从一道征解题看一类特殊函数最值问题的多解

摘要

文[1]给出了求二元函数t=G(x,y)(F(x,y)=0)的值域(最值)的问题本质及其意义,本文给出F(x,y)=0和t=G(x,y)都是特殊二元二次的很多种解法.例(数学通讯,2019年第6期(上),问题征解402)已知正数a,b满足a^2+ab+b^2=3,求P=2(a+b)-5/9ab的最大值和最小值.解析:例是约束条件为特殊二元二次方程下的特殊二元二次函数求最值(值域),由于二元二次方程是可解的,且解集图像化是二次曲线,故解法很多,只要由a^2+ab+b^2=3解出a∈(0,3)或b∈(0,3),或a+b∈(3,2],或a-b∈(-3,3),或ab∈(0,1],或a^2+b^2∈[2,3),或b/a∈(0,+∞)消元都可解决问题.