两个对称矩阵和的特征根与其乘积的关系及应用

摘要

本文主要讨论对称矩阵 A、B的特征根与 AB=0的关系 .这个问题起源于 Craig定理 :设X～ Nn( μ,I) ,则二次型 X′AX与 X′BX独立的充要条件为 AB=0 .利用随机变量的特征函数理论可知 ,本定理证明的关键在于下面的 Craig引理 .这个引理最早由 Craig提出 ,先后有五、六个证明 ,但都有错误 .直到 1 962年才由许宝禄教授在讨论班上对引理给出了一个正确的证明 ,但证明过程仍较复杂 .由于 Craig定理的结论在多元分析理论中有着十分重要的地位 ,也因其论证经历而更加著名 .所以 ,今天对 Craig引理( Craig定理 )的证明仍有意义 .本文对 Craig引理 ( Craig定理 )给出了一个极为简明的证明 ,并得到了其它的重要结论 ,其中结论之一就是著名的有关多个二次型独立的 Cochran定理成了 Craig引理的一个简单推论 .因此 ,本文对 Craig引理的正确、简明、直观的论证 ,特别是独到的论证过程 。