约化子空间标架多分辨分析的嵌入定理

摘要

小波标架理论是小波分析中比较活跃的研究课题之一.关于全空间(L2((R)))小波标架,1993年J.J.Benedetto和S.Li提出了标架多分辨分析(FMRA)的概念,为小波标架的构造提供了一个一般的方法,促使了后来FMRA小波标架研究的很大进展.关于子空间小波标架,X.Dai,Y.Diao,Q.Gu与D.Han在2002年提出了约化子空间的概念,并在此背景下研究了一类特殊标架小波的构造,这一工作也引起了不少的后续研究.本文在约化子空间背景下研究标架多分辨分析的嵌入定理.
　　 2005年,H.O.Kim,R.Y.Kim与J.K.Lim通过引入中心空间谱的概念,证明了L2((R))中的一个标架多分辨分析一定可以嵌入到某个多分辨分析中,并研究了嵌入的唯一性等问题.本文通过引入细分标架函数的谱,在一般约化子空间的背景下研究了这一问题,得到如下结果;
　　 定理3.2.2给定d阶伸缩矩阵M及L2((R)d)的一个约化子空间FL2(Ω).设(S)d(c)Ω满足:(S)d2π(Z)d-同余于(T)d且(S)d(c)Mt(S)d.则对FL2(Ω)中任意一个与M相关的FMRA{Vj}j∈(Z),存在一个与M相关的正交MRA{Vj}j∈(Z),使得对任意J∈(Z),有Vj(c)Vj.
　　 定理3.2.6设M是一满足|det M|=2的2阶伸缩矩阵,则对L2((R)2)中任意一个与M相关的FMRA{Vj}j∈(Z),存在一个与M相关的正交MRA{Vj}j∈(Z),使得对任意j∈(Z),有Vj(c)Vj.
　　 定理4.2.1给定d阶伸缩矩阵M及一个M-细分的标准正交基函数g.设|{x∈(T)d:mg(x)=0}|=0,则不存在M-细分的标架函数f,使得V(f)(c≠)V(g).
　　 定理4.2.2给定d阶伸缩矩阵M及L2((R)d)的一个约化子空间FL2(Ω).设{Vj:j∈(Z)}是FL2(Ω)中一个与M相关的MRA,(ψ)是其一尺度函数,其符号为m(ψ).若|{x∈(T)d:m(ψ)(x)=0}|=0,则不存在任何一个不同于{Vj:j∈(Z)}的FMRA{Vj:j∈(Z)}使得对任意j∈(Z),有Vj(c)Vj.

目录

文摘

英文文摘

第1章 绪论

1.1 概念和符号

1.2 研究背景和主要结果

1.3 本文结构

第2章 细分标架函数与标准正交基函数

2.1 主要结果

2.2 本章小结

第3章 FMRA的嵌人定理

3.1 FMRA的刻划

3.2 嵌入定理

3.3 本章小结

第4章 嵌入定理的唯一性

4.1 一些辅助引理

4.2 主要结果

4.3 本章小结

结论

参考文献

致谢