广义多极子技术在二维声子晶体能带结构计算中的应用

摘要

广义多极子技术是一种稳定、灵活、易于处理各种复杂边值问题的数值方法。自20世纪80年代提出以来，该技术已在电磁波散射、声波/弹性波散射、光子晶体能带结构以及光子晶体波导计算等方面得到广泛应用。但由于声波/弹性波在周期结构中传播的复杂性，广义多极子技术在声子晶体中的应用研究至今没有文献报道。声子晶体是一种具有周期性结构并呈现弹性波带隙特性的声学功能复合材料。带隙的存在使得声子晶体在隔声减振和声学器件等方面具有广阔的应用前景。因此声子晶体能带结构的计算和带隙的寻找也便成为声子晶体研究的核心内容之一。虽然目前已发展了多种方法用于计算声子晶体的能带结构，但每种方法都有其不足之处。本文将基于广义多极子技术发展用于计算各种体系声子晶体能带结构的新方法，以图弥补已有方法的不足，并丰富广义多极子技术的应用范围。主要研究内容如下:
　　(1)基于广义多极子技术发展了两种计算二维声子晶体标量波能带结构的方法:多重多极法和多重单极法，重点利用多重单极法对固/固体系反平面剪切波模态和流/流体系声波模态的能带结构进行了详细的计算，并与已有结果进行了比较，讨论了多重单极法的有效性和准确性以及模型参数对计算结果的影响。
　　(2)考虑合理的流固耦合界面条件，将多重单极法推广用于计算二维固/流体系声子晶体的能带结构，通过计算典型算例讨论该方法对于固/流体系的有效性及适用性。
　　(3)推广多重单极法用于计算固/固体系、孔/固体系以及流/固体系声子晶体平面混合波模态的能带结构。
　　(4)在表/界面弹性理论的基础上，利用多重单极法计算含圆或非圆散射体并计及表/界面效应的二维声子晶体的能带结构，以期验证该方法在考虑非完好连接界面条件时的有效性和适用性，推广其应用范围。
　　研究结果表明:
　　(1)在计算二维声子晶体标量波能带结构时，多重多极法和多重单极法均能得到准确的结果，但后者比前者更加简便和快捷，并展示了较好的稳定性和快速收敛性。多重单极法能够计算任意形状散射体体系，突破了多重散射法和Dirichlet-Neumann映射法等其它传统多极函数展开法只能处理圆（或球）形散射体的限制。另外，该方法可以计算任意频率段的能带结构，而不需从零频率开始计算。
　　(2)通过建立严格的界面条件和定义合适的特征值寻找函数，多重单极法可以准确有效地计算固/流、固/固、孔/固和流/固平面混合波模态的能带结构，展示了该方法较高的适应性。对于散射体与基体声阻抗比较小的流-固耦合体系（如橡胶/汞体系以及空气/铝体系），多重单极法不但能够计算出布拉格散射模态对应的能带，而且还能准确计算出局域共振模态对应的物理平带。
　　(3)在体系类型（固/固、孔/固、固/流或流/固）确定的情况下，多重单极法模型中所有的参数选取与组份材料特性无关，仅跟结构的几何形状有关。这使得该方法在计算声阻抗差异较大的体系时更加方便。
　　(4)该方法可以有效、准确地计算考虑表面/界面效应、含圆或非圆散射体的纳米声子晶体能带结构。而且，该方法在考虑与不考虑表/界面效应时，除了表/界面上满足的方程不同外，无需将表/界面做任何处理，计算过程完全相同，这为程序设计提供了很大的方便，避免了有限元法中针对不同的表/界面条件需建立不同表/界面单元的麻烦。

目录

声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 引言

1．2 广义多极子技术

1．2．1 广义多极子技术研究简介

1．2．2 广义多极子技术的基本思想及特点

1．2．3 广义多极子技术研究概况

1．3 声子晶体及其研究进展

1．3．1 声子晶体的概念

1．3．2 声子晶体的带隙形成机理

1．3．3 声子晶体的特征及其应用前景

1．3．4 声子晶体声学特性的表征参量及计算方法

1．4 本文的研究目的和内容

1．4．1 本文的研究目的

1．4．2 本文的研究内容

2 广义多极子技术在二维声子晶体标量波能带结构计算中的应用

2．1 引言

2．2 基本方程及边界条件

2．3 广义多极子技术与能带结构的计算

2．4 数值结果与讨论

2．4．1 圆形散射体的金／环氧体系

2．4．2 非圆形散射体的金／环氧体系

2．4．3 含圆／非圆散射体的流／流体系

2．5 本章小结

2．6 本章附录

2．7 本章附表

3 广义多极子技术在二维固／流体系声子晶体能带结构计算中的应用

3．1 引言

3．2 基本方程及边界条件

3．3 广义多极子技术与能带结构的计算

3．4 数值结果与讨论

3．4．1 铝／空气体系

3．4．2 铁／水体系

3．4．3 铝／汞体系

3．4．4 橡胶／汞体系

3．5 本章小结

3．6 本章附录

3．7 本章附表

4 广义多极子技术在二维声子晶体混合波能带结构计算中的应用

4．1 引言

4．2 基本方程及边界条件

4．3 广义多极子技术与能带结构的计算

4．4 数值结果与讨论

4．4．1 固／固体系

4．4．2 孔／固体系

4．4．3 流／固体系

4．5 本章小结

4．6 本章附录

4．7 本章附表

5 考虑表／界面效应的二维声子晶体能带结构的计算

5．1 引言

5．2 表／界面弹性理论与问题描述

5．3 特征值的寻找和能带结构的计算

5．4 数值算例及分析

5．4．1 圆散射体反平面剪切波模态的能带结构计算

5．4．2 椭圆散射体反平面剪切波模态的能带结构计算

5．4．3 圆散射体平面矢量波模态的能带结构计算

5．4．4 椭圆散射体平面矢量波模态的能带结构计算

5．5 本章小结

5．6 本章附录

5．7 本章附表

6 结论与展望

6．1 结论

6．2 进一步工作的展望

参考文献

附录

作者简历

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