色空間の曲率に関する考察とその応用

摘要

色空間がRiemann空間であるということが知られている．Riemann幾何学を利用することで，色空間にRiemann正規座標系と呼ばれる原点からの測地線と等距離線で構成された極座標系を構築できる．これにより，等明度平面上で色相と彩度で表現されるマンセル表色系の拡張系を得ることが可能となる．しかし，空間内の曲率の備によって構築時に測地線の交差が問題となることがある．曲率とは空間の曲がり具合を表したものでその符号によって測地線の振る舞いが決まる．現在，色空間におけるRiemann幾何学は測地線や計量については十分な検討がなされているが，曲率については十分な考察がなされていない．そこで本論文では，Riemann幾何学の性質の中でも曲率に着目し，Riemann正規座標系は負曲率の色空間でしか存在しないことを示す．また，CIELAB色空間とCIELUV色空間において，2組の色弁別楕円データとそのデータから計算された曲率の性質から，曲率と測地線の振る舞いの関係を示し，正曲率問題に対する解決策について考察する．%It is known that a color space is a Riemann space rather than a Euclidena space. For such a color space, one can still construct a generalized polar coordinates in the color space using Riemann geometry. This so-called Riemann normal coordinate system is consisted of geodesies and equa-geodesic-distance lines and provide us a generalization of the Munsell coordinates. In this paper we show that the curvature of a color space is an essentially invariant of color spaces which play an important role in construction of the Riemann normal coordinates. In particular, only for color spaces with negative curvature everywhere it is possible to build a global Riemann normal coordinates with geodesies. We calculate the curvatures in CIELUV and CIELAB and show possitive curvature is the reason for intersection of geodesies. A multipatch algorithm is proposed also to build a Riemann normal coordinates in a color space with possitive curvature.