基于μ基的曲面隐式化、参数化和奇异点计算

摘要

在计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)中，曲线和曲面有两种基本的表示方法：参数形式与隐式形式。这两种表示方式在实际应用中有着各自的优缺点，例如：参数形式在图形的绘制上很有优势，且得到的曲线曲面易于调控，这点在工业设计中十分重要。另一方面，隐式形式易于判断空间其它点与这个曲线(面)的位置关系。如果我们同时拥有这两种表现形式，将对曲线(面)求交等其它应用很有意义。
　　 在几何造型领域，人们通常会根据具体的问题选择其中一种表示方法，因此曲线(面)的这两种表示形式之间的相互转换成为人们所关心的问题，即参数形式的隐式化和隐式形式的参数化问题。在理论上已经证明了任何参数表示的有理曲线(面)都一定可以转化为隐式表示，但是反过来并不总是成立。常见的隐式化方法有结式方法、Groebner基方法、吴方法、插值方法等。但这些方法在有效性、通用性、计算复杂度方面有着各自的局限。而由Sederberg，陈发来等人提出的动曲线(曲面)方法以及从它发展起来的μ基理论在有效性、通用性、和计算复杂度等方面显示了相当的优势，且其可以作为联系两种形式的桥梁，方便地得到两种形式(如果可以参数化)。
　　 本文将在已有的研究结果的基础上，以计算代数几何与动曲面方法为研究工具，对低次曲面的隐式化和参数化进行研究，并给出了有理参数曲面上奇异点的计算方法。最后讨论了一般的张量积曲面隐式化的通用框架。
　　 在第二章中，我们讨论了曲面上奇异点的阶数和动平面的关系，为我们后面几章中计算低次曲面上的奇异点提供了基础。同时，我们也给出了一般有理参数曲面上的奇异点的计算方法。
　　 在第三章和第四章，我们系统地研究了参数二次曲面的隐式化和参数化，及其上奇异点的计算方法。而联系这些内容的关键是关于参数变元是一次的动平面(或弱μ基)。从参数形式，我们可以易得其弱弘基，有了弱弘基，我们可以轻松地得到隐式方程。并且从弱μ基出发，可以简单地得到曲面的逆公式和曲面奇异点的计算。反过来，从曲面的隐式形式出发，通过计算其奇异点信息，我们可以得到弱μ基，从而可以得到参数化结果。
　　 在第五章中，我们提出一般有理曲面的μ基，给出一般的参数曲面的隐式化的通用框架。从μ基出发通过混合函数，我们可以得到一组动曲面。结合这些动平面和动曲面，我们可以得到其隐式方程，且隐式方程可以表示为一个行列式。

目录

文摘

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论文说明：图表目录

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致谢

第一章 绪论

§1.1概述

§1.2 曲线、曲面的参数表示与隐式表示

§1.3隐式化与参数化

§1.4基本知识

§1.5几种常见的隐式化方法

§1.5.1 Gr(o)bner基方法

§1.5.2结式方法

§1.5.3动曲线与动曲面方法

§1.5.4 μ基方法(Syzygy方法)

§1.6常见的参数化方法

§1.7小结

第二章 有理参数曲面奇异点计算

§2.1引言

§2.2代数曲线交点的相交重数

§2.2.1两条代数曲线交点的重数

§2.2.2多条代数曲线交点的重数

§2.3 曲面奇异点定义的等价性

§2.4曲面奇异点的计算

§2.5 曲面奇异点与曲面μ基的关系

§2.6本章小结

第三章 参数二次有一个基点曲面的隐式化和参数化

§3.1概述

§3.2预备知识

§3.3隐式化

§3.4参数化

§3.4.1参数二次有一个基点曲面上的自交点

§3.4.2参数化方法

§3.5本章小结

第四章 Steiner曲面的隐式化和参数化

§4.1引言

§4.2隐式化

§4.3逆公式和曲面奇异点的计算

§4.4四次曲面上自交线的判断和计算

§4.4.1平面四次曲线的奇异点的判断和计算

§4.4.2检测和计算不可约四次曲面上的自交直线

§4.5参数化方法

§4.6本章小结

第五章 一般有理参数曲面的隐式化

§5.1一般张量积曲面的μ基

§5.2 (n，2)次有理参数曲面的隐式化

§5.2.1隐式次数

§5.2.2 μ基的极小次数和

§5.2.3隐式次数m和μ基极小次数和Sμ的关系

§5.2.4基于μ基的隐式化

§5.3旋转曲面的隐式化

§5.4本章小结

参考文献

作者攻读博士期间完成论文