一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法

摘要

一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法，它有五大步骤：步骤一：飞行器倾斜角系统模型分析与构建；步骤二：非线性环节的描述函数及极限环振荡现象的分析；步骤三：具有参数不确定性的飞行器倾斜角控制系统的控制器设计；步骤四：控制器性能检验；步骤五：设计结束。本发明不仅抑制了飞行器的极限环振荡，克服了参数不确定性，还实现了飞行器倾斜角的快速且精确跟踪。它在自动控制技术领域里具有较好的实用价值和良好的应用前景。

说明书

(一)技术领域

本发明涉及一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法，它是针对非 线性飞行器倾斜角控制系统，用于抑制由于飞行器倾斜角控制系统非线性部分而引起的 倾斜角极限环振荡现象，克服了参数不确定性，属于自动控制技术领域。

(二)背景技术

飞行器是一个复杂的非线性模型，在飞行控制中也必不可少的掺杂着控制饱和、迟 滞、摩擦等现象，所以经典的线性控制理论直接在飞行器上应用比较困难。并且，由于 非线性环节的存在，可能产生一种振幅不变的持续震荡—极限环振荡。飞行器上出现极 限环振荡，不仅影响驾驶员操作的精确性，还会影响飞行器的飞行品质和飞行任务。所 以，飞行器控制系统中极限环现象的抑制飞行控制中不可避免的问题。

飞行器模型参数具有不确定性。由于模型的误差以及飞行条件的原因，在飞行器控 制系统中参数可能是变化的。参数一旦变化就会影响飞行品质，严重情况还可能造成坠 机，所以控制器设计的时候要考虑一定的鲁棒性。

这种技术背景下，本发明给出一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制 方法，用于抑制由于飞行器倾斜角控制系统非线性部分而引起的倾斜角极限环振荡现象。 采用这种方法不仅抑制了飞机的极限环振荡，克服了参数不确定性，还实现了飞行器倾 斜角快速且精确跟踪。

（三）发明内容

1、发明目的

本发明的目的是：克服现有控制技术的不足，而提供一种参数不确定性飞行器倾斜角 控制系统极限环抑制方法，它不仅抑制了飞行器的极限环振荡，克服了参数不确定性，还 实现了飞行器倾斜角的快速且精确跟踪。

本发明是一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法，其设计思想是： 针对非线性的飞行器倾斜角控制系统模型，对飞行器倾斜角控制系统的非线性部分采用描述 函数的方法进行分析，然后分析飞行器倾斜角控制系统中的极限环现象，之后设计线性控制 器，根据Kharitonov方法整定控制器的参数，抑制飞行器倾斜角控制系统的极限环振荡现 象，克服了参数不确定性，同时实现了飞行器倾斜角快速且精确跟踪。

2、技术方案

下面结合流程框图1.1中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法，该方法具体步骤如 下：

第一步飞行器倾斜角系统模型分析与构建

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量是飞行器的倾斜角。由于飞行器倾斜角控 制系统存在输入饱和的现象，所以飞行器倾斜角控制系统存在输入饱和的非线性部分。所涉 及的飞行器倾斜角控制系统就包括线性控制器、饱和环节和飞机模型，本发明飞行器倾斜角 控制系统示意图如图1.2所示。

飞机的侧向运动（横滚和偏航）有3种模式，分别为荷兰滚模式、盘旋滚模式和衰减横滚 模式。荷兰滚模式兼有横滚和偏航运动，处于该模式时，飞机的质心运动轨迹几乎为一条直 线。这与滑速运动非常类似，故得名荷兰滚。方向舵脉冲能够激发这一模式。盘旋模式以偏 航运动为主，横滚运动比较小。这种模式通常比较轻微，但也有可能导致飞机进入危险的大 角度盘旋俯冲状态。衰减横滚模式几乎是纯粹的横滚运动。本发明主要针对衰减横滚模式进 行设计。

飞行器倾斜角模型的传递函数如下：

$G\left(s\right)=\frac{k(s-c_0)(s^2+b_{1}s+b_0)}{s(s+d_0)(s+e_0)(s^2+f_{1}s+f_0)}---\left(1\right)$

其中，式中的各个参数k、c₀、b₁、b₀、d₀、e₀、f₁和f₂，都是由稳定性派生而来的， 而稳定性又与飞行条件和飞机配置相关，因此他们会随着飞机的型号不同而不同。k为系统 增益；d₀表示盘旋模式时间系数，它与系统的盘旋模式相关；e₀表示衰减横滚模式时间系 数，它表示与系统的衰减横滚模式相关；c₀表示地球引力对模型的影响；s²+b₁s+b₀表示平 稳飞行状态下飞行参数；而s²+f₁s+f₀环节对应的共轭复极点与荷兰滚模式相关。

当飞机攻角较小（处于稳定水平飞行状态）时，荷兰滚环节s²+f₁s+f₀通常可以近似地 对消掉传递函数分子中s²+b₁s+b₀项。这一近似处理所需要的假设条件与已有的假设条件是 一致的。此外，由于盘旋模式的主要成分为偏航运动，与横滚模式的运动只有轻度的耦合， 因此可以在传递函数中忽略盘旋模式环节。零点s=c₀表示的是由于地球引力的影响，飞机 横滚时可能出现的侧滑。由于在慢速的横滚机动中，允许有一定的侧滑，因此可以假设这种 侧滑非常小，或者为零，从而忽略掉零点s=c₀的影响。

简化传递函数式（1）如下：

$G\left(s\right)=\frac{k}{s(s+e_0)}---\left(2\right)$

本发明针对是具有参数不确定性的飞行器倾斜角极限环抑制，因此式（2）中两个参数k 和e₀的变化范围分别为k∈[k^-，k⁺]和

第二步非线性环节的描述函数及极限环振荡现象的分析

非线性特性的描述函数表示法，是线性部件频率特性表示法的一种推广。非线性特性在 输入量作正弦变化时，输出量一般都不是同频率的正弦量，但常常是周期变化的函数。其周 期与输入信号相同。

飞行器倾斜角控制系统中非线性部件为输出饱和特性。图2.1表示了饱和特性、正弦输入 信号和正弦信号作用下的输出波形。系统的输入为r=A sin ωt。显然，当X<S时为完全线性 关系，图中所表示的是X≥S的情况。同理，因为饱和特性是单值奇对称的，所以有 A₀=0、A₁=0、φ₁＝0并且由可得，这时B₁由下式计算可得：

由上式可得饱和特性的描述函数

$N\left(X\right)=\frac{2\mathrm{KX}}{\pi }[\arcsin \frac{S}{X}+\frac{S}{X}\sqrt{1-{\left(\frac{S}{X}\right)}^2}],(X\ge S)---\left(3\right)$

为了便于下面的分析，将式（3）中的幅值X用A替换，即输入为：

r=A sin ωt

非线性环节的输出为：

$N\left(A\right)=\frac{2\mathrm{KA}}{\pi }[\arcsin \frac{S}{A}+\frac{S}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{S}{A}\right)}^2}],(A\ge S)---\left(4\right)$

上述各式中的符号说明如下：A表示系统输入的正弦信号的幅值，K表示饱和特性 中的增益，S表示饱和特性中的延迟时间。

由式（4）可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。

在大多数现代高性能的飞机上，为了获得满意的飞行品质，都装有自动器。由于操纵系 统和自动器中的非线性—不灵敏区、饱和以及间隙等影响，可能引起飞机一定振幅不衰减的 极限环振荡。

任何含有一个非线性环节的自动控制系统的结构图，总可以简化成一个复合的线性部分 和一个非线性部分相串的形式，如图2.2所示。图中线性环节用传递函数W(s)来表示，非线 性环节用传递函数N(A)做线性处理。在非线性环节线性化处理后，就可以应用于各种分析 线性系统的方法来讨论飞机控制系统的极限环问题。

本发明中的含有非线性环节的飞行器倾斜角控制系统回路结构如图1.2所示，其特征方 程可以表示为：

1+G_c(s)N(A)G_p(s)=0

为了便于分析，令

W(s)=G_c(s)G_p(s)

则，最终简化为：

1+W(s)N(A)=0                                                          （5）

这是非线性系统产生极限环时应满足的关系式，若该方程有解，便可以求得极限环的振 幅A和振荡频率ω，先用奈奎斯特图解法求解。为了便于观察将式（5）改写如下：

$W\left(s\right)=-\frac{1}{N\left(A\right)}---\left(6\right)$

或

W(s)N(A)=-1                                                          （7）

上述各式中的符号说明如下：W(s)表示开环系统中线性部分的传递函数，N(A)表 示开环系统中非线性部分的描述函数。

由式（7）可知，非线性系统的开环回路相位延迟180°、回路增益为1是产生极限环的条 件。

分别在复平面上做出W(s)和-1/N(A)的奈奎斯特图，如图2.3所示。因为-1/N(A)随振 幅A变化，令A由0变化到∞，就可以得到-1/N(A)的轨迹。对此轨迹上的任意点来说，用 奈奎斯特判据都稳定的话，非线性就是稳定的。在复平面W(s)和-1/N(A)相交时，系统存 在不衰减的持续振荡，这个交点就确定了极限环的振幅A和响应的振荡频率ω。但是，这时 可能产生稳定的极限环，也可能产生不稳定的极限环。如图2.3所示。交点Q₁(A₁,ω₁)对应于 稳定的极限环，交点Q₂(A₂,ω₂)对应于不稳定的极限环。

第三步具有参数不确定性的飞行器倾斜角控制系统的控制器设计

飞行器中的控制器包括了控制机构和执行机构，可以通过对控制机构中参数的设计，使 整个控制器变为一个线性控制器。

由于参数不确定性飞行器倾斜角系统控制器的设计具有一定的连贯性，但是分析和设计 方法又较为复杂，所以本步骤分三个小步进行。

第一小步，求解系数区间多项式。

由于飞行器倾斜角控制系统中非线性环节的存在，使得系统中存在极限环。所以需要设 计控制器对极限环的幅值进行抑制。现设计线性控制器G_c(s,K_A,K_B,…)，其中 K_A、K_B…∈R，且为可调参数，本步骤就是整定其中的参数，从而达到抑制极限环振幅的 目的。

如图1.2所示，当系统的输入变为R=0时，系统将产生自激振荡现象。系统的闭环特征 方程如下：

1+G_c(s,K_A,K_B,…)N(A,ω)G_p(s)=0                                    （8）

其中，G_c(s,K_A,K_B,…)表示系统可调控制器的传递函数，N(A,ω)为系统非线性环节的 描述函数，G_p(s)为飞行器模型的传递函数。

对于给定的K_A、K_B…，系统将会产生幅值为A、频率为ω的极限环振荡。进而将式（8） 简化成如下形式：

$F(s,q,r)=\underset{l=0}{\overset{n}{\Sigma }}(q_l+{\mathrm{jr}}_l)s^l=0---\left(9\right)$

其中，系数q_l和r_l表示s^l的实部和虚部。

根据式（4）可知，飞行器倾斜角控制系统中的非线性环节不含虚部，所以 r_l=0(l=0,1,…n)，所以式（9）可以简化为：

$F(s,q,r)=\underset{l=0}{\overset{n}{\Sigma }}{q}_l{s}^l=0---\left(10\right)$

其中，由于飞行器倾斜角模型函数G_p(s)中两个参数k和e₀的参数不确定，以及控制器 函数G(s,K_A,K_B,…)中K_A、K_B…的参数不确定，式（10）中系数q_l也是参数不确定的。

令Q表示系数q_l的不确定集：

$Q=\{q=[q_1,q_2...q_n];q_l\in R,q_l^{-}\le q_l\le q_l^{+};l=\mathrm{0,1},...n\}---\left(11\right)$

进而式（9）可以写成：

$F(s,q,r)=\underset{l=0}{\overset{n}{\Sigma }}\left(\right[q_l^{-},q_l^{+}\left]\right)s^l=0---\left(12\right)$

以上的推导表明，系统线性部分、非线性部分和控制器参数的不确定性最终确定了式 （12）—系数区间多项式。

第二小步，采用Kharitonov稳定理论整定参数

本发明中的飞行器倾斜角控制系统是带有参数不确定性的，如果要检验系统闭环是否稳 定，就必须对式（12）系数区间多项式进行分析。针对系统的参数不确定性，Kharitonov稳 定理论给出了系统闭环稳定的条件：如果一个具有参数不确定性的系统区间多项式式（10） 是稳定的，当且仅当以下八个特征方程是稳定的：

$F_1\left(s\right)=(q_0^{-}+{\mathrm{jr}}_0^{-})+(q_1^{-}+{\mathrm{jr}}_1^{+})s+(q_2^{+}+{\mathrm{jr}}_2^{+})s^2+(q_3^{+}+{\mathrm{jr}}_3^{-})s^3+...---\left(13\right)$

$F_2\left(s\right)=(q_0^{+}+{\mathrm{jr}}_0^{+})+(q_1^{+}+{\mathrm{jr}}_1^{-})s+(q_2^{-}+{\mathrm{jr}}_2^{-})s^2+(q_3^{-}+{\mathrm{jr}}_3^{+})s^3+...---\left(14\right)$

$F_3\left(s\right)=(q_0^{+}+{\mathrm{jr}}_0^{-})+(q_1^{-}+{\mathrm{jr}}_1^{-})s+(q_2^{-}+{\mathrm{jr}}_2^{+})s^2+(q_3^{+}+{\mathrm{jr}}_3^{+})s^3...---\left(15\right)$

$F_4\left(s\right)=(q_0^{-}+{\mathrm{jr}}_0^{+})+(q_1^{+}+{\mathrm{jr}}_1^{+})s+(q_2^{+}+{\mathrm{jr}}_2^{-})s^2+(q_3^{-}+{\mathrm{jr}}_3^{-})s^3+...---\left(16\right)$

$F_5\left(s\right)=(q_0^{-}+{\mathrm{jr}}_0^{-})+(q_1^{+}+{\mathrm{jr}}_1^{-})s+(q_2^{+}+{\mathrm{jr}}_2^{+})s^2+(q_3^{-}+{\mathrm{jr}}_3^{+})s^3+...---\left(17\right)$

$F_6\left(s\right)=(q_0^{+}+{\mathrm{jr}}_0^{+})+(q_1^{-}+{\mathrm{jr}}_1^{+})s+(q_2^{-}+{\mathrm{jr}}_2^{-})s^2+(q_3^{+}+{\mathrm{jr}}_3^{-})s^3+...---\left(18\right)$

$F_7\left(s\right)=(q_0^{+}+{\mathrm{jr}}_0^{-})+(q_1^{+}+{\mathrm{jr}}_1^{+})s+(q_2^{-}+{\mathrm{jr}}_2^{+})s^2+(q_3^{-}+{\mathrm{jr}}_3^{-})s^3+...---\left(19\right)$

$F_8\left(s\right)=(q_0^{-}+{\mathrm{jr}}_0^{+})+(q_1^{-}+{\mathrm{jr}}_1^{-})s+(q_2^{+}+{\mathrm{jr}}_2^{-})s^2+(q_3^{+}+{\mathrm{jr}}_3^{+})s^3+...---\left(20\right)$

其中，系数和表示参数q_l的变化上限和下限；系数和表示参数r_l的变化 上限和下限。

式（13）～（20）被称为Kharitonov顶点多项式。所以，如果鲁棒稳定控制器G_c(s)能够 达到抑制极限振幅环并完全消除极限环的目的，那么该控制器必须要能够同时稳定上述的八 个Kharitonov顶点多项式。

第三小步，鲁棒稳定控制器设计。

本小步的主要目的是，根据已知的振动条件，建立极限环产生的边界和渐近稳定的边 界。令s=jω，并将其代入八个Kharitonov顶点多项式，现对其中任意一个多项式进行分 析。多项式可以进一步写成实部和虚部的形式，如下所示：

F(jω)=F_R(A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…)+jF_I(A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…)=0        （21）

进而可得以下两个稳定方程：

F_R(A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…)=0        （22）

F_I(A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…)=0        （23）

上述方程中，A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…是变化参数或者可调参数，这些参数的任意组合最终 都会满足式（22）和式（23）两个稳定方程，而且对于任意满足稳定方程的一组特定的参数 序列，都会产生幅值为A、频率为ω的极限环振荡。接下来的工作就是：在参数平面中，确 定一组控制器的参数（K_A,K_B,…）产生一个特定的极限环振荡（幅值足够小），以满足技术 要求。

假设控制器中只有两个可调参数K_A和K_B，式（22）和（23）可以简化为如下：

F_R(A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…)=B₁K_A+C₁K_B+D₁=0    （24）

F_I(A,ω,k,e₀,K_A,K_B,…)=B₂K_A+C₂K_B+D₂=0    （25）

其中，B₁,C₁,D₁,B₂,C₂,D₂是以参数k,e₀,A,ω自变量的函数。根据上式，可以求解K_A和 K_B的如下：

$K_A=\frac{C_1{D}_2-C_2{D}_1}{B_1{C}_2-B_2{C}_1}---\left(26\right)$

$K_B=\frac{B_1{D}_2-B_2{D}_1}{B_2{C}_1-B_1{C}_2}---\left(27\right)$

并且，对于任意给定的幅值A=A_d，随着ω∈[0,∞]的变化，可以到一组K_A,K_B的数 值，从而得到K_A-K_B平面，如图3所示。

令极限环振荡幅值A=A_d的控制参数K_A,K_B组成一个集合，记为L_F(K_A,K_B,A=A_d)。 因此，K_A-K_B平面的第一象限被L_F(K_A,K_B,A=A_d)分成了两部分：R_F(s)(K_A,K_B,A<A_d)和 R_F(s)(K_A,K_B,A>A_d)。假设系统的稳定状态被设置为极限环振幅小于A_d，那么区域 R_F(s)(K_A,K_B,A<A_d)即为控制器参数的目标集合。

根据前面的分析可知，在K_A-K_B的允许极限环区域内，对于给定的A_d和ω_d，可以找 到相对应的K_A和K_B坐标点，通过改变参数K_A和K_B，使得系统从一个大振幅低频率的极限 振荡环变为一个低振幅高频率的极限环振荡。由于以上的分析只是针对一个Kharitonov顶点 多项式进行的，参数并不一定满足整个飞行器倾斜角控制系统的要求，满足具有参数不确定 性系统要求的控制器参数选择需要考虑所有的八个Kharitonov顶点多项式。

对于一个具有参数不确定性的非线性控制系统，式（13）~（20）为要分析的特征方程。 假设为在K_A-K_B平面内，满足第一个特征方程极限环抑制的区域。同 理可得…。那么设区域 则R_K(K_A,K_B)即为满足整个飞行器倾斜角控制系统极限环抑 制要求的区域。该区域代表了所有可行的控制器参数设置，以实现鲁棒绝对稳定性，即控制 器参数可以在该区域内根据实际情况灵活选择。

第四步控制器性能检验

这一步将检验控制器参数的选择是否满足设计要求，见图1.1所示。借助于常用的数值 计算和控制系统仿真工具Matlab7.0进行。

在实际应用中，在飞行器飞行平稳状态下，给飞行器倾斜角控制系统输入一个阶跃信 号，然后检测系统的输出以及非线性环节的输入极限环振荡是否满足设计要求。

第五步设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，参数不确定性、 响应的快速性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了具有参数不确定性的飞行器倾 斜角控制系统模型；第二步中介绍了非线性环节的描述函数以及飞行器倾斜角控制系统中存 在的极限环振荡现象；第三步中主要介绍了用Kharitonov理论整定控制器的参数，以达到抑 制极限环和克服参数不确定性的目的，分三个小步进行；经上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明一种参数不确定性飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法，它用于稳定飞行 器的倾斜角。具体优点包括三个方面：其一，与目前存在的处理方法相比，这种方法设计的 线性控制器较简单易实现；其二，；控制器的具有鲁棒性，控制器设计的时候考虑了参数不 确定性，在参数变化时也能达到控制效果；其三，抑制了系统极限环，同时降低了系统的响 应时间。

（四）附图说明

图1.1：本发明具有参数不确定性的飞行器倾斜角控制系统极限环抑制方法流程示意 图

图1.2：本发明输入R=1时的飞行器倾斜角控制系统示意图

图2.1：饱和特性、正弦输入信号和正弦信号作用下的输出波形

图2.2：输入R=0时的非线性系统简化示意图

图2.3：非线性系统的线性部分和非线性部分极限环点Q₁、Q₂的奈奎斯特图

图3：控制器参数K_A、K_B变化曲线

图4：本发明飞行器倾斜角控制系统中饱和特性部分

图5.1：固定振幅情况下控制器参数选择区域

图5.2：振幅A=2、3、4情况下控制器参数选择区域

图6.1：固定参数情况下系统的输出曲线

图6.2：固定参数情况下非线性环节极限环振荡曲线

图6.3：参数变化后系统的输出曲线

图6.4：参数变化后非线性环节极限环振荡曲线

图6.5：控制器参数未整定且系统参数固定系统的输出曲线图

图6.6：控制器参数未整定且系统参数固定非线性环节极限环振荡曲线

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图3、图5.1、图5.2中的横坐标表示参数K_A，无量纲，图3、图5.1、图5.2中纵坐标表示 参数K_A，无量纲。图6.1、6.3、6.5中横坐标表示系统时间，单位是秒，纵坐标表示飞行器 控制系统倾斜角，单位是弧度。图6.2、6.4、6.6中横坐标表示系统时间，单位是秒，纵坐标 表示飞行器倾斜角控制系统非线性输入，无量纲。

（五）具体实施方式

见图1—图6.6，本发明设计目标包括三个方面：其一，实现飞行器倾斜角控制系统设计 的简单化；其二，设计鲁棒控制器，对参数不确定性的系统进行控制；其三，抑制系统的极 限环，降低系统的响应时间。。其三具体指标是：系统的参数变化时也能抑制极限环，系统 输出极限环小于0.001rad，系统非线性部分极限环幅值小于0.02，系统的响应时间小于 8s。图1.1是本发明飞行器倾斜角控制系统示意图。

具体实施中，飞行器倾斜角模型、控制方法和闭环控制系统的仿真和检验都借助于 Matlab7.0中的Simulink工具箱来实现。这里通过介绍一个具有一定代表性的实施方式， 来进一步说明本发明技术方案中的相关设计。

实施方式（一）通过设计具有鲁棒性的线性控制器，以实现飞行器倾斜角控制系统 极限环的抑制和倾斜角的快速稳定。

实施方式（一）

第一步：飞行器倾斜角模型分析与构建

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量是飞行器的倾斜角。由于飞行器倾斜角控 制系统存在输入饱和的现象，所以飞行器倾斜角控制系统存在输入饱和的非线性部分。所涉 及的飞行器倾斜角控制系统就包括线性控制器、饱和和飞机模型三部分，本发明飞行器倾斜 角控制系统示意图如图1.2所示。

飞行器倾斜角简化模型的传递函数如下：

$G\left(s\right)=\frac{k}{s(s+e_0)}$

其中，k和e₀具体的数值为k=11.4，e₀=1.4s^-1。

由于参数不确定性的存在，k和e₀的变化范围为k∈[10,12],e₀∈[1,4]。

第二步：非线性环节的描述函数及极限环振荡现象的分析

飞行器倾斜角控制系统中的非线性环节——饱和特性如图4所示，其中延迟S=1、增 益K=1；则非线性环节的描述函数为：

$N\left(A\right)=\frac{2A}{\pi }[\arcsin \frac{1}{A}+\frac{1}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{1}{A}\right)}^2}],(A\ge S)$

第三步：具有参数不确定性的飞行器倾斜角控制系统控制器的设计

由于设计具有参数不确定性的飞行器倾斜角系统控制器具有一定的连贯性，但是分析和 设计方法又较为复杂，所以本步骤分三个小步进行。

第一小步，求解系数区间多项式。

设线性控制器的传递函数为：

$G_c\left(s\right)=\frac{K_c}{K_A{s}^2+K_{B}s+1}$

其中，K_c为控制器的变化参数，变化范围为K_c∈[15,20]，K_A、K_B为控制器的可调参 数。

则系统的特征方程为：

$1+\frac{K_c}{K_A{s}^2+K_{B}s+1}·\frac{k}{s(s+e_0)}N(A,\omega )=0$

简化后可得：

$F(s,q,r)=q_0+q_{1}s+q_2{s}^2+q_3{s}^3+q_4{s}^4$

其中

$\left(\begin{array}{c}{q}_0={\mathrm{kK}}_{c}N(A,\omega )\\ q_1=e_0\\ q_2=e_0{K}_B+1\\ q_3=K_B+e_0{K}_A\\ q_4=K_A\end{array}\right)$

将k、e₀和K_c的变化范围代入，q_i(i=0,1,2,3,4)及其变化范围，如下表所示：

表1q_i(i＝0,1,2,3,4)及其变化范围

最终得到系数区间不等式：

$F(s,q,r)=\underset{l=0}{\overset{4}{\Sigma }}\left(\right[q_l^{-},q_l^{+}\left]\right)s^l=0$

第二小步，采用Kharitonov稳定理论整定参数。

由于非线性环节饱和特性中不含有虚部，根据式（13）～（20），可以将八个Kharitonov 顶点多项式简化为四个，如下所示：

$F_1\left(s\right)=q_0^{-}+q_1^{-}s+q_2^{+}{s}^2+q_3^{+}{s}^3+q_4^{-}{s}^4$

$F_2\left(s\right)=q_0^{+}+q_1^{+}s+q_2^{-}{s}^2+q_3^{-}{s}^3+q_4^{+}{s}^4$

$F_3\left(s\right)=q_0^{+}+q_1^{-}s+q_2^{-}{s}^2+q_3^{+}{s}^3+q_4^{+}{s}^4$

$F_4\left(s\right)=q_0^{-}+q_1^{+}s+q_2^{+}{s}^2+q_3^{-}{s}^3+q_4^{-}{s}^4$

第三小步，鲁棒稳定控制器设计。

首先给定非线性环节极限环振荡的幅值A=A_d=3。

然后，以第一个特征方程为例，将s=jω代入

$F_1\left(s\right)=q_0^{-}+q_1^{-}s+q_2^{+}{s}^2+q_3^{+}{s}^3+q_4^{-}{s}^4=0$

然后根据式（26）、（27），最终解得：

$K_A=\frac{C_1{D}_2-C_2{D}_1}{B_1{C}_2-B_2{C}_1}=\frac{[{-\omega }^2+k_1^{-}{K}_C^{-}N\left(A\right)]\left({-\omega }^3\right)+e_0^{-}{e}_0^{+}{\omega }^3}{{\left(e_0^u\right)}^2{\omega }^5+{\omega }^7}$

$K_B=\frac{B_1{D}_2-B_2{D}_1}{B_2{C}_1-B_1{C}_2}=\frac{e_0^{-}{\omega }^5+e_0^{+}{\omega }^3[{-\omega }^2+k_1^{-}{K}_C^{-}N\left(A\right)]}{{\left(e_0^u\right)}^2{\omega }^5+{\omega }^7}$

然后令ω∈[0,∞]在K_A-K_B平面内画出变化曲线。

同理，使用同样的方法画出跟F₂(s)、F₃(s)、F₄(s)在K_A-K_B平面内的曲线，如图5.1 黑色区域所示。四条曲线所形成的公共部分即为控制器参数选择的区域。

通过降低幅值A，可以进一步得到抑制效果更好的控制器参数选择区域，如图5.2所 示。

在该区域内部选择控制器参数K_A=0.0008、K_B=0.001。

第四步：跟踪性能检验

这一步将检验系统跟踪性能是否满足设计要求，见图1.1所示。借助于常用的数值 计算和控制系统仿真工具Matlab7.0进行。

系统输入期望角度阶跃信号r=0.52rad≈30°，设计控制器参数K_A=0.0008、 K_B=0.001。

当系统的参数确定时：k=11.4、e₀=1.4、K_C=20；系统的响应曲线如图6.1所示，系 统非线性环节极限环振荡如图6.2所示。

当系统的参数不确定时，即在参数变化的范围内随机取值：k=12、e₀=4、K_C=15； 系统的响应曲线如图6.3所示，系统非线性环节极限环振荡如图6.4所示。

当控制器参数未进行整定且模型系统参数确定时：k=11.4、e₀=1.4、K_C=20、 K_A=0.1、K_B=0.1；系统的响应曲线如图6.5所示，系统非线性环节极限环振荡如图6.6 所示。

根据仿真结果得到以下结论：首先，控制器能够抑制系统极限环的振荡；其次，即使系 统的参数变化时，控制器也能够达到预期的控制效果，也能够更快速更精准的跟踪输入信 号。

第四步：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为设计的简便性，参数不确定性、 响应的快速性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了具有参数不确定性的飞行器倾 斜角控制系统模型；第二步中介绍了非线性环节的描述函数以及飞行器倾斜角控制系统中存 在的极限环振荡现象；第三步中主要介绍了用Kharitonov理论选择控制器的参数，以达到抑 制极限环和克服参数不确定性的目的，分三个小步进行；经上述各步骤后，设计结束。