多元函数的可微性、连续性、偏导数及方向导数之间的关系

摘要

多元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到多个,从而产生了某些本质上是新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点也可做,反之亦然.但在多元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在多元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续,等等.为帮助初学者理顺多元函数的可微性、连续性、偏导数及方向导数之间的关系,下文以二元函数为例(由于二元函数微分学到多元函数微分学没新内容,只不过形式变得复杂些罢了),加以论证或说明.(注:符号“(?)”表示可以推出,“(?)”表示推不出).