Contributions à l'étude statistique de la dépendance spatiale dans les champs à longue mémoire sur un réseau, les processus ponctuels et la géométrie aléatoire.

摘要

Ce travail d'habilitation porte sur deux thématiques de recherche : la longue mémoire dans les champs aléatoires et les processus ponctuels en interaction. Ces deux domaines ont pour point commun l'étude de la dépendance dans des processus spatiaux. Le premier concerne la forte dépendance dans des processus aléatoires portés par un réseau (comme des séries temporelles ou des images), le second s'intéresse à la dépendance dans la position de points dans l'espace, éventuellement au travers de marques associées, ce qui concerne notamment des objets géométriques en interaction. Ma contribution porte plus spécifiquement sur l'étude de certaines classes de modèles, et sur l'obtention de résultats asymptotiques qui valident ou motivent certaines procédures statistiques.La première partie est consacrée à la longue mémoire. Des modèles de champs à longue mémoire sont tout d'abord présentés. Ils témoignent de la spécificité des champs par rapport aux séries temporelles : la longue mémoire peut émerger de façon isotrope mais aussi anisotrope (par exemple dans une seule direction). Le comportement asymptotique de certaines statistiques en présence de longue mémoire est ensuite étudié. Il s'agit des sommes partielles, du processus empirique, de certaines formes quadratiques. Ces objets sont au coeur de nombreuses procédures statistiques et leur étude est fondamentale. Quelques tests statistiques en présence de longue mémoire sont enfin présentées. Il s'agit de tester la présence de longue mémoire dans des séries temporelles ou des champs aléatoires, ou encore la persistance de cette dernière au cours du temps. La seconde partie traite des processus ponctuels en lien avec la géométrie aléatoire. Les processus ponctuels en interaction peuvent se modéliser de différentes manières. La plus naturelle est sans doute au travers d'un potentiel qui explicite l'interaction précise entre points voisins, conduisant à la classe des modèles de Gibbs. Ce point de vue permet de construire des structures géométriques en interaction, comme des mosaïques de Voronoï dont les cellules interagissent au travers d'un Hamiltonien. Différents modèles de ce type sont présentés. Des méthodes d'inférence pour les processus de Gibbs sont ensuite abordées, principalement au travers de leurs propriétés asymptotiques. La méthode par pseudo-vraisemblance est ainsi étendue au cas d'interactions non-héréditaires, courantes en géométrie aléatoire. La méthode de Takacs-Fiksel est par ailleurs étudiée en détail. Enfin une étude fine des propriétés des résidus d'un processus de Gibbs nous permet de proposer des tests d'adéquations, ce qui est inédit dans ce contexte.