The one-dimensional hydrogen atom revisited

摘要

The one-dimensional Schrödinger hydrogen atom is an interesting mathematical and physical problem for the study of bound states, eigenfunctions, and quantum-degeneracy issues. This one-dimensional physical system has given rise to some intriguing controversy for more than four decades. Presently, still no definite consensus seems to have been reached. We reanalyzed this apparently controversial problem, approaching it from a Fourier-transform representation method combined with some fundamental (basic) ideas found in self-adjoint extensions of symmetric operators. In disagreement with some previous claims, we found that the complete Balmer energy spectrum is obtained together with an odd-parity set of eigenfunctions. Closed-form solutions in both coordinate and momentum spaces were obtained. No twofold degeneracy was observed as predicted by the degeneracy theorem in one dimension, though it does not necessarily have to hold for potentials with singularities. No ground state with infinite energy exists since the corresponding eigenfunction does not satisfy the Schrödinger equation at the origin.PACS Nos.: 03.65.Ge, 03.65.-wL'équation de Schrödinger de l'atome d'hydrogène à une dimension représente un problème mathématique et physique qui permet d'étudier le spectre des états liés de l'électron avec les fonctions d'ondes et les problèmes de dégénérescence quantique associés. Ce système à une dimension a provoqué durant plus de quatre décennies une controverse intrigante à tel point qu'aucun consensus défini ne semble avoir été atteint. Nous avons revisité ce problème apparemment controversé au moyen d'une méthode utilisant une représentation basée sur la transformation de Fourier et combinant la technique avec quelques idées fondamentales (essentielles) qui se trouvent dans l'extension self-ajointe des opérateurs symétriques. En désaccord avec des affirmations précédentes nous avons obtenu le spectre d'énergies complet de Balmer accompagné cependant d'un ensemble de fonctions d'ondes de parité impair. Nous avons obtenu les solutions analytiques dans l'espace de coordonnées spatiales et de l'impulsion. On n'a observé aucune dégénérescence double comme celle prévue par le théorème de dégénérescence à une dimension, bien que cela ne doive pas nécessairement être satisfait pour des potentiels avec des singularités. Aucun état fondamental avec une énergie infinie n'existe puisque la fonction d'onde correspondante ne satisfait pas l'équation de Schrödinger à l'origine.