Mal'cev基坐标变换的研究

摘要

对于m-维连通单连通幂零系统G，关联李代数g以及Mal'cev基(X)={X1，X2，…，Xm}，一个熟知的结论为
　　 exp(t1X1)exp(t2X2)…exp(tmXm)=expm(∑k=1tkxk+m∑k=2Pk(t1,t2，…，tk-1)Xk),其中Pk为不包含常数项，一阶项的多项式．在本文中，我们将仔细研究多项式Pk的性质.
　　 首先，对于2-步幂零情形，存在某个2≤d≤m，使得当2≤k≤d时，Pk=0，当d+1≤k≤m时，Pk=1/2∑1≤i≤j≤daijktitjXk，其中d和aijk为由Mal'cev基确定的结构常数，并且对于形如这样的多项式组，也可以找到一个幂零李群及Mal'cev基来实现．
　　 其次，我们将探讨5-维3步幂零时的情形，并指出简单形如P2(t)=0,P3(t)=at1t2,P4(t)=bt1t2，Ps(t)=∑l≤i＜j≤4Cijtitj+dt1t2t3的多项式组都不一定能够被某个5-维连通单连通幂零李群及Mal'cev基来实现．
　　 最后，我们将探讨一般情形时的幂零李群，此时，我们有P2=0，这P3=1/2a123t1t2，当3≤k≤m时，Pk(t)=1/2∑l≤i≤j≤k-1aijktitj+Qak(t).其中a=(aijk)为关于Mal'cev基的结构常数，Qak为由a确定的关于(t1，…，tk-1)的不包含常数项，一阶项，二阶项的多项式，反之，对入形如这样的多项式组，在满足某些条件下，我们也可以找到某个幂零李群以及Mal'cev基来实现．