高次元の判別分析におけるd一致性について

摘要

近年、マイクロアレイ解析などの分野で、データの次元数dが標本数より遥かに大きい高次元小標本データが解析対象になる場面が増えている。本発表では、2群の判別分析において、dが無限大に行く時の漸近的な性質を考察する（d-asymptotics）。どのような条件の下うまく判別出来るのか又は出来ないのかを調べることは重要である。2つの分布が正規分布で、かつその分散共分散行列が等しいという条件の下では多くの結果が知られているが、分散共分散行列が異なる場合は、解析が困難になる為、まだ良く分かっていない。最近、Aoshima and Yata（2011）は分散共分散行列が等しいという条件を仮定することなく、分布に関するある条件の下、dの増加に伴い誤判別率が0に収束する（d一致性）ような判別関数を提案している。本研究では、分散共分散行列が等しくないという状況において、ある条件の下では、どのような判別関数を用いてもd一致性は成り立たないという否定的結果を得たのでそれを報告する。%Recently, in many fields such as microarray analysis, we need to analyze high-dimensional data with small sample sizes. In this paper, we consider discriminant analysis for two classes with high-dimensional data. It is important to know when a good discrimination is possible or impossible. There exists much previous work when the two distributions are normal and the two variance-covariance matrices are equal. However, from some difficulties of analysis, there exists little work when the two variance-covariance matrices are different. Recently, Aoshima and Yata (2011) proposed a discriminant function such that the misclassification rate converges to zero as the dimension of the data tends to infinity (d-consistency) under a condition without assuming that the two variance-covariance matrices are equal. In this paper, we show that d-consistency is not satisfied for any discriminant function under a condition with assuming that the two variance-covariance matrices are different.