椭圆、双曲线的一个性质及其应用

摘要

在圆锥曲线的教学与学习中,我们容易得到椭圆、双曲线的如下两个性质:性质1 如图1,O是椭圆E:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>图1 b>0)的中心,AB是椭圆E的不过中心O,且不与坐标轴平行的弦,P是AB的中点,k OP、k AB分别是OP、AB的斜率,则k OP·k AB=-b 2 a 2.证明:设直线AB交椭圆于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则点P(x 1+x 2 2,y 1+y 2 2).因为,点A、点B在椭圆E上,所以有x 2 1 a 2+y 2 1 b 2=1,x 2 2 a 2+y 2 2 b 2=1.两式相减得x 2 1-x 2 2 a 2+y 2 1-y 2 2 b 2=0 y 1-y 2 x 1-x 2=-b 2 a 2·x 1+x 2 y 1+y 2.而k AB=y 1-y 2 x 1-x 2,k OP=y 1+y 2 x 1+x 2.即k AB=-b 2 a 2·1 k OP,故k OP·k AB=-b 2 a 2.