三维声学敏感度分析的宽频快速多极边界元法研究

摘要

边界元法是继有限元法之后发展起来的一种非常精确和有效的工程数值分析方法。它以边界积分方程为基础，采用类似有限元法的单元离散技术，通过对边界进行离散将边界积分方程离散为代数方程组，以便于利用数值方法求解。与有限元法相比，边界元法由于只需要对结构边界进行离散，因而具有单元个数少和数据准备简单等优点。然而由于传统边界元法所形成的系统方程具有非对称的稠密系数矩阵致使其具有高计算量和高内存占有量的固有缺陷，限制了其在大规模实际工程问题中的应用。这种现状直到近期包括快速多极算法在内的多种快速算法相继被提出才逐渐得以改善与解决。利用迭代求解方法和快速多极算法而形成的快速多极边界元法，可以在通常的台式机上完成以前传统边界元法无法完成的大规模实际工程问题的数值分析。
　　 本文围绕着舒缓交通噪声的声屏障的结构形状优化设计这一现今倍受关注的研究课题，开展基于边界元法的三维结构声场模拟与声学敏感度分析。针对目前基于边界元法的声学敏感度分析所存在的高计算量和高内存占有量的问题，提出了一套适于大规模声场模拟与声学敏感度分析的宽频快速多极边界元算法。其中对于三维声场模拟，首先设计了一种全空间的宽频快速多极边界元算法，从而实现了大规模无限域声场问题的快速求解；然后在此基础上提出了一种新的半空间宽频快速多极边界元算法，从而为诸如声屏障的降噪性能分析等大规模半无限域声场问题的快速求解带来了非常高的求解效率。而对于声学敏感度分析，首先基于直接微分法提出了一种宽频快速多极边界元声学敏感度分析方法；然后在此基础上发展了一种基于离散伴随变量法的适合于大规模多设计变量声学敏感度分析的宽频快速多极边界元法；而为了便于更一般性的多设计变量声学敏感度分析，本文基于物质导数的概念详细推导出了一种声学敏感度分析的连续伴随变量法，并且利用宽频快速多极边界元法实现了一种适合于一般性的大规模多设计变量声学敏感度分析的快速算法。
　　 在声学边界元分析中，Burton-Miller法常被用来克服常规边界积分方程方法求解外域声场问题时所遇到的解的非唯一性问题。对于随之而来的边界积分方程中的强奇异和超奇异边界积分问题，本文在常量单元离散的基础上，利用柯西主值积分和Hadamard有限部分积分推导出了一组无奇异的声场状态边界积分方程和声学敏感度边界积分方程。由于推导中避免了使用诸如正则化等消除奇异性的方法，使得快速多极边界元法更加易于编程实现且具有更高的求解效率，特别是在基于直接微分法和离散伴随变量法的声学敏感度分析中。
　　 最后，本文将所发展的方法和分析技术应用到了声屏障的降噪性能分析以及结构形状优化研究中，从而形成了一套基于声学敏感度分析的声屏障结构优化算法。并且分析了不同尺寸的直立型声屏障对不同频率的点源声场的衰减作用，初步总结了影响声屏障降噪性能的几个关键因素；另外通过对比几种具有典型顶端形状的声屏障的降噪效果得到性能较优的顶端形状，并对这种性能较优的顶端形状参数进行了初步的优化设计，从而进一步提高了其降噪性能。