关于几种光滑函数类的最佳逼近

摘要

非线性逼近是函数逼近的一个重要研究方向。一般而言,非线性逼近优于线性逼近,其主要优点是,对一些光滑度比较低的函数仍然可以得到较高的逼近阶。非线性逼近在信号与图像处理、声的传播、算子方程的求解、统计估计等方面都已经有了很多的应用。
　　最佳m项逼近是非线性逼近的一个特殊形式,其基本思想是逼近元并不来自于一个固定的线性子空间,而是来自于一非线性流形,且逼近空间依赖于被逼近的函数。
　　本文主要研究数值范数各向异性Besov类和向量范数各向异性Besov类使用正交字典的最佳m项逼近。正交字典是一种性质优良的常用字典,为得到函数关于正交字典最佳m项逼近的上方估计,本文同时讨论了两类函数关于贪婪算法逼近的误差。
　　全文共分四章,第一章是绪论,第二章是对数值范数各向异性Besov类关于正交字典的最佳m项逼近的研究,第三章是对向量范数各向异性Besov类的最佳m项逼近的研究,第四章是结论与展望。研究的主要思路是,首先,利用块分解技巧得到函数类的表现定理,然后,借助各自的表现定理,利用Littlewood-Paley不等式和Marcinkiewicz型定理等基本关系式及一些分析技巧,得到函数类关于贪婪算法的上方估计,及最佳m项逼近的逼近阶。对于向量范数的各向异性Besov类,由于除了各向的光滑性不同外,各向的度量也不相同,需克服的难点较多。结论表明数值范数各向异性Besov类关于正交字典的贪婪算法与最佳m项逼近的阶是一致的。

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第1章 绪 论

1.1 函数逼近的目的和意义

1.2 最佳m项逼近和贪婪算法

1.2.1 最佳m项逼近

1.2.2 贪婪算法

1.3 本文研究的主要内容

第2章 数值范数各向异性Besov类的最佳m项逼近

2.1 基本概念及主要结论

2.1.1正交字典

2.1.2数值范数各向异性Besov类

2.1.3 主要结论

2.2 表现定理的证明

2.3 主要引理

2.4 数值范数各向异性Besov类的逼近

2.5 本章小结

第3章 向量范数各向异性Besov类的最佳m项逼近

3.1 基本概念及主要结论

3.1.1向量范数各向异性Besov类

3.1.2 主要结论

3.2 表现定理的证明

3.3 主要引理

3.4 向量范数各向异性Besov类的逼近

3.5 本章小结

第4章 结论与展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

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