Empirical tests of performance of some M - estimators

摘要

W artykule przedstawiono empiryczne porównanie trzech dobrze znanych M - estymatorów (Huber'a, Tukey'a oraz Hampel'a) jak również kilku nowych. Nowe estymatory motywowane były funkcjami wagowymi wykorzystywanymi w teorii wielomianów ortogonalnych, estymacji jądrowej oraz jeden motywowany przez funkcję gęstości „półokręgu" Wigner'a. Każdy z estymatorów został użyty do wykrywania obserwacji odstających w skażonych zbiorach danych. Obliczenia wykonano za pomocą „reważonej" metody najmniejszych kwadratów. Ze względu na fakt, iż wariancja resztowa (używana w konstrukcji macierzy kowariancyjnych) nie jest odpornym estymatorem skali, w testach wykorzystano również odporne miary takie jak: rozstęp ćwiartkowy oraz znormalizowane odchylenie medianowe. Testy wykonano na prostej sieci niwelacyjnej w dużej ilości wariantów ukazujących dobre i złe strony M - estymacji. Nowe estymatory zostały wyposażone w teoretyczne stałe odcinania zapewniające 95% efektywność względem standaryzowanego rozkładu normalnego. Kwestia rozwijania metod bazujących na stałych odcinania pochodzących z danych została również pokrótce poruszona.%The paper presents an empirical comparison of performance of three well known M - estimators (i.e. Huber, Tukey and Hampel's M - estimators) and also some new ones. The new M - estimators were motivated by weighting functions applied in orthogonal polynomials theory, kernel density estimation as well as one derived from Wigner semicircle probability distribution. M - estimators were used to detect outlying observations in contaminated datasets. Calculations were performed using iteratively reweighted least-squares (IRLS). Since the residual variance (used in covariance matrices construction) is not a robust measure of scale the tests employed also robust measures i.e. interquartile range and normalized median absolute deviation. The methods were tested on a simple leveling network in a large number of variants showing bad and good sides of M - estimation. The new M - estimators have been equipped with theoretical tuning constants to obtain 95% efficiency with respect to the standard normal distribution. The need for data - dependent tuning constants rather than those established theoretically is also pointed out.