巧用点的坐标差，妙解解析几何题

摘要

@@　　点的坐标差在解决直线与圆锥曲线的问题中有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，谈谈点的坐标差在解析几何解题中的应用.rn1　求弦的中点的轨迹方程rn1.1　平行弦的中点轨迹rn　　例1　已知椭圆x2+(y2)/(4)=1和直线y=2x+m恒有两个不同的交点，求两交点连线段的中点轨迹方程.rn　　解　设直线y=2x+m与椭圆x2+(y2)/(4)=1的两交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2)，则rnx21+(y21)/(4)=1,rn(1)rnx22+(y22)/(4)=1,rn(2)rn(2)-(1)得rn(x22-x21)+(y22-y21)/(4)=0rn即(y2-y1)/(x2-x1)=-(4(x2+x1))/(y2+y1),rn设MN中点P(x,y)，则x1+x2=2x,y1+y2=2y,rn又rn(y2-y1)/(x2-x1)=2,rnrn　　∴rn2=-4*(2x)/(2y),rnrn　　∴　2x+y=0为所求轨迹方程(轨迹为已知椭圆内部分).rn1.2　过定点的弦的中点轨迹rn　　例2　直线l:ax-y-(a+5)=0(a是参数)与物抛线f:y=(x+1)2的相交弦是AB，则弦AB的中点的轨迹方程是.rn(第十届“希望杯”邀请赛高二第2试试题)rnrn　　解　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x,y)，则x1+x2=2x,rn　　l:a(x-1)-(y+5)=0,rn　　∴　l过定点N(1,-5),rn　　∴rnkAB=kMN=(y+5)/(x-1),rn又y1=(x1+1)2,rn(1)rny2=(x2+1)2,rn(2)rn(2)-(1)得rn　　y2-y1=(x2+1)2-(x1+1)2rn=(x2-x1)(x1+x2+2),rn　　∴　kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=x1+x2+2,rn由前得rn(y+5)/(x-1)=2x+2,rn即rny=2x2-7(轨迹为已知抛物线内部分).rn2　求曲线方程rn2.1　过定点且被定点平分的弦所在直线方程rn　　例3　已知△ABC的3个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点，△ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程.rn　　解　由题意A的坐标为(0，4)或(0,-4),rn　　当A点坐标为(0，4)时，设D分AF的比λ=(AD)/(DF)=-3,令D(x0,y0),则x0=(0-6)/(1-3)=3,y0=(4)/(1-3)=-2,所以有D(3,-2),rn　　令B(x1,y1),C(x2,y2),则rn4x21+5y21=80,rn(1)rn4x22+5y22=80,rn(2)rn(2)-(1)得　4(x22-x21)+5(y22-y21)=0,rn　　(y2-y1)/(x2-x1)=-(4)/(5)*(x2+x1)/(y2+y1)=-(4)/(5)*(2x0)/(2y0)rn=-(4x0)/(5y0)=-(4)/(5)*(3)/(-2)=(6)/(5),rn　　∴　此时BC方程为y+2=(6)/(5)(x-3),rn即rn6x-5y-28=0,rnrn　　同理可得BC的另一方程为rnrn6x+5y-28=0.rn2.2　求圆锥曲线方程rn　　例4　已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1的一条准线方程是x=1，有一条倾斜角为(π)/(4)的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点为-(1)/(2),(1)/(4)，求椭圆方程.