Stochastic Hopf Bifurcation Of quasi-integrable Hamiltonian Systems With time-delayed Feedback Control

摘要

W pracy zajęto się problemem stochastycznej bifurkacji Hopfa ąuasi-całkowalnych układów Hamiltonowskich o wielu stopniach swobody poddanych wymuszeniu białym szumem z układem sterowania opartym na pętli sprzężenia zwrotnego z opóźnieniem. Najpierw znaleziono przybliżone wyrażenia na siły sterujące w funkcji zmiennych stanu układu bez opóźnienia, a następnie przetransformowano go postaci quasi-calkowalnej, Hamiltonowskiej. Wyprowadzono stochastyczne równania różniczkowe Itó za pomocą metody uśredniania układów ąuasi-całkowalnych. Znaleziono przybliżoną postać wyrażenia na parametr bifurkacyjny uśrednionego układu i zaproponowano kryterium stwierdzające obecność stochastycznej bifurkacji Hopfa wywołanej siłami sterującymi z opóźnieniem na podstawie wartości zmiany tego parametru. Opracowano szczegółowo przykład do ilustracji działania tego kryterium i zakresu jego stosowalności oraz do prezentacji wpływu opóźnienia w pętli sterownia na stochastyczną bifurkację Hopfa badanego układu.%The stochastic Hopf bifurcation of multi-degree-of-freedom (MDOF) quasi-integrable Hamiltonian systems with time-delayed feedback control subject to Gaussian white noise excitations is studied. First, the time-delayed feedback control forces are approximately expressed in terms of the system state variables without time delay, and the system is converted into anor-dinary quasi-integrable Hamiltonian system. The averaged Ito stochastic differential equations are derived by using the stochastic averaging method for quasi-integrable Hamiltonian systems. Then, an expression for the average bifurcation parameter of the averaged system is obtained approximately, and a criterion for determining the stochastic Hopf bifurcation caused by the time-delayed feedback control forces in the original system as the value of the average bifurcation parameter changing is proposed. An example is worked out in detail to illustrate the above criterion and its validity, and to show the effect of the time delay in the feedback control on the stochastic Hopf bifurcation of the system.