并联机器人的正运动学求解方法

摘要

本发明公开一种并联机器人的正运动学问题数值求解方法。该方法在解决并联机器人正运动学问题时，利用其易求取逆运动学解的特性，将并联机器人正运动学求解问题转化为等效的最小优化问题，并采用数值优化方法求解。本方法综合了差分进化对解空间具有较强全局探索性能的优点，及模式搜索对解空间具有较优的局部开发能力特性，将两种优化算法相互机制融合提高了算法的搜索性能。与传统的方法比较，本发明提出的方法在解决6-SPS型并联机器人正运动学问题时具有较高的寻优解精度和较快的收敛速度，同时该方法也可以推广到其他类型的并联机器人正运动学问题求解中。

说明书

技术领域

本发明提出一种基于模式搜索(Pattern Search,PS)-差分进化(Differential  Evolution,DE)的6-SPS并联机器人正运动学求解方法，属于机器人技术领域。

背景技术

同串联机器人比较，并联机器人具有高刚度、高微动精度及大承载能力 等特点，因此在一些高端技术领域如微操作机器人、并联机床和坐标测量机 等中得到广泛应用。6-SPS并联机器人运动学问题可分为逆运动学和正运动 学，其中前者是根据并联机器人上动平台的位置和姿态来求解其各并联拉杆 的杆长；后者则相反，正运动学问题是根据各并联拉杆的杆长来确定机器人 上动平台的位置和姿态。6-SPS并联机器人的正运动学问题对其工作空间分 析，轨迹规划及机构的误差补偿等方面具有极重要作用。

与串联机器人相反，并联机器人求解其逆运动学解较易，但通过完备方 法获得正运动学解析解具有一定难度，因此近年来一些数值求解方法如 Newton-Raphson法（牛顿-拉夫森迭代法）、神经网络及遗传算法等在并联机 器人正运动学问题中得到应用。Newton-Raphson法求解过程相对简单，但算 法基于梯度思想求解最小值问题，其寻优结果较依赖于初值状态的合理选取； 神经网络方法通过学习网络权、阈值参数构建并联机器人杆长变量空间到动 平台位姿工作变量空间的映射关系，但该方法需要大量训练样本学习网络且 网络泛化性能不易得到很好保证；遗传算法(Genetic Algorithm,GA)是利用其 全局并行搜索特性解决其正运动学问题，该算法对问题求解的具体细节要求 不高，但常规遗传算法在解决问题时其遗传因子以及控制参数难于选择，且 算法存有早熟及收敛速度慢等缺陷，影响正运动学问题的求解精度及速度。

差分进化算法是由Storn R和Price K于1995年新提出的一种随机并行直 接搜索算法，它最初设想是用于解决切比雪夫多项式问题，后发现对解决一 些非线性、不可微的复杂优化问题时具有强大全局寻优能力的性能，因此在 一些数值优化、电力经济负荷分配等工程问题中取得成功应用。已有研究表 明，差分进化算法在大多数数值Benchmark（基准测试）问题中测试结果要比 常规遗传算法、粒子群优化方法搜索结果要好。

差分进化算法是一种新型的智能优化算法，由于其所具有强大搜索性能 引得研究者的广泛兴趣并已取得较大研究进展。与其它一些仿生优化方法比 较，差分进化算法过程简单易于实现，有很强的搜索能力，且需设置的参数 少，同样的参数设置可用到许多不同问题中，因此差分进化算法可用于6-SPS 并联机器人正运动学问题求解过程中。常规的差分算法虽具有较强的全局优 化性能，但仍存有早熟易陷入局部极值点的缺陷，因此在应用差分算法在解 决6-SPS型并联机器人正运动学问题时还需对其进行改进。

发明内容

本发明目的是提供一种并联机器人的正运动学求解方法，该方法能在适 宜时间内搜索出最优或接近最优的6-SPS并联机器人正运动学解，此方法也 可移植应用于其它数值优化问题中。

为了实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种并联机器人的正运动学求解方法，其中，该方法具体实现步骤如 下：

S1、算法种群P(t)及算法参数初始化，令当前进化代数t＝1，设置最大 进化代数T；

S2、评估种群P(t)每一个个体的适应度函数值；

S3、对种群的最优个体作为初始点进行模式搜索，并将其结果替代原群 体的最优个体；

S4、对种群个体进行差分进化操作生成新群体P(t+1)；

S5、评价新群体P(t+1)个体的适应度函数值；

S6、进化代数t＝t+1，返回执行步骤S3继续迭代进化，直至进化代数 t＞T，结束循环；

S7：输出最优个体结果。

优选的，在上述并联机器人的正运动学求解方法中，所述并联机器人 为6-SPS型并联机器人，包括上动平台、下固定平台以及连接在所述上动 平台和下固定平台之间的6根驱动拉杆。

优选的，在上述并联机器人的正运动学求解方法中，所述步骤S2的 具体方法包括：

（1）建立并联机器人逆运动学模型，求取每一个体所对应的各驱动拉 杆长矢量l_i及杆长|l_i|(i＝1,2,…,6)；

（2）定义算法的适应度函数：根据并联机器人给定的驱动拉杆杆长 和由步骤（1）逆运动学模型求取种群个体所对应的各驱动拉 杆杆长|l_i|(i＝1,2,…,6)，定义各杆长的误差函数为算法的适应度函数；

（3）根据步骤（2）的适应度函数计算每一个体的适应度值f，适应 度值越小表明个体对应的正运动学解精度越高：

$\min f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}|{\left|l_i\right|}^2-{\left|l_i^{\mathrm{ref}}\right|}^2|=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}{X}_P^2+Y_P^2+Z_P^2+b_{\mathrm{ix}}^2+b_{\mathrm{iy}}^2+B_{\mathrm{iX}}^2+B_{\mathrm{iY}}^2\\ +2(d_{11}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{12}{b}_{\mathrm{iy}})(X_P-B_{\mathrm{iX}})+2(d_{21}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{22}{b}_{\mathrm{iy}})(Y_P-B_{\mathrm{iy}})\\ +2(d_{31}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{32}{b}_{\mathrm{iy}})Z_P-2(X_P{B}_{\mathrm{iX}}+Y_P{B}_{\mathrm{iy}})-{\left|l_i^{\mathrm{ref}}\right|}^2\end{array}\right)$

式中，x表示种群个体，即待优化的参数x＝[x₁,x₂,…,x₆]^T＝(X_P,Y_P,Z_P,α,β，γ)^T； P=[X_P Y_P Z_P]^T为上动平台动坐标系原点o在下固定平台固定坐标系 O-XYZ中位置矢量，b_ix和b_iy分别为上动平台各铰链点在动坐标系o-xyz中 的x、y轴坐标，B_ix和B_iy分别为下固定平台各铰链点在固定坐标系O-XYZ 中X、Y轴坐标，d_ij(i＝1,2,3;j＝1,2)为下姿态矩阵T中元素，其中α、β和γ分 别为上动平台坐标系相对于下固定平台坐标系的独立转角，c_α＝cosα、 s_α＝sinα为α姿态角简要写法，c_β＝cosβ、s_β＝sinβ为β姿态角简要写法， c_γ＝cosγ、s_γ＝sin_γ为γ姿态角简要写法

$T=\left(\begin{array}{ccc}{d}_{11}& d_{12}& d_{13}\\ d_{21}& d_{22}& d_{23}\\ d_{31}& d_{32}& d_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{\gamma }{c}_{\beta }& c_{\gamma }{s}_{\beta }{s}_{\alpha }-s_{\gamma }{c}_{\alpha }& c_{\gamma }{s}_{\beta }{c}_{\alpha }+s_{\gamma }{s}_{\alpha }\\ s_{\gamma }{c}_{\beta }& s_{\gamma }{s}_{\beta }{s}_{\alpha }-c_{\gamma }{c}_{\alpha }& s_{\gamma }{s}_{\beta }{c}_{\alpha }-c_{\gamma }{s}_{\alpha }\\ {-s}_{\beta }& c_{\beta }{s}_{\alpha }& c_{\beta }{c}_{\alpha }\end{array}\right)$

优选的，在上述并联机器人的正运动学求解方法中，所述步骤S3中， 对种群的最优个体按照下步骤进行模式搜索：

(1)给定群体最优个体位置x⁽¹⁾∈Rⁿ，其轴向坐标方向为e_j(j＝1,2,…,n)， 令y⁽¹⁾=x⁽¹⁾，k＝1；

(2)对每个分量j依次进行轴向搜索，若f(y^(j)+δe_j)优于f(y^(j))， y^(j+1)＝y^(j)+δe_j；若f(y^(j)-δe_j)优于f(y^(j))，y^(j+1)＝y^(j)-δe_j；否则y^(j+1)＝y^(j)；

(3)若f(y⁽ⁿ⁺¹⁾)优于f(x^(k))，置x^(k+1)＝y⁽ⁿ⁺¹⁾，令y⁽¹⁾＝x^(k+1)+α(x^(k+1)-x^(k))， k＝k+1，j＝1，转步骤(2)，否则进行步骤(4)；

(4)若δ≤ε，则迭代停止，得点x^(k)；否则δ＝βδ，y⁽¹⁾＝x^(k)，x^(k+1)＝x^(k)， k＝k+1，j＝1，转步骤(2)。

优选的，在上述并联机器人的正运动学求解方法中，所述步骤S4中， 对种群个体进行差分进化操作生成新群体P(t+1)，即

$\left(\begin{array}{cc}{v}_i^t=x_{r1}^t+F(x_{r2}^t-x_{r3}^t)& (i=\mathrm{1,2},···,m)\end{array}\right)$

式中，r1,r2，r3∈{1,2,…,m}互不相同且与目标序号i也不同，F∈[0,2]为缩放因 子；按照下述公式进行交叉操作

$u_{\mathrm{ij}}^t=\left(\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{ij}}^t& \mathrm{rand}(·)\le \mathrm{CR}|j=\mathrm{randn}\\ x_{\mathrm{ij}}^t& \mathrm{otherwise}\end{array}\right)$

式中，rand(·)为[0,1]间均匀分布随机数，CR∈[0,1]为交叉概率，randn为 {1,2,…,n}中选取随机量；最后对个体和进行竞争，选择适应度更优个 体的作为下代个体即

与现有技术相比，本发明提出一种基于模式搜索-差分进化的6-SPS型 并联机器人正运动学问题求解方法。DE/rand/1差分进化算法对解空间全局 探索能力强，但局部开发能力较弱，收敛速度较慢甚至可能出现进化停滞 现象的特性；模式搜索作为一种确定性的局部搜索方法，其局部搜索性能 强，但模式搜索初始点选择将会影响其搜索解结果，不同初始点位置造成 不同搜索结果，易陷入局部极小特性；本方法综合了DE/rand/1差分进化 算法具有较强的全局探索性能，及模式搜索方法具有较好的局部开发能力， 并相互机制融合，在每代进化中以当前代群体的最优个体作为模式搜索操 作的初始位置，进一步对解空间局部开发搜索到性能更优的个体，并取代 原群体中的最优个体，提高算法优化性能。该方法在解决6-SPS型并联机 器人正运动学问题中有着优异的表现，同时也可应用于其它复杂的数值优 化问题。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实 施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面 描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲， 在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1所示为6-SPS型并联机器人机构坐标图；

图2所示为本发明实施例中基于模式搜索-差分进化融合算法的流程方 框图；

图3所示为三种不同算法求解6-SPS型并联机器人正运动学解独立运 行10次平均适应度函数值进化曲线比较图；

图4所示为基于模式搜索-差分进化算法典型适应度函数进化曲线图。

具体实施方式

实践证明，每种单一的搜索方法因其自身固有模式解决复杂优化问题时 都存有自身缺陷，若将两种不同搜索算法相互机制融合构成混合算法，其搜 索性能通常优于单一算法的搜索性能。模式搜索是一种有效、简捷的确定性 搜索方法，它由探索性移动和模式性移动两部分组成，通过不断的探测移动 和模式移动逐渐向极值点靠近，因此模式搜索收敛速度快，局部搜索能力强。 基于此，本发明将模式搜索操作融入到差分进化算法中，提出一种基于模式 搜索-差分进化融合算法的数值优化方法，并成功应用于6-SPS型并联机器人 正运动学问题求解过程中。

参图2所示，本发明实施例公开了一种并联机器人的正运动学求解方法， 该方法具体实现步骤如下：

S1、算法种群P(t)及算法参数初始化，令当前进化代数t＝1，设置最大 进化代数T；

S2、评估种群P(t)每一个个体的适应度函数值；

S3、对种群的最优个体作为初始点进行模式搜索，并将其结果替代原群 体的最优个体；

S4、对种群个体进行差分进化操作生成新群体P(t+1)；

S5、评价新群体P(t+1)个体的适应度函数值；

S6、进化代数t=t+1，返回执行步骤S3继续迭代进化，直至进化代数 t＞T，结束循环；

S7：输出最优个体结果。

该方法利用6-SPS型并联机器人易获得逆运动学解的特点，将其正运动 学求解问题转化为一等效的最小化问题，通过所计算返回的驱动拉杆杆长误 差，由模式搜索-差分进化融合算法在上动平台6个未知位姿参数所有可能取 值组合的候选解集合中找出一组最优或接近最优解，使定义的6-SPS型并联 机器人驱动拉杆杆长误差函数值最小。模式搜索-差分进化融合算法充分利用 了差分进化算法对解空间全局探索能力强和模式搜索收敛速度快、局部搜索 性能优的优点，相互融合各自搜索机制改善了算法的优化性能。

下面对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。

1.6-SPS型并联机器人正运动学问题求解数学描述

6-SPS型并联机器人为一典型的Stewart平台结构。该并联机构上下平台 均为不等边对称六边形，其中下平台为固定平台，上平台可以在工作空间内 进行6自由度运动，上下两平台采用6根具有相同结构与行程的拉杆通过万 向关节连接。图1为6-SPS并联机器人相应的机构坐标图，图中b_i(i＝1,2,…,6) 为上动平台各铰链点，B_i(i＝1,2,…,6)为下固定平台各铰链点，b₁为上动平台坐 标系o-xyz的原点，为上动平台坐标系x轴正方向，B₁为下固定平台坐标 系O-XYZ的原点，为下固定平台坐标系X轴正方向。由此在上动坐标系 o-xyz中任一向量R'可通过式(1)变换到下固定坐标系O-XYZ下的向量R

R=TR'+P                   (1)

式中P=[X_P Y_P Z_P]^T为上平台动坐标系原点o在固定坐标系O-XYZ中的位 置矢量，T为上平台的姿态矩阵，其中

$T=\left(\begin{array}{ccc}{d}_{11}& d_{12}& d_{13}\\ d_{21}& d_{22}& d_{23}\\ d_{31}& d_{32}& d_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{\gamma }{c}_{\beta }& c_{\gamma }{s}_{\beta }{s}_{\alpha }-s_{\gamma }{c}_{\alpha }& c_{\gamma }{s}_{\beta }{c}_{\alpha }+s_{\gamma }{s}_{\alpha }\\ s_{\gamma }{c}_{\beta }& s_{\gamma }{s}_{\beta }{s}_{\alpha }-c_{\gamma }{c}_{\alpha }& s_{\gamma }{s}_{\beta }{c}_{\alpha }-c_{\gamma }{s}_{\alpha }\\ {-s}_{\beta }& c_{\beta }{s}_{\alpha }& c_{\beta }{c}_{\alpha }\end{array}\right)---\left(2\right)$

上式α、β和γ分别为上动平台坐标系相对于下固定平台坐标系的独立转 角，c_γ＝cosγ、s_γ＝sinγ为γ姿态角简要写法，α、β角类似。

给定上动平台姿态矩阵T及上动平台坐标系o-xyz原点o在下固定平台 坐标系O-XYZ中的位置矢量P，并定义上动平台及下固定平台每一铰链点 相对于它们各自坐标系的位置坐标值分别为b_i和B_i(i＝1,2,…,6)，根据式(1) 可得在下固定平台坐标系中每一驱动拉杆长矢量l_i及杆长|l_i|分别为

$l_i=\overrightarrow{B_i{b}_i}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{12}{b}_{\mathrm{iy}}+X_P-B_{\mathrm{iX}}\\ d_{21}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{22}{b}_{\mathrm{iy}}+Y_P-B_{\mathrm{iY}}\\ d_{31}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{32}{b}_{\mathrm{iy}}+Z_P\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{l}_{\mathrm{iX}}\\ l_{\mathrm{iY}}\\ l_{\mathrm{iZ}}\end{array}\right)---\left(3\right)$

$\left(\begin{array}{cc}\left|l_i\right|=\sqrt{l_{\mathrm{iX}}^2+l_{\mathrm{iY}}^2+l_{\mathrm{iZ}}^2}& (i=\mathrm{1,2},···,6)\end{array}---\left(4\right)\right)$

式中，b_ix和b_iy分别为上平台各铰链点在动坐标系o-xyz中的x、y轴坐标， B_ix和B_iy分别为下平台各铰链点在固定坐标系O-XYZ中X、Y轴坐标。

6-SPS型并联机器人正运动学问题数值方法求解就是要在上动平台未 知位姿参数所有可能组合的候选解集合中，找到最优或接近最优解使定义 的机器人驱动拉杆杆长误差函数最小，即可构建适应度函数为

${(X_P,Y_P,Z_P,\alpha ,\beta ,\gamma )}_{\mathrm{opt}}=\arg \min \left\{\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}\right|{\left|l_i\right|}^2-{\left|l_i^{\mathrm{ref}}\right|}^2\left|\right\}---\left(5\right)$

式中，为6-SPS并联机器人给定的驱动拉杆杆长。

2.差分进化算法(DE)基本原理

差分进化有三个主要操作为变异、交叉和选择。在每次迭代中，算法 对当前群体利用差分进化变异和交叉操作，产生一临时种群；再利用基于 贪婪思想的选择操作对这两群体进行一对一的选择，从而实现群体的更新。

差分进化算法先在搜索空间内随机产生m个初始个体x_i(i＝1,2,…,m)， 个体变量数为n。对种群任一个体向量x_i按下DE/rand/1方式产生变异向量 v_i

$\left(\begin{array}{cc}{v}_i^t=x_{r1}^t+F(x_{r2}^t-x_{r3}^t)& (i=\mathrm{1,2},···,m)\end{array}\right)---\left(6\right)$

式中，t为当前代数，r1，r2，r3∈{1,2,…,m}互不相同且与目标序号i也不同， F∈[0,2]为缩放因子，用于控制差向量的影响，差向量越小对个体的 扰动也越小。

差分进化算法的交叉操作目的是通过变异向量v_i和个体向量x_i相结合 提高变异向量多样性，算法按照下述公式进行交叉操作

$u_{\mathrm{ij}}^t=\left(\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{ij}}^t& \mathrm{rand}(·)\le \mathrm{CR}|j=\mathrm{randn}\\ x_{\mathrm{ij}}^t& \mathrm{otherwise}\end{array}\right)---\left(7\right)$

式中rand(·)为[0,1]间均匀分布随机数，CR∈[0,1]为交叉概率，randn为 {1,2,…,n}中选取随机量；

差分进化算法的选择操作是一种基于“贪婪”的选择模式，即对新个 体向量u_i和原向量x_i进行竞争，选择适应度更优的个体进入下一代群体中。

3.模式搜索算法(PS)

模式搜索法是由Hooke和Jeeves于1961年提出的一种确定性搜索 方法，它由探索性移动和模式性移动两部分组成；其中探索性移动则以一 定步长沿着轴向探索以探测函数的下降方向，模式性移动是沿着有利方向 直接搜索以寻找更好的点，通过不断的探测移动和模式移动，迭代点将逐 渐向极小点靠近。该方法的基本步骤如下：

(1)给定群体最优个体x⁽¹⁾∈Rⁿ，n个轴向坐标方向e₁,e₂,…,e_n，初始步 长δ，加速因子α≥1，缩减率β∈[0,1]，允许误差ε＞0，令y⁽¹⁾＝x⁽¹⁾，k＝1， j＝1；

(2)对每个分量j依次进行轴向搜索，若f(y^(j)+δe_j)优于f(y^(j))， y^(j+1)＝y^(j)+δe_j；若f(y^(j)-δe_j)优于f(y^(j))，y^(j+1)＝y^(j)-δe_j；否则y^(j+1)＝y^(j)；

(3)若f(y⁽ⁿ⁺¹⁾)优于f(x^(k))，置x^(k+1)＝y⁽ⁿ⁺¹⁾，令y⁽¹⁾＝x^(k+1)+α(x^(k+1)-x^(k))， k＝k+1，j＝1，转步骤(2)，否则进行步骤(4)；

(4)若δ≤ε，则迭代停止，得点x^(k)；否则δ＝βδ，y⁽¹⁾＝x^(k)，x^(k+1)＝x^(k)， k＝k+1，j＝1，转步骤(2)。

4.模式搜索-差分进化融合算法求解6-SPS并联机器人正运动学问题的实 现步骤

综上所述，发明一种基于模式搜索-差分进化的6-SPS型并联机器人正运 动学问题求解方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：参数初始化。令当前进化代数t＝1，设置最大进化代数T，算 法种群大小m，个体变量数n；模式搜索参数初始步长δ，加速因子α≥1， 缩减率β∈[0,1]，步长容许误差ε＞0；差分进化缩放因子参数F，交叉概率 参数CR；6-SPS型并联机器人上动平台及下固定平台每一铰链点相对它各 自坐标系的位置坐标值b_i和B_i，给定的驱动拉杆长度等；

步骤二：算法种群P(t)初始化并评估种群个体：在搜索空间内随机产 生m个初始个体x_i(i＝1,2,…,m)，按照求解6-SPS并联机器人正运动学问题 数学描述中所构建的的适应度函数计算每一个体的适应度函数值f；

$\min f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}|{\left|l_i\right|}^2-{\left|l_i^{\mathrm{ref}}\right|}^2|=\underset{i=1}{\overset{6}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}{X}_P^2+Y_P^2+Z_P^2+b_{\mathrm{ix}}^2+b_{\mathrm{iy}}^2+B_{\mathrm{iX}}^2+B_{\mathrm{iY}}^2\\ +2(d_{11}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{12}{b}_{\mathrm{iy}})(X_P-B_{\mathrm{iX}})+2(d_{21}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{22}{b}_{\mathrm{iy}})(Y_P-B_{\mathrm{iy}})\\ +2(d_{31}{b}_{\mathrm{ix}}+d_{32}{b}_{\mathrm{iy}})Z_P-2(X_P{B}_{\mathrm{iX}}+Y_P{B}_{\mathrm{iy}})-{\left|l_i^{\mathrm{ref}}\right|}^2\end{array}\right)---\left(8\right)$

式中，x表示种群个体，即待优化的参数x＝[x₁,x₂,…,x₆]^T＝(X_P,Y_P,Z_P,α,β，γ)^T； P=[X_P Y_P Z_P]^T为上平台动坐标系原点o在固定坐标系O-XYZ中的位置矢 量，b_ix和b_iy分别为上平台各铰链点在动坐标系o-xyz中的x、y轴坐标，B_ix和 B_iy分别为下平台各铰链点在固定坐标系O-XYZ中X、Y轴坐标， d_ij(i＝1,2,3;j＝1,2)为姿态矩阵T中元素，具体表达参见式(2)所示；

步骤三：对种群的最优个体作为初始点进行模式局部搜索操作，并用 搜索后的结果替代原群体的最优个体；

步骤四：对种群进行DE/rand/1差分进化操作生成下代新群体P(t+1)， 并按照适应度函数计算新群体每一个体的适应度函数值f；

步骤五：进化代数t＝t+1，返回执行步骤三继续迭代进化，直至进化 代数t＞T，结束循环；

步骤六：输出最优个体结果，记(X_P,Y_P,Z_P,α,β，γ)_opt，此结果即为6-SPS 型并联机器人正运动学解。

下面通过一具体实例验证本发明所提出的基于模式搜索-差分进化融合 算法求解6-SPS型并联机器人正运动学问题的性能。实验环境为2.60GHz， 1G内存，Matlab 7.11.0.584版本。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部 分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术 人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明 保护的范围。

对如图1所示6-SPS型并联机器人机构坐标图，设上、下平台每一铰 链点相对于它们各自坐标系的位置坐标参数分别为表1所示。

表1.6-SPS并联机器人各铰链点对于相应坐标系坐标值(米)

  b₁  b₂  b₃  b₄  b₅  b₆  b_ix  0   0.10   0.50   0.50   0.20   0.10

  b_iy  0   0   0.20   0.30   0.50   0.10   B₁  B₂  B₃  B₄  B₅  B₆  B_ix  0   0.70   0.70   0.40   0.30   0   B_iy  0   0   0.10   0.40   0.40   0.10

设并联机器人6根驱动拉杆长度分别为|l₁|＝1.0m，|l₂|＝1.0m，|l₃|＝1.2m， |l₄|＝1.2m，|l₅|＝1.0m和|l₆|＝1.0m。

下面分别采用DE/rand/1和DE/best/1两种不同变异策略的差分进化算 法及本发明基于模式搜索-差分进化融合算法求解上6-SPS型并联机器人 上平台位姿正运动学解，并相互比较搜索解性能。实验中各方法参数设置 如下：变量维数为上平台位姿参数n=6，6个位姿参数(X_P,Y_P,Z_P,α,β，γ)变 量搜索范围分别为X_P∈[-0.6,0.6]、Y_P∈[-0.6,0.6]、Z_P∈[-0.9,0.9]米、 α∈[-40*π/180,40*π/180]、β∈[-75*π/180,75*π/180]、γ∈[-115*π/180,115*π/180] 弧度；各算法DE操作的共同参数缩放因子系数F＝0.80，交叉概率 CR＝0.90；另本发明提出的模式搜索-差分进化融合算法中模式搜索操作参 数δ＝0.2，α＝1.0，β＝0.5，ε＝0.001；为公平期间，三种不同算法的其它 共同参数也取值相同，即种群个体数P=30，总进化代数T=1500，以式(8) 作为上各算法的适应度函数，分别独立运行10次，表2分别为各方法独立 寻优10次所对应的寻优结果。

表2.6-SPS并联机器人正运动学问题独立运行10次寻优结果比较

  最优   平均   最差   标准差   DE/rand/1   5.9952E-15   1.6352E-02   1.4095E-01   4.4030E-02   DE/best/1   0   6.7718E-03   1.1286E-02   5.8282E-03   本发明方法   6.6613E-16   1.3212E-14   8.3045E-14   2.4827E-14

从表2中10次运行的寻优结果可看出，与DE/rand/1算法比较，本发 明方法求解6-SPS并联机器人正运动学问题独立运行10次的最优、平均、 最劣优化解精度及优化解的标准差值均优于这两种方法的相应值，说明基 于模式搜索-差分进化融合算法在求解并联机器人正运动学问题上不但具 有较高精度，也具有相对稳定性。与DE/best/1算法比较，本发明方法在 平均、最劣优化解精度及优化解的标准差值上也优于DE/best/1算法；虽本 发明方法最优解结果不及DE/best/1算法，但在10次独立运行结果中， DE/best/1算法其中占有6次不能收敛于期望的寻优解(设以收敛精度 ε＝1.0E-5为条件)，获得期望优化解成功率仅为40%，因此综合评价比较 DE/best/1算法获得6-SPS型并联机器人正运动学解的性能不及本发明基 于模式搜索-差分进化融合算法。图3为三种不同方法求解6-SPS并联机器 人正运动学问题独立运行10次平均进化曲线比较图，图中比较曲线也验证 本发明基于模式搜索-差分进化融合算法对求解并联机器人正运动学问题 的有效性。

为进一步描述本发明基于模式搜索-差分进化融合算法求取6-SPS并联 机器人正运动学求解过程，图4为融合模式搜索-差分进化算法求解上正运 动学问题取最优解f＝6.6613E-16时适应度值函数进化过程图，对应6-SPS 并联机器人上平台的位姿参数分别为

(X_P,Y_P,Z_P)

＝(0.4402913,0.5242920,0.7288768)米

(α,β，γ)

＝(-0.525408,-1.272296,-1.952770)弧度

从图中可看出，该融合算法的适应度值函数进化曲线快速向横轴靠近， 能够获取求解精度较高的6-SPS并联机器人正运动学解。

该融合方法为解决多维函数全局数值寻优问题提供了一种有效的方法 途径，也可广泛应用于机器人、航空、航天等其它涉及多维函数全局数值 优化领域中。

综上所述，本发明的方法在解决并联机器人正运动学问题时，利用其 易求取逆运动学解的特性，将并联机器人正运动学求解问题转化为等效的 最小优化问题，并采用数值优化方法求解。本方法综合了差分进化对解空 间具有较强全局探索性能的优点，及模式搜索对解空间具有较优的局部开 发能力特性，将两种优化算法相互机制融合提高了算法的搜索性能。与传 统的方法比较，本发明提出的方法在解决6-SPS型并联机器人正运动学问 题时具有较高的寻优解精度和较快的收敛速度，同时该方法也可以推广到 其他类型的并联机器人正运动学问题求解中。

应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式 仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本 领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施方式中的技术方案也可以 经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。

上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的可行性实施方式的 具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技艺精神 所作的等效实施方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。