The parabolic Anderson model in a dynamic random environment: Basic properties of the quenched Lyapunov exponent

摘要

In this paper we study the parabolic Anderson equation ∂u(x, t)/∂t = kΔu(x,t) + ξ(x, t)u(x, t), x∈ Z~d, t≥0, where the u-field and the ξ-field are R-valued, k ∈|0, ∞) is the diffusion constant, and A is the discrete Laplacian. The ξ-field plays the role of a dynamic random environment that drives the equation. The initial condition u(x,0) = u_0(x), x ∈Z~d, is taken to be non-negative and bounded. The solution of the parabolic Anderson equation describes the evolution of a field of particles performing independent simple random walks with binary branching: particles jump at rate 2dk, split into two at rate ξ ∨ 0. and die at rate (-ξ) v 0. Our goal is to prove a number of basic properties of the solution u under assumptions on ξ that are as weak as possible. These properties will serve as a jump board for later refinements. Throughout the paper we assume that ξ is stationary and ergodic under translations in space and time, is not constant and satisfies E(|ξ(0,0)|)＜∞, where E denotes expectation w.r.t. ξ. Under a mild assumption on the tails of the distribution of ξ, we show that the solution to the parabolic Anderson equation exists and is unique for all k ∈ [0,∞). Our main object of interest is the quenched Lyapunov exponent λ_0(k) = lim_(t→∞) 1/t log u(0,t). It was shown in Gaertner, den Hollander and Maillard (In Probability in Complex Physical Systems. In Honour of Erwin Bolthausen and Juergen Gartner (2012) 159-193 Springer) that this exponent exists and is constant ξ-a.s., satisfies λ_0(0) = E(ξ(0,0)) and λ_0(k)＞E(ξ(0, 0)) for k∈(0,∞), and is such that k → λ_0(k) is globally Lipschitz on (0,∞) outside any neighborhood of 0 where it is finite. Under certain weak space-time mixing assumptions on ξ, we show the following properties: (1) λ_0(k) does not depend on the initial condition u_0; (2) λ_0(k)＜∞ for all k∈|0,∞); (3) k→λ_0(k) is continuous on [0, ∞) but not Lipschitz at 0. We further conjecture: (4) lim_(k→∞)|λ_p(k)-λ_0(k)|=0 tor all p ∈ N, where λ_p(k) = lim_(t→∞) log E([u(0, t)]~p) is the pth annealed Lyapunov exponent. (In (In Probability in Complex Physical Systems. In Honour of Erwin Bolthausen and Juergen Gaertner (2012) 159-193 Springer) properties (1), (2) and (4) were not addressed, while property (3) was shown under much more restrictive assumptions on ξ.) Finally, we prove that our weak space-time mixing conditions on ξ are satisfied for several classes of interacting particle systems.%Dans cet article on étudie l'équation parabolique d'Anderson ∂u(x, t)/∂t = kΔu(x, t) +ξ(x,t)u(x,t), x ∈Z~d, t≥0, où les champs u et ξ sont à valeurs dans R, k ∈ [0, ∞) est la constante de diffusion, et A est le laplacien discret. Le champ ξ joue le rôle d'environnement aléatoire dynamique et dirige l'équation. La condition initiale u(x, 0) = u_0(x), x ∈Z~d. est choisie positive et bornée. La solution de l'équation parabolique d'Anderson décrit l'évolution d'un champ de particules effectuant des marches aléatoires simples avec un branchement binaire : les particules sautent au taux 2dk, se divisent en deux au taux ξ v 0, et meurent au taux (-£ )∨0. Notre but est de prouver un certain nombre de propriétés basiques de la solution u sous des conditions sur ξ qui sont aussi faibles que possible. Ces propriétés vont servir d'impulsion pour de futur améliorations. Tout au long de cet article nous supposons que ξ est stationnaire et ergodique sous les translations en espace et en temps, n'est pas constant et satisfait E(|ξ(0,0)|) ＜∞, où E représente l'espérance par rapport à Sous une hypothèse très faible sur les queues de la distribution de ξ, nous montrons que la solution de l'équation parabolique d'Anderson existe et est unique pour tout k ∈[0, ∞). Notre principal objet d'intérêt est l'exposant de Lyapunov quenched λ_0(k) = lim_(t→∞) l/t log u(0,t). Il a été prouvé dans Gaertner, den Hollander et Maillard (In Probability in Complex Physical Systems. In Honour of Erwin Bolthausen and Juergen Gaertner (2012) 159-193 Springer) que cet exposant existe et est constant ξ-a.s., satisfait λ_0(0) = E(ξ(0.0)) et λ_0(k) ＞ E(ξ(0,0)) pour k ∈(0, ∞), et est tel que k → λ_0(k) est globalement lipschitzienne sur (0.∞) à l'extérieur de n'importe quel voisinage de 0 où il est fini. Sous certaines conditions faibles de mélange en espace-temps sur ξ, nous montrons les propriétés suivantes : (1) λ_0(k) ne dépend pas de la condition initiale u_0: (2) λ_0(k) ＜∞ pour tout k∈|0.∞): (3) k →λ_0(k) est continue sur |0, ∞) mais pas lipschitzienne en 0. Nous conjecturons en outre : (4) lim_(k→∞)｜λ_p(k)-λ_0(k｜)=0 pour tout p ∈ N, où λ_p(k) = lim_(t→∞) l/(pt) log E(|u(0,t)|~p) est le p-ième exposant de Lyapimov annealed. (Dans (In Probability in Complex Physical Systems. In Honour of Erwin Bolthausen and Juergen Gaertner (2012) 159-193 Springer) les propriétés (1). (2) et (4) n'ont pas été abordées, tandis que la propriété (3) a été prouvée sous des hypothèses beaucoup plus restrictives sur ξ.) Finalement, nous prouvons que nos conditions faibles de mélange en espace-temps sur ξ sont satisfaites par plusieurs systèmes de particules en interaction.