UN THEOREME DE LA LIMITE CENTRALEPOUR LES ENSEMBLES CONVEXES[d'apres Klartag et Fleury-Guedon-Paouris]

摘要

A l'interface de la theorie locale des espaces de Banach et de la theorie de Brunn-Minkowski-Lusternik, la geometrie asymptotique des convexes etudie les proprietes metriques ou volumiques des corps convexes (i.e. les sous-ensembles convexes, com-pacts de R~n dont l'interieur n'est pas vide) en grande dimension n en cherchant les bonnes dependances dimensionnelles. Le resultat fondateur de ce domain est certai-nement le theoreme de Dvoretzky, revisite par Milman [32, 33] qui assure que, pour tout corps convexe K C R~n, symetrique par rapport a l'origine, it existe un sous-espace vectoriel F de dimension au moins c(ε) log n tel que l'intersection K ∩ F soit euclidienne a ε pres, au sens suivant : il existe un ellipsolde ζ C F tel que (1-ε)ζ?K∩F?(1 + ε)ζ . Par dualite it existe aussi des projections de K de dimension au moins c(ε) log n qui sont presque euclidiennes. Ce resultat structurel est un exemple des phenomenes de grande dimension, qui vont souvent al'encontre de notre intuition spatiale.