广义正交多项式动载荷识别的频域定阶方法

摘要

本发明公开了一种广义正交多项式动载荷识别的频域定阶方法。本发明方法首先根据广义正交多项式理论将载荷进行级数展开，选择Legendre多项式作为正交展开的基函数，把无限维的载荷化为有限维的问题来处理，从而得到频域定阶的分析模型。所谓频域定阶法，就是通过FFT，求出各阶基函数的频谱图，这些频谱图具有一定的规律，根据这一规律，仅需知道待识别载荷的最高频率，就可以确定拟合阶次。本方法所需的条件简单，仅需使用FFT得到待识别载荷的最高频率即可。方法简单易行，相较于传统方法更节约时间，具有很高精度且易于实现。运用此方法得到了合适的正交多项式阶次，在一定程度上避免了求解问题的病态，为后面正交多项式动载荷识别做了良好的铺垫。

说明书

技术领域

本发明涉及一种对广义正交多项式的阶次确定方法，特别是一种广义正交多项式动载荷识别的频域定阶方法。

背景技术

对动载荷的识别，一般是将分布动载荷在正交域上展开，建立系统时域响应与正交多项式系数之间的联系，通过求解系数来确定载荷。载荷利用正交多项式进行广义傅里叶级数展开时，展开的阶次为无穷次，但在数值计算过程中，无限逼近是不可能的也是不必要的，实际上，当拟合函数和被拟合函数之间的误差控制在一定的误差范围内时，就可以认为两者之间是逼近意义上的相等。合理的确定截断的阶次，可以提高计算效率和控制拟合精度。而且，在以后的研究中可以发现，也并非拟合阶次越高越好，在求解反问题的过程，当拟合阶次越大，求解的问题病态可能就越严重，因此，合理地确定拟合的阶次十分必要。

使用频域法定阶仅需知道待识别载荷的最高频率，即可根据基函数的主频率与阶次的线性关系，确定拟合阶次。方法简单，易于编程，方便用于实践，相较于传统方法更节约时间，具有很高精度且易于实现。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：

本发明运用频域法对正交多项式阶次进行确定。在动载荷识别过程中，用正交多项式拟合载荷，需要确定的是正交多项式的阶次以及对应的系数，阶次是用频域法确定的，再利用广义逆的知识确定多项式系数从而识别出分布动载荷，该方法能够有效节约时间且误差较小，适用于工程实际中分布动载荷的识别问题。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

一种广义正交多项式动载荷识别的频域定阶方法，其中，包括以下步骤：

建立频域定阶的分析模型；

根据FFT的知识，确定载荷的最高频率；

根据频域定阶方法，得出拟合载荷的阶次；

识别待求的动载荷。

优选地，建立频域定阶的分析模型步骤，其中：

在基于广义正交多项式动载荷识别过程中，需要用正交多项式拟合载荷，选择Legendre多项式作为正交展开的基函数，得到载荷的表示式如下：

其中f(t)是待识别的载荷，L_j(t)是第j阶Legendre多项式，a_j是对应的多项式系数，n_x是载荷的拟合阶数，是要用后面的频域定阶法确定的；

在给定正交区间，给定权函数时，对应的正交多项式是存在而且是唯一的；

假定区间在[0,l],权函数为1，则相应的Legendre多项式为：

在确定Legendre多项式的情况下，系数a_j由下式计算：

优选地，确定载荷的最高频率步骤，其中：

确定载荷的最高频率，根据FFT的知识，其模型为：

根据，离散傅里叶正变换和反变换采用相同的程序；

反变换中多了求共轭的步骤和乘以因子N；令W＝e^-j2π/N，取N＝4；

正变换写成矩阵形式

FFT主要是利用复指数的相关性质：

周期性：

对称性

再变动一下X₁，X₂的位置可得：

进行上述矩阵分解。

优选地，得出拟合载荷的阶次步骤，其中：

根据频域定阶方法，得出所述拟合载荷的阶次：

在得到载荷的最高频率后，根据各阶基函数频谱的规律，对多项式的阶次进行确定；

通过频域对广义傅里叶级数进行定阶：

判断被拟合的函数的最高频率；

对比Legendre多项式基函数频率内的主频率；

将主频率刚好大于被拟合函数最高频率的基函数作为截断。

优选地，识别待求的动载荷步骤，其中：

根据识别出的载荷阶次n_x，通过n_x个正交多项式相加，得到所述载荷；

求出所述载荷对应的n_x个系数一，进而识别出所述动载荷；

根据n_x个正交多项式得到响应位移；

求出所述响应位移其对应的n_x个系数二；

建立响应与载荷之间的关系；

根据广义逆的知识求出载荷的拟合系数。

优选地，确定载荷的最高频率步骤，其中还包括：

根据振动力学原理，所述载荷的频率通过响应的频率得到；

通过要求所述响应频率的最高值，得到要求所述载荷的最高频率，该最高频率为非零频率；

所述响应的时间历程通过传感器获得；

通过FFT对所述响应的时间历程做傅里叶变换；

根据频域法确定频域组成，通过确定最高频率组成，作为进行多项式阶次确定的先决条件。

优选地，确定拟合载荷的阶次步骤还包括：

根据FFT对所述Legendre多项式进行傅里叶变换，得到各阶Legendre多项式的频谱函数；

根据所述频谱函数规律，得到多项式的阶数与频谱函数峰值频率的线性关系式；

根据所述线性关系式，确定待识别载荷的多项式阶次；

根据Legendre多项式拟合的结果，得到载荷；

根据各阶的基函数的频谱组成，得到载荷的频率分布；

在载荷的最高频率已知的情况下，与各阶基函数的峰值频率比较；

确定稍大于载荷的最高频率的峰值频率；

其对应的基函数阶次确定为合适的拟合阶次

优选地，识别待求的动载荷，还包括：

根据单自由度系统，该加速度响应已知的情况下，响应与激励可以用相同阶次的正交多项式拟合；

加速度响应系数而位移响应和速度响应的系数d_i，b_i,与加速度的系数存在以下关系：

带入到单自由度系统微分方程中可得：

由于向量{c}已知，可以求得载荷系数{a}，从而识别出所述识别待求的动载荷。

有益效果：

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

本发明提出的广义正交多项式动载荷识别的频域定阶方法仅需知道待识别载荷的最高频率，即可根据基函数的主频率与阶次的线性关系，确定拟合阶次。方法简单，易于编程，方便用于实践，相较于传统方法更节约时间，具有很高精度且易于实现。

附图说明

图1是本发明方法的总体技术方案流程；

图2Legendre多项式主频率与阶次的关系曲线；

图3利用频域定阶的拟合误差与利用理想阶数的拟合误差；

图4阶数为39，拟合曲线与理论曲线对比；

图5阶数为43，拟合曲线与理论曲线对比；

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案进行清楚、完整地描述，及优点更加清楚明白，以下结合附图对本发明实施例进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例，仅仅用以解释本发明实施例，并不用于限定本发明实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

出于简明和说明的目的，实施例的原理主要通过参考例子来描述。在以下描述中，很多具体细节被提出用以提供对实施例的彻底理解。然而明显的是。对于本领域普通技术人员，这些实施例在实践中可以不限于这些具体细节。在一些实例中，没有详细地描述公知方法和结构，以避免无必要地使这些实施例变得难以理解。另外，所有实施例可以互相结合使用。

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

广义正交多项式理论将线性动力学系统输入输出时域卷积关系变换到广义正交域的线性算子。数值仿真及试验考核表明该方法适用于各种类型的确定性动载荷识别问题,具有良好的识别精度和抗噪声干扰能力,尤其对于短样本冲击载荷的识别更具有独特的优势。但广义正交多项式阶次为无穷次，需要选择合适的阶次对其进行截断。使用频域法仅需知道待识别载荷的最高频率,方法简单,且相较于传统方法更节约时间，具有很高精度且易于实现。

本发明方法首先根据广义正交多项式理论将载荷用Legendre多项式表示，从而得到频域定阶的分析模型，然后根据载荷的频率组成，确定应该要拟合的多项式的最高阶次。具体实施步骤如下：

1建立频域定阶的分析模型：

在基于广义正交多项式动载荷识别过程中，需要用正交多项式拟合载荷。选择Legendre多项式作为正交展开的基函数，得到载荷的表示式如下：

其中f(t)是待识别的载荷，L_j(t)是第j阶Legendre多项式，a_j是对应的多项式系数，n_x是载荷的拟合阶数，是要用后面的频域定阶法确定的。

在给定正交区间，给定权函数时，对应的正交多项式是存在而且是唯一的。假定区间在[0,l],权函数为1。则相应的Legendre多项式为：

在确定Legendre多项式的情况下，系数a_j由下式计算：

2利用FFT的知识，确定载荷的最高频率。

FFT的基础是DFT(离散傅里叶变换)，可写为：

易知，离散傅里叶正变换和反变换可以采用相同的程序，只是在反变换中多了求共轭的步骤和乘以因子N。令W＝e^-j2π/N,为说明问题取N＝4。正变换写成矩阵形式

FFT(快速傅里叶变换)主要是利用复指数的相关性质：(1)周期性：对称性再变动一下X₁，X₂的位置可得

做了上述矩阵分解后，运算时间得到了缩短。可以有效提高计算效率。

3根据频域定阶方法，得出拟合载荷的阶次：

运用FFT的相关知识，可以很容易的各阶Legendre多项式的频谱函数，这些频谱函数都有着相关的规律。每阶多项式的频谱函数的峰值是不同的，而且阶数越大，它们对应的峰值频率也就越大。经过研究可以知道，阶数与峰值频率是呈线性关系的，这为确定待识别载荷的多项式阶次提供了很好的便利。

由振动力学的相关知识可以知道，载荷的频率由响应的频率所体现。要求载荷的最高非零频率，只需要求响应的最高频率即可。在得到载荷的最高频率后，与各阶基函数的峰值频率比较，确定稍大于载荷的最高频率的峰值频率，其对应的基函数阶次就可以作为合适的拟合阶次。

4识别待求的动载荷

由识别出的载荷阶次n_x,可以把载荷表示为n_x个正交多项式相加的形式，只要求出对应的n_x个系数，就能识别出动载荷。同样的，响应的位移也可以用n_x个正交多项式表示，只是系数不同。写成矩阵形式，建立响应与载荷之间的关系，由广义逆的知识可以求出载荷的拟合系数。

以单自由度系统为例，加速度响应已知的情况下，响应与激励可以用相同阶次的正交多项式拟合。

加速度响应系数而位移响应和速度响应的系数d_i，b_i,与加速度的系数存在一定的关系。

带入到单自由度系统微分方程中可得：

由于向量{c}已知，可以求得载荷系数{a}，从而识别出载荷。

总体技术方案流程如图2所示。

为了验证所提出的方法的有效性，引入了一维Legendre模型，运用仿真技术模拟了具有简谐激励特征和普通函数特征的多项式阶次的确定情况。仿真结果表明：该方法能够有效应用于多项式阶次的识别，效果很好。

算例一：被拟合函数为正弦函数f(t)＝sin(2π×f×t)，t的作用区间为[0,1]。

当f＝10，易知第33阶基函数的主频率刚好大于10，利用频域定阶的拟合误差在1.8％，当阶数为39时，拟合误差几乎为0，此时，就认为39阶即是该拟合函数的理想阶数。它们的拟合误差如图4所示。

算例二：被拟合函数为普通函数t的作用区间为[0,3]。

从函数的频谱图上看出，该函数的频谱是一个多频率值，幅值为非0的最大频率为4.322，在作用区间[0,3]上，频率大于4.322的Legendre多项式阶次为39阶，根据以上的分析，将阶次增加10％，即增加到43阶。经计算，当拟合阶数为39时，拟合误差为3.29312E-5，已经很小；当拟合阶数增加到43时，拟合误差为1.57198E-8，甚为理想。拟合误差如图5所示。

本技术领域技术人员可以理解，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

本技术领域技术人员可以理解的是，本发明可以涉及用于执行本申请中所述操作中的一项或多项操作的设备。所述设备可以为所需的目的而专门设计和制造，或者也可以包括通用计算机中的已知设备，所述通用计算机有存储在其内的程序选择性地激活或重构。这样的计算机程序可以被存储在设备(例如，计算机)可读介质中或者存储在适于存储电子指令并分别耦联到总线的任何类型的介质中，所述计算机可读介质包括但不限于任何类型的盘(包括软盘、硬盘、光盘、CD-ROM、和磁光盘)、随机存储器(RAM)、只读存储器(ROM)、电可编程ROM、电可擦ROM(EPROM)、电可擦除可编程ROM(EEPROM)、闪存、磁性卡片或光线卡片。可读介质包括用于以由设备(例如，计算机)可读的形式存储或传输信息的任何机构。例如，可读介质包括随机存储器(RAM)、只读存储器(ROM)、磁盘存储介质、光学存储介质、闪存装置、以电的、光的、声的或其他的形式传播的信号(例如载波、红外信号、数字信号)等。

本技术领域技术人员可以理解的是，可以用计算机程序指令来实现这些结构图和/或框图和/或流图中的每个框以及这些结构图和/或框图和/或流图中的框的组合。可以将这些计算机程序指令提供给通用计算机、专业计算机或其他可编程数据处理方法的处理器来生成机器，从而通过计算机或其他可编程数据处理方法的处理器来执行的指令创建了用于实现结构图和/或框图和/或流图的框或多个框中指定的方法。

本技术领域技术人员可以理解的是，本发明中已经讨论过的各种操作、方法、流程中的步骤、措施、方案可以被交替、更改、组合或删除。进一步地，具有本发明中已经讨论过的各种操作、方法、流程中的其他步骤、措施、方案也可以被交替、更改、重排、分解、组合或删除。进一步地，现有技术中的具有与本发明中公开的各种操作、方法、流程中的步骤、措施、方案也可以被交替、更改、重排、分解、组合或删除。

以上实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员能够理解本发明，但是本发明不仅限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员而言，只要各种变化只要在所附的权利要求限定和确定的本发明精神和范围内，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。