二次曲线一组性质的统一证法及推广

摘要

文[1]用解析方法,给出有心二次曲线的一组性质.今利用二次曲线来理论,统一给出这些性质,并作以推广.性质1对于中心为M(x0,y0)的有心二次曲线Г:(x?x0)2/a2±(y?y0)2/b2=1,过坐标原点O(0,0)作Г的两弦AD、BC,若直线对AB、CD交于x轴分别于两点N1(n1,0)、N2(n2,0),则12001111n+n=x?a e+x+ae,(1)(其中ae=1±y02/b2)证明如下图,将直线对AD、BC视为退化的二次曲线,则有二次曲线束:2222(x?x0)/a±(y?y0)/b?1+λ(y?k1x)(y?k2x)=0,(2)(λ为参数,k1,k2为斜率)现令y=0,则表示直线对AB、CD与x轴的交点N1(n1,0)、N2(n2,0)的坐标满足方程:222002122022(1k k)x2x xx y10a+λ?a+a±b?=,(3)则12121211n nn n n n+=+202222002///1x a=x a±y b?02222002(1/)x=x±a±y a02202ex=x?a(a e=a1±y20/b2)=1/(x0?ae)+1/(x0+ae).(4)此时,设Г交x轴分别于...