ユークリッド幾何を見直す：第4回 双曲幾何ガウスからポアンカレへ－合同変換から裏返しの奥義と直線の定義

摘要

古代ギリシャの数学者を悩ませた根本的な問題の1つが，「いったい直線とは何か？ 」だったと思われる。 ユークリッドは直線の定義として「点が一様に乗っている線」としている。 そんな当たり前のようなことを持って回って悠長に議論する暇などないというのが日本の現実かもしれない。 大方の人にはやむを得ないのかもしれない。 しかし，根本的というか基礎を根本から見直すことによって新しい展望が開かれた事例をここで見ることにしよう。 前回は虚数iによって手品のごとく双曲幾何のピタゴラスの定理を得たのだが，実際には多くの人の手による紆余曲折を経て到達した定理だった。 それは，直線に対するこの問いがきっかけになって平行線に関する永久問題が解決されて，整然とした双曲幾何ができあがる物語でもあった。