Von einer Extremwertaufgabe zur Inversion am Kreis

摘要

In den folgenden Ausführungen soll an einem Beispiel dargestellt werden, wie man mit Schülern oder Studenten Mathematik - ausgehend von einem konkreten Problem - entwickeln kann: es werden zu seiner L?sungrn1. bekannte Strategien angewandt,rn2. (L?sungs-)Algorithmen aus verschiedenen Gebieten der Schulmathematik geübt,rn3. bei Bedarf ein Wechsel der Sichtweise vorgenommen,rn4. neue Begriffe und Techniken ?entdeckt".rnDas alles ereignet sich bei dem Versuch, die unverstandene L?sung eines Problems verstehen zu lernen.rnDas gew?hlte Problem ist im Sinne von Courant und Robbins [3] ein geometrisches Extremwertproblem. Weil die Frage nach etwas ?Bestm?glichem" viele Studierende anregt und zugleich als eine typisch mathematische Fragehaltung gelten kann, haben wir uns für zwei Extremwertprobleme entschieden. Da es um einführendes Material für das Selberlernen mit einiger Mu?e geht, wollten wir nichts Exotisches erfinden. Uns ging es um besonders ergiebige Probleme, die für Anf?nger befriedigend abschlie?bar sind, aber den unvermeidlichen Lernaufwand mit nachhaltig wirksamen Aus- und Durchblicken belohnen. Ein Priorit?tsrecht für die Aufgabenstellung oder für irgendwelche L?sungsteile strebten wir nicht an.rnIn der Tat w?hlen wir als erstes Beispiel eine Umkleidung der Eingeweihten natürlich bekannten Kirchturmaufgabe von Regiomontanus. Wir stellen uns vor, dass Lehrende an so einem - Laien zun?chst verblüffenden, dann aber erstaunlich klaren und doch beziehungsreichen - Musterbeispiel gut einsehen k?nnen, dass sich das ernsthafte Studium einen nur scheinbar singul?ren Beispiels lohnen kann undrnwelche Vorgehensweisen in den st?rker mit Eigenarbeit durchsetzten Phasen des zweiten Problemkreises erwartet werden. Nach Fertigstellung unserer Ausarbeitungen fanden wir dieses zweite Problem auch schon anderswo, n?mlich als eine der berühmten übungsaufgaben von Coxeter [2]. Wir begrü?en das als durchaus erfreuliche Best?tigung unserer Wahl.