证明含“lnx”的不等式的一个小技巧——分离出“lnx”

摘要

例1 (2010年高考全国卷Ⅰ理科第20(2)题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,证明:(x-1)f(x)≥0. 证法1:可得f′(x)=1/x+lnx ＞0,(f′(x))′=x-1/x2. 进而可得f′(x)min=f′(1)=1＞0,所以f(x)是增函数. 当0＜x＜1时,得f(x)＜f(1)=0,所以(x-1)f(x)＞0;当x≥1时,得f(x)≥f(1)=0,所以(x-1)f(x)≥0. 总之,欲证结论成立.