，其中i为整数， 且i＝1、2、…、n₁；基于最小二乘法，利用正温差值及式（1）得到的各正温差值 对应的累加概率值，对函数F(T⁺)进行拟合，得到待估参数a₀、w、a_i和b_i；

步骤50）：对负温差样本的累加分布进行拟合：

对步骤20）得到的负温差样本，利用式（4）对负温差样本的累加分布特性进 行拟合，式（4）表达如下：

$F\left(T^{-}\right)=c_0+\underset{j=1}{\overset{n_2}{\Sigma }}[c_j\cos \left(\mathrm{j\lambda }{T}^{-}\right)+d_j\sin \left(\mathrm{j\lambda }{T}^{-}\right)]---\left(4\right)$

式中，T^-表示负温差变量，F(T^-)表示负温差变量的累加分布拟合函数，n₂为 ≥4的整数，c₀表示F(T^-)的常数项，c₀、λ、c_j和d_j为待估参数，其中j为整数，且 j=1、2、…、n₂；基于最小二乘法，利用负温差值及式（2）得到的各负温差值对应 的累加概率值，对函数F(T^-)进行拟合，得到待估参数c₀、λ、c_j和d_j；

步骤60）：确定正温差样本的概率密度参数：

利用式（5）对F(T⁺)求导，得到f(T⁺)，将正温差样本的温差值代入f(T⁺)，得 到正温差对应的概率密度值，利用式（6）对正温差样本的概率密度特性进行拟合：

f(T⁺)＝F′(T⁺)          （5）

$g\left(T^{+}\right)=\underset{k=1}{\overset{m_1}{\Sigma }}{v}_k\left[{\alpha }_k{\beta }_k^{-{\alpha }_k}{T}^{{+}^{{\alpha }_k-1}}{e}^{{(-\frac{T^{+}}{{\beta }_k})}^{{\alpha }_k}}\right]---\left(6\right)$

式中，g(T⁺)表示正温差变量的概率密度函数，m₁为≥2的整数，v_k表示威布 尔分布函数的权重，且α_k表示威布尔分布函数的形状参数，β_k表示威 布尔分布函数的尺寸参数，其中，k为整数，且k=1、2、…、m₁，v_k、α_k和β_k为 待估的正温差样本的概率密度参数；基于最小二乘法，利用正温差值及其概率密 度值，对函数g(T⁺)进行拟合，确定正温差样本的概率密度参数v_k、α_k和β_k；

步骤70）：确定负温差样本的概率密度参数：

利用式（7）对F(T^-)求导，得到f(T^-)，将负温差样本的温差值代入f(T^-)，得到 负温差对应的概率密度值，然后将负温差取相反数，变为对应的正温差，用-T^-表 示负温差对应的正温差，最后利用式（8）对-T^-的概率密度特性进行拟合：

f(T^-)＝F′(T^-)            （7）

$g(-T^{-})=\underset{p=1}{\overset{m_2}{\Sigma }}{\rho }_p\left[{\gamma }_p{\eta }_p^{-{\gamma }_p}{\left({-T}^{-}\right)}^{{\gamma }_p-1}{e}^{{(-\frac{{-T}^{-}}{{\eta }_p})}^{{\gamma }_p}}\right]---\left(8\right)$

式中，g(-T^-)表示-T^-的概率密度函数，m₂为≥2的整数，ρ_p表示威布尔分布 函数的权重，且γ_p表示威布尔分布函数的形状参数，η_p表示威布尔分 布函数的尺寸参数，其中，p为整数，且p=1、2、…、m₂，ρ_p、γ_p和η_p为待估 的负温差样本的概率密度参数；基于最小二乘法，利用-T^-值及其概率密度值对函 数g(-T^-)进行拟合，确定负温差样本的概率密度参数ρ_p、γ_p和η_p；

步骤80）：确定日照温差采集样本的概率密度：

根据步骤60）得到的正温差样本的概率密度参数和步骤70）得到负温差样本 的概率密度参数，利用式（9）得到日照温差采集样本的概率密度y(T)：

$y\left(T\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{l_1}{l}g\left(T\right)& T\ge 0\\ \frac{l_2}{l}g(-T)& T<0\end{array}\right)---\left(9\right)$

式中，T为温差变量，当T＜0时，T为T^-；当T≥0时，T为T⁺；l₁为正温差 样本中温差值的总数，l₂为负温差样本中温差值的总数，l表示日照温差采集样本 中温差值的总量，且l₁+l₂=l。

有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

（1）准确测定日照温差采集样本的概率密度。本发明从日照温差采集样本的正 温差样本和负温差样本出发，基于正温差样本和负温差样本的累加分布特性，提 供了日照温差采集样本的概率密度的测定方法。由于正温差样本和负温差样本的累 加分布特性是唯一的，保证了本发明的概率密度的测定结果的唯一性。另外，本 发明通过阶数的设定，控制测量结果的精度。阶数越高，测定的结果越精确。在 本发明中，n1≥4、n2≥4、m1≥2、m2≥2。这样，可以保证本发明的概率密度测定的 精确度。

（2）该测定方法简单实用，具有很好的可行性。本发明的测定方法简单实用， 具有很好的可行性，而且弥补了现有技术中直接利用概率密度直方图进行概率密 度参数估计的结果失准性这一缺陷。同时，本发明的测定方法可适用于各种概率 特性下的概率密度参数测定，使得本方法在用于测定日照温差采集样本的概率密 度参数时更加具有可行性、准确性和适用性，可得到广泛推广和应用。

附图说明

图1为本发明实施例中一个日照温度采集样本T₁的年变化曲线图。

图2为本发明实施例中另一个日照温度采集样本T₂的年变化曲线图。

图3为本发明实施例中日照温差采集样本T₁₂的年变化曲线图。

图4为本发明实施例中日照温差采集样本中正温差样本的累加分布散点图 和拟合曲线图。

图5为本发明实施例中日照温差采集样本中负温差样本的累加分布散点图 和拟合曲线图。

图6为本发明实施例中正温差样本的概率密度拟合曲线图。

图7为本发明实施例中负温差样本的概率密度拟合曲线图。

具体实施方式

下面将参照附图，对本发明的技术方案进行详细说明。

本发明的一种日照温差采集样本概率密度的测定方法，该测定方法包括如下步 骤：

步骤10）：确定日照温差采集样本：将多个温度传感器配接到同一个温度采集 系统中，多个温度传感器对不同测点的日照温度同时进行采集，获取不同测点的 日照温度采集样本，对其中两个测点的日照温度采集样本在同一时刻的温度值相 减，得到日照温差采集样本，日照温差采集样本包含不同时刻对应的温差值。

步骤20）：确定正温差样本和负温差样本：对步骤10）得到日照温差采集样 本，温差值大于或等于0℃的为正温差值，正温差值对应的样本作为正温差样本， 温差值小于0℃的为负温差值，负温差值对应的样本作为负温差样本。

步骤30）：确定正温差样本和负温差样本中各温差值对应的累加概率值：

利用式（1）对正温差样本的累加分布特性进行分析，确定正温差样本中各温 差值对应的累加概率值；

$P(T^{+}\le t^{+})=\frac{q_1(T^{+}\le t^{+})}{l_1}---\left(1\right)$

式中，T⁺表示正温差变量，t⁺为正温差样本中某一温差值，P(T⁺≤t⁺)表示t⁺对 应的累加概率值，q₁(T⁺≤t⁺)表示正温差样本中小于等于t⁺的温差值个数，l₁为正温 差样本中温差值的总数；

利用式（2）对负温差样本的累加分布特性进行分析，确定负温差样本中各温 差值对应的累加概率值：

$P(T^{-}\le t^{-})=\frac{q_2(T^{-}\le t^{-})}{l_2}---\left(2\right)$

式中，T^-表示负温差变量，t^-为负温差样本中某一温差值，P(T^-≤t^-)表示t^-对 应的累加概率值，q₂(T^-≤t^-)表示负温差样本中小于等于t^-的温差值个数，l₂为负温 差样本中温差值的总数。

步骤40）：对正温差样本的累加分布进行拟合：

对步骤20）得到的正温差样本，利用式（3）对正温差样本的累加分布特性进 行拟合，式（3）表达如下：

$F\left(T^{+}\right)=a_0+\underset{i=1}{\overset{n_1}{\Sigma }}[a_i\cos \left({\mathrm{iwT}}^{+}\right)+b_i\sin \left({\mathrm{iwT}}^{+}\right)]---\left(3\right)$

式中，T⁺表示正温差变量，F(T⁺)表示正温差变量的累加分布拟合函数，n₁为 ≥4的整数，a₀表示F(T⁺)的常数项，a₀、w、a_i和b_i为待估参数，其中i为整数， 且i＝1、2、…、n₁；基于最小二乘法，利用正温差值及式（1）得到的各正温差值 对应的累加概率值，对函数F(T⁺)进行拟合，得到待估参数a₀、w、a_i和b_i。

步骤50）：对负温差样本的累加分布进行拟合：

对步骤20）得到的负温差样本，利用式（4）对负温差样本的累加分布特性进 行拟合，式（4）表达如下：

$F\left(T^{-}\right)=c_0+\underset{j=1}{\overset{n_2}{\Sigma }}[c_j\cos \left(\mathrm{j\lambda }{T}^{-}\right)+d_j\sin \left(\mathrm{j\lambda }{T}^{-}\right)]---\left(4\right)$

式中，T^-表示负温差变量，F(T^-)表示负温差变量的累加分布拟合函数，n₂为 ≥4的整数，c₀表示F(T^-)的常数项，c₀、λ、c_j和d_j为待估参数，其中j为整数，且 j＝1、2、…、n₂；基于最小二乘法，利用负温差值及式（2）得到的各负温差值对应 的累加概率值，对函数F(T^-)进行拟合，得到待估参数c₀、λ、c_j和d_j。

步骤60）：确定正温差样本的概率密度参数：

利用式（5）对F(T⁺)求导，得到f(T⁺)，将正温差样本的温差值代入f(T⁺)，得 到正温差对应的概率密度值，利用式（6）对正温差样本的概率密度特性进行拟合：

f(T⁺)＝F'(T⁺)          （5）

$g\left(T^{+}\right)=\underset{k=1}{\overset{m_1}{\Sigma }}{v}_k\left[{\alpha }_k{\beta }_k^{-{\alpha }_k}{T}^{{+}^{{\alpha }_k-1}}{e}^{{(-\frac{T^{+}}{{\beta }_k})}^{{\alpha }_k}}\right]---\left(6\right)$

式中，g(T⁺)表示正温差变量的概率密度函数，m₁为≥2的整数，v_k表示威布 尔分布函数的权重，且α_k表示威布尔分布函数的形状参数，β_k表示威 布尔分布函数的尺寸参数，其中，k为整数，且k＝1、2、…、m₁，v_k、α_k和β_k为 待估的正温差样本的概率密度参数；基于最小二乘法，利用正温差值及其概率密 度值，对函数g(T⁺)进行拟合，确定正温差样本的概率密度参数v_k、α_k和β_k。

步骤70）：确定负温差样本的概率密度参数：

利用式（7）对F(T^-)求导，得到f(T^-)，将负温差样本的温差值代入f(T^-)，得到 负温差对应的概率密度值，然后将负温差取相反数，变为对应的正温差，用-T^-表 示负温差对应的正温差，最后利用式（8）对-T^-的概率密度特性进行拟合：

f(T^-)＝F′(T^-)          （7）

$g(-T^{-})=\underset{p=1}{\overset{m_2}{\Sigma }}{\rho }_p\left[{\gamma }_p{\eta }_p^{-{\gamma }_p}{\left({-T}^{-}\right)}^{{\gamma }_p-1}{e}^{{(-\frac{{-T}^{-}}{{\eta }_p})}^{{\gamma }_p}}\right]---\left(8\right)$

式中，g(-T^-)表示-T^-的概率密度函数，m₂为≥2的整数，ρ_p表示威布尔分布 函数的权重，且γ_p表示威布尔分布函数的形状参数，η_p表示威布尔分 布函数的尺寸参数，其中，p为整数，且p=1、2、…、m₂，ρ_p、γ_p和η_p为待估 的负温差样本的概率密度参数；基于最小二乘法，利用-T^-值及其概率密度值对函 数g(-T^-)进行拟合，确定负温差样本的概率密度参数ρ_p、γ_p和η_p。

步骤80）：确定日照温差采集样本的概率密度：

根据步骤60）得到的正温差样本的概率密度参数和步骤70）得到负温差样本 的概率密度参数，利用式（9）得到日照温差采集样本的概率密度y(T)：

$y\left(T\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{l_1}{l}g\left(T\right)& T\ge 0\\ \frac{l_2}{l}g(-T)& T<0\end{array}\right)---\left(9\right)$

式中，T为温差变量，当T＜0时，T为T^-；当T≥0时，T为T⁺；l₁为正温差 样本中温差值的总数，l₂为负温差样本中温差值的总数，l表示日照温差采集样本 中温差值的总量，且l₁+l₂=l。

本发明的日照温差采集样本概率密度的测定方法，将日照温差采集样本拆分为 正温差样本和负温差样本，对正温差样本和负温差样本的累加分布特性进行分析， 确定正温差样本和负温差样本的累加概率值，对其进行拟合，并求导，得到正温 差样本和负温差样本的概率密度值，采用多个威布尔（Weibull）分布的加权和用 于描述温差样本的概率密度统计特性，并利用最小二乘法进行拟合，得到正温差 样本和负温差样本的概率密度参数。

实施例

下面以江苏润扬大桥北汊斜拉桥钢桥面板的日照温度采集结果为例，说明本 发明的具体实施过程。

利用两个温度传感器得到钢桥面板某两个测点日照温度采集样本T₁、T₂在 2006年一年的变化趋势，如图1和图2所示。在图1和图2中，纵坐标表示温度， 单位℃，横坐标表示时间点，单位：分钟。也就是说，温度传感器每分钟采集一 个温度值。将两个日照温度采集样本在同一时刻的温度值相减，得到日照温差采 集样本T₁₂，如图3所示。在图3中，纵坐标表示两个测点日照温度差，单位℃， 横坐标表示时间点，单位：分钟。以0℃为界将T₁₂划分为正温差样本和负温 差样本利用式（1）、（2）分别对样本和的累加分布特性分别进行分析， 确定温差值对应的累加概率值。利用累加概率值与温差值之间的散点图可描述样 本和的累加分布特性，如图4和图5所示。图4中的实线表示正温差样本 累加分布特性曲线，虚线表示正温差样本累加分布特性拟合曲线。图5中的实线 表示负温差样本累加分布特性曲线，虚线表示负温差样本累加分布特性拟合曲线。

采用式（3）和式（4）所示的4阶傅里叶展开式对样本和的累加分布特 性分别进行拟合，参数估计值如表1和表2所示，拟合曲线如图4和图5虚线所 示。在图4和图5中，纵坐标表示累加概率，横坐标表示温差。其中，图4中横 坐标的单位为℃，例如，横坐标中的2表示温差为2℃。图5中横坐标单位为-1 ℃，例如，横坐标中的6表示温差为-6℃。在图4中，正温差样本累加分布特性 曲线与正温差样本累加分布特性拟合曲线重合，说明拟合效果比较好，正温差样 本累加分布特性拟合曲线能够准确反映实测样本的累加分布特性。在图5中，负 温差样本累加分布特性曲线与负温差样本累加分布特性拟合曲线重合，说明拟合 效果比较好，负温差样本累加分布特性拟合曲线能够准确反映实测样本的累加分 布特性。

表1

表2

然后，利用式（5）和式（7）分别对样本和的累加分布拟合函数和求导，得到和将正温差值代入将负温差值代入确定各温差值对应的概率密度值。进一步，将取相反数变为对应的正温差样本 采用式（6）和式（8）所示的威布尔（Weibull）分布的加权和，分别对样 本的概率密度特性进行拟合，其中，m₁=m₂=2。参数估计值如表3所示。 在图6和图7中，纵坐标表示概率密度，横坐标表示温差。其中，图6中横坐标 的单位为℃，例如，横坐标中的2表示温差为2℃。图7中横坐标单位为-1℃，例 如，横坐标中的8表示温差为-8℃。在图6中，直方图表示将正温差样本的温差 区间划分为18份的概率密度柱状图，实线表示正温差样本概率密度特性拟合曲线。 在图7中，直方图表示将负温差样本的温差区间划分为18份的概率密度柱状图， 实线表示负温差样本概率密度特性拟合曲线。在图6和图7中，将直方图和概率 密度特性拟合曲线进行比较，可以看出估计的概率密度能准确地反映实测温差样 本的分布特性。ρ_p、γ_p、η_p、v_k、α_k和β_k可以作为样本的概率密度 拟合参数。利用式（9）可进一步确定日照温差采集样本总体的概率密度。

表3