Carnot群上弱拟正则映射正则性与Q-调和映射紧性

摘要

Carnot群是一类单连通的幂零分层李群.由于Carnot群上向量场的非交换性，使Carnot群呈现出不同于欧氏空间的性质，目前在欧式空间里已经具备很多结论和关于偏微分方程的一些较好性质，将这些结论和性质推广到Carnot群上是数学理论研究的一个热点问题，是众多学者研究的重要领域之一.Heisenberg群和Carnot群上的Fourier积分算子、仿微分算子和拟微分算子等调和分析和偏微分方程问题已成为其研究的主要对象，本文主要考虑定义在Carnot群上的两个分析问题.
　　一是考虑了定义在Carnot群的特例Heisenberg群上低于自然可积指数的水平Sobolev空间HW1,ploc（Ω，(H)n）(1＜p＜Q)上的弱拟正则映射.Li的论文(Bergen University,2011)对于Heisenberg群(H)n上的弱拟正则映射利用停时理论得到了p＜n情况下的Caccioppoli不等式，利用这一结论通过迭代至多只能得到其广义水平微商的可积指数能提高到大于n.本章将基于Zheng(Chinese Ann.Math.2005)的技巧在Heisenberg群的推广，通过扰动向量场的Hodge分解估计式及Jacobi矩阵作为变换的相互关系，对定义在Heisenberg群上低于自然可积指数的水平Sobolev空间HW1,ploc(Ω，(H)n)(1＜p＜Q)上的弱拟正则映射，建立了某个(2n)2/2n+1＜p＜2n情况下的Caccioppoli不等式，达到可积指数自我改善的目的，从而得到对于p＜2n的弱拟正则映射的广义水平微商可积指数提高到大于第一层空间维数2n的结论，
　　二是研究Carnot群上调和映射，在此方面，基于次椭圆方程的Green估计，Jost-Xu(Trans.AMS)得到了到球面上的次椭圆的调和映射的光滑性结果.而后，C.Wang(CVPDE，2004)基于Carnot群上对到一般的紧致无边Riemann流形上的次椭圆调和映射的正则性又得到了证明，其方法是基于和Heléin的Coulomb移动标架法.本文主要研究Carnot群上的从高维区域到一般紧致无边的Riemann流形上的Q-调和映射，通过库仑移动标架的构造、Hardy空间和BMO的对偶以及Loins集中紧理论得到其上的Q-调和映射的紧性理论，即对于定义在Carnot群上Q-调和映射的Palais-Smale序列的弱极限仍是Q-调和映射.

目录

声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 选题背景和研究意义

1．2 欧式空间中相关概念与已有结论

1．3 论文的主要内容及结构

2 Carnot群的基本知识

2．1 Carnot群

2．2 Heisenberg群

3 Heisenberg群上弱拟正则映射正则性的改进

3．1 引言及主要结果

3．2 相关引理

3．3 主要定理证明

4 Carnot群上Q-调和映射的紧性

4．1 引言及主要结果

4．2 库仑移动标架的构造

4．3 主要定理证明

5 结论与展望

参考文献

附录

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