Analysis of Structured Low Rank Approximation as an Optimization Problem

摘要

Taip vadinama struktūrinė žemo rango aproksimacija nagrinėjama kaip optimizacijos uždavinys vektorių arba matricų aibėje. Trumpai šį uždavinį galima suformuluoti šitaip. Duota pradinė specialios formos matrica (pavyzdžiui, Hankelio), ir reikia rasti ją aproksimuojančią panašiai apibrėžtą žemo rango matricą. Parodyta, kad šis uždavinys yra sunkus daugiaekstremalus uždavinys. Parodyta, kad tradiciniai metodai šiam uždaviniui netgi nekonverguoja. Nagrinėjami įvairūs metodai šiam uždaviniui spręsti.%In this paper, we consider the so-called structured low rank approximation (SLRA) problem as a problem of optimization on the set of either matrices or vectors. Briefly, SLRA is denned as follows. Given an initial matrix with a certain structure (for example, Hankel), the aim is to find a matrix of specified lower rank that approximates this initial matrix, whilst maintaining the initial structure. We demonstrate that the optimization problem arising is typically very difficu in particular, the objective function is multiextremal even in simple cases. We also look at different methods of solving the SLRA problem. We show that some traditional methods do not even converge to a locally optimal matrix.