加权黎曼流形中超曲面的第一稳定特征值

摘要

加权黎曼流形(M^n+1,g,e^-fdv)在黎曼流形(M^n+1,g)上赋予一个加权体积dvf=e^-fdv,其中f是M^n+1上的光滑实值函数,dv为M^n+1的体积元,记Σn为加权黎曼流形(M^n+1,g,e^-fdv)中具有常加权平均曲率Hf的紧致无边超曲面,在截面曲率Sec≥c的条件下,研究了超曲面上加权稳定算子Jf的第一特征值问题,运用了不等式(a+b)^2≥a^21+k-b^2k等号成立当且仅当b=-k1+ka,其中任意的a,b∈R和k>-1,得到了超曲面上第一稳定特征值的一个上界.当f为常数时,加权黎曼流形也就回到了通常的黎曼流形,此时也得到了稳定算子J的第一非零特征值的上界,进而从这个上界来讨论超曲面的稳定性.