一个三角恒等式的启示

摘要

＜正＞ 在三角中,三角函数连乘积的证明、化简是一个难点。例如,“求证sin20°·sin40°·sin60°·sin80°=3/（16）”,一般需几次应用积化和差公式才能证得。仔细观察求证式,左端除了60°这个特殊角以外,其余三个角为20°、40°、80°,有一定的规律。由此我想起一个三角恒等式: sinα·sin（60°-α）·sin（60°+α） =1/4sin3α（1） 如果在上题中令α=20°,则40°=60°-α,80°=60°+α,利用（1）式来解决就简单了。证:左=(31/2)/2sin20°sin（60°-20°） ·sin（60°+20°） =(31/2)/2·（1/4）sin60°=3/（16）=右。仿照（1）式,我们还可以证明