迭代的二阶方向导数与（h，ψ）-Lipschitz函数的广义方向导数

摘要

微分学是分析学中重要的内容.从欧式空间上经典的微积分到近代分析学,微积分贯穿始终.随着实际问题的需要和最优化等数学分支的发展,非线性泛函的微分学越来越引起人们的关注,各种推广的方向导数的概念被提出来,更广泛的应用被发现.譬如,上世纪七十年代,Clarke给出了定义在Banach空间上的局部Lipschitz函数的Clarke广义上、下方向导数；1990年R.Cominetti给出的Banach空间上实函数的广义二阶上、下方向导数；1991年Yang和V.Jeyakumar给出的C1,1函数的广义二阶方向导数；1999年V.Jeyakumar和Yang给出的Banach空间上连续G可微函数的二阶上半方向导数等等. 在1977年Ben-Tal定义了广义代数运算,通过引入相关的映射,将正常的线性映射进行了推广,并进而给出了模和内积等概念的相应形式.从这以后人们利用广义代数运算,引进了新的函数类及其广义方向导数,譬如,(h,ψ)-Lipschitz函数及其广义方向导数. 本文首先将给出迭代的二阶方向导数的概念,讨论这种方向导数所具有的性质和其与已知的二阶方向导数的关系,并获得已知函数的凸性与该二阶方向导数的符号之间的关系等相关应用,所得结论推广了2004年Bednarik和Pastor相关的结果.其次,我们将给出(h,ψ)-Lipschitz函数的广义下方向导数的概念,讨论它与Clarke广义下方向导数的关系；根据(h,ψ)-Lipschitz函数的广义方向导数(或广义梯度)与局部Lipschitz函数的Clarke广义方向导数(或广义梯度)的关系,讨论(h,ψ)-Lipschitz函数的广义方向导数和广义梯度的一些性质以及(h,ψ)-Lipschitz函数与它的广义微分之间的关系. 本文共分为三章.第一章回顾广义方向导数的发展背景,介绍一些一阶与二阶的方向导数的概念与相关结果；第二章给出了迭代的二阶方向导数的概念、性质以及对函数凸性判断的应用；第三章给出了(h,ψ)-Lipschitz函数的广义微分的相关结论.

目录

文摘

英文文摘

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第1章绪论

1.1一阶方向导数

1.2二阶方向导数

第2章迭代二阶方向导数的性质及其应用

2.1预备知识

2.2迭代二阶方向导数的性质

2.3迭代二阶方向导数与函数的凸性的关系

2.4本章小结

第3章 (h，ψ)-Lipschitz函数的广义微分的若干性质

3.1基本概念和预备知识

3.2广义上、下方向导数

3.3相关结果

3.4本章小结

总结

参考文献

攻读硕士期间已完成的学术论文

致谢