一维黏性可压缩流体冲击波解的渐近稳定性

摘要

本论文主要研究在Eulerian坐标系下，描述一维黏性可压缩流体动力学方程组的初边值问题。流体动力学方程组是拟线性双曲型方程组，它除了有连续解之外，还可以有间断解；间断解既可以产生，也可以消失。这些特性给求解流体动力学方程组带来了特殊困难和问题。连续流动可以用简单波，如压缩波、稀疏波等来描述，间断解在物理上反映流体运动中的冲击波。冲击波在流体动力学中有着双重的重要性，它既是人们关心的一种物理现象，又是求解流体动力学方程组时需要加以关注的数学特性。本论文讨论在等熵的情况下黏性可压缩流体方程组冲击波解的性质，通过构造叠加的冲击波解，并利用压缩映射原理得到局部存在唯一的冲击波解，利用能量估计的方法证明先验估计，完成全局解的存在唯一性和渐近稳定性的证明，并采用差分方法进行数值计算，验证方程组的解为叠加的冲击波解。主要结论和方法如下： 1、叠加冲击波解的构造：利用Lagrangian坐标变换在Lagrangian坐标系下研究流体动力学方程组，利用Rankine-Hugoniot条件分别得到黏性冲击波曲线S<,1>和S<,2>，由此构造出叠加的冲击波解，并利用初值计算出冲击波的位移(即shift)；验证构造的叠加冲击波解满足可压缩流体方程组的初边值条件。 2、局部解的存在性和唯一性：通过逐步迭代的方法得出构造的叠加冲击波解为柯西列，然后由压缩映射原理得出可压缩流体方程组局部解的存在性：利用能量估计和各种不等式证明可压缩流体方程组局部解的唯一性。 3、全局解的存在唯一性和渐近稳定性：利用能量估计的方法，分别对相应变量及其导数进行不等式估计，由此推出先验估计的证明；通过对方程组的局部解在时间轴上进行延拓，可以得到全局解的存在唯一性，并利用先验估计可以推出全局解的渐进稳定性。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

声明

第一章引言

1.1相关背景知识

1.1.1流体动力学

1.1.2不定常流流体动力学

1.1.3冲击波

1.2预备知识

1.2.1 LP空间

1.2.2 L∞空间

1.2.3 Sobolev空间

1.2.4常用不等式

第二章主要定理和结论

2.1前人的研究成果

2.2叠加冲击波解的构造

2.3定理和结论

第三章局部解的存在唯一性

3.1局部解唯一性的证明

3.2局部解的存在性证明

第四章全局解的存在唯一性

4.1先验估计

4.2全局解存在唯一性和渐近稳定性

第五章数值计算

参考文献

附录

致谢

研究成果及发表的学术论文

作者简介