矩阵求逆和齐次线性方程组的基础解系的统一算法

摘要

1　利用 [AMEn]求矩阵 A的逆矩阵若 A是一个 n阶可逆矩阵 ,对 n× 2 n型矩阵[AMEn]进行矩阵的初等行变化 ,当 A化为单位矩阵时 ,En 就被化为 A- 1即 [AMEn]初等行变化　 [En MA- 1 ]证明 :矩阵 [AMEn]进行矩阵的初等行变化相当于左乘一系列 n阶初等矩阵 P,于是 =P[AMEn]=[PAMPEn]=[En MP]即 PA=En,P=A- 1。2　利用 [AMEn]求齐次线性方程组 X1 xn Anxm=0 1 xm的基础解系数域 F上的齐次线性方程组 X1 xn Anxm=0 1 xm当[Anxm MEn]初等行变化　 [Dr MA0 ]其中 Dr 为一行满秩矩阵 ,r=r( A) ,P为 n阶可逆矩阵 ,则 P的后 n- r行向量即为齐次线性方程组 X1 xn Anxm=0 1 xm的基础解系。证明 :矩阵 A必有 n阶和 m阶可逆矩阵 P和 Q使得 PAQ=Er　　 00　　 0 其中 r=r( A)即 PA=Er　　 00　　 0 Q- 1 =Dr0 其中 Dr 为一行满秩矩阵 ,又因为 n阶可逆矩阵 P的后 n- r个行向量 [0 ,En- r]P必...