常正曲率空间的局部刚性定理

摘要

正质量定理是广义相对论与微分几何研究中的一个重要的结果，围绕着这一结果的相关研究，已经逐渐形成了一个蓬勃发展的领域。
　　 早在R.Scheon和丘成桐证明正质量定理之前，A.Fisher与J.Marsden与1975年就已经证明了局部的正质量定理，即在平坦流形的一个紧致子集上对度量做正数量曲率方向的形变时，得到的度量仍然是平坦的。换句话说，平坦度量在局部上是具有正数量曲率的刚性的。而M.Min-Oo于1996年证明了，在对流形加入spin条件的前提之下，常正曲率空间也具有局部刚性，即如果沿着数量曲率增大的方向形变，流形必定等距于上半球面。
　　 在本文中，我们利用椭圆算子的分解定理，先证明了数量曲率在常正曲率度量附近的弱负定性，进而再利用Morse引理，对上半球面证明了其局部刚性定理。进一步，结合Fisher和Marsden的结果，我们即可推知非负常曲率流形在沿正数量曲率方向形变时具有局部刚性。
　　 较之M.Min-Oo的证明，我们在这里并不假定流形的spin条件，因而也更具有一般的意义。这个结果可以看作是对应于正曲率流形上的一个弱形式的正质量定理，因而对于加深我们对正质量定理的认识将有积极的作用。同时，这一结果也有助于我们对Einstein流形的一些基本性质及其在广义相对论中的应用的进一步的认识。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章引言

第2章记号与约定

第3章曲率的变分公式

第4章数量曲率二阶变分的弱负定性

第5章对称二阶张量场的分解

第6章常正曲率空间的刚性

参考文献

致谢