“增设”中的错误简析

摘要

众所皆知,增设性构作给某些数学问题的求解带来化繁为简的生机,但不恰当的增设性构作给某些数学问题的解答蒙上消极被动的阴影,未必被众人所晓,下面对此进行剖析。一只图形式忽视本质增设性构作常诞生于审析问题的形式结构之中,初步产生后将继续结合问题解答的需要逐步修正完善,千万可可忽视,修正完善过程。例1 求函数f（x）=x+（1-x2）1/2的值域。错解:设x=sinθ,则y=sinθ+cosθ=（2sin（θ+σ/4））1/2 函数f（x）的值域是[-21/2,21/2]。剖析:这里仅注意f（x）的定义域与三角函数值域之关系,选用三角代换,而忽视了x=sinθ时,（1-x2）1/2=cosθ≥0并非对任意实数θ恒成立。应将增设修正为x=sinθ,θ∈[-1/2π,1/2π],得出正确结果[-1,21/2]。例2 求函数y=（x2-8x+17）1/2+（x2+4）1/2的最小值。错解:∵ y=（（x-4）2+1）1/2+(（x2+22）1/2 ∴设z1=（x-4）+i,z2=-x-2i, 则y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=（17）1/2,y的最小值是（17）1/2。