Stabilita ed aspetti computazionali nella teoriadella taglia multidimensionale

摘要

Il confronto tra forme e uno dei problemi centrali in Computer Vision ed in Pattern Recognition. Recentemente si e sviluppato un interesse crescente attorno a queste tematiche, e molti sforzi sono stati fatti per sviluppare modelli matematici adatti a questo genere di applicazioni. In un tale contesto, la Teoria della Taglia fu proposta negli anni '90 come approccio di carattere geometrico/topologico al problema del ri-conoscimento tra forme. L'idea di base e quella di ricondurre it confronto tra due oggetti appartenenti ad un database, (ad esempio, modelli 3D, immagini o suoni) a quello tra due opportuni spazi topologici M e N (di Hausdorff, non vuoti, compatti e localmente connessi), dotati di due funzioni continue φ:M→R~k, ψ : N→ R~k, selezionate conformemente all'applicazione in esame. Tali funzioni sono chiamate funzioni misuranti, e possono essere viste come i descrittori delle proprieta ritenute determinanti per it confronto. Le coppie del tipo (M , φ), (N, ψ) sono dette coppie di taglia e sono quindi una rappresentazione delle forme considerate, rispetto alle proprieta espresse dalle funzioni misuranti: in Teoria della Taglia, tali coppie possono essere studiate per mezzo delle funzioni di taglia, descrittori che permettono di rappresentare quantitativamente le caratteristiche qualitative di una forma (si veda [1, 2]).L'idea e associare ad ogni coppia di taglia (M, φ) una funzione l(M,φ) che descriva i cambiamenti topologici del sottolivello M(φ?üt) ={P∈M : φ_i(P) ?üt_i,i = 1,...,k} al variare di t =(t_1,...,t_k)∈R~k: DEFINIZIONE 1. - Sia (M, φ) una coppia di taglia. La funzione di taglia associata a (M, φ) e la funzione e_(M,φ):{(x,y)∈R~k≤R~k :x_i < y_i, i = 1, .. , k} N definita ponendo e_(M,φ){(x,y) uguale al numero di componenti connesse del sotto- livello M(φ ≤y) che contengono almeno un punto di M(φ ≤y).