群作用下的条件熵及非可加热力学公式

摘要

本文主要讨论amenable群作用动力系统的相对化拓扑熵及Zd-作用动力系统的非可加热力学公式。本文的具体安排如下:
　　 在绪论中，我们简单回顾了拓扑动力系统和遍历理论的起源和发展，并介绍下本文主要结论的研究背景及研究成果。
　　 在第二章中，我们简单介绍了本文中所涉及到的拓扑动力系统和遍历理论的一些基本概念和结果。
　　 在第三章中，我们研究了amenable群作用熵的相对化。具体地说，我们对amenable群作用间的因子映射π:(X，G）→(Y，G)引入了拓扑条件熵及拓扑纤维熵的概念，并讨论了拓扑条件熵、拓扑纤维熵与测度条件熵之间的关系，证明了三个相对化变分原理。作为应用，我们证明了可数对一扩充和distal扩充的拓扑条件熵等于零。特别地，作为Kerr和李寒峰[129，推论8.5]的另一证明，我们用遍历论的方法证明了如果一个amenable群作用系统为distal的，则它的拓扑熵为零。
　　 非可加序列的拓扑压及相应的热力学公式是研究非共形动力系统维数理论及重分形分析的重要工具。然而，这方面的诸多重要成果都只是对Z-作用动力系统展开讨论。因此，值得我们继续讨论更大群作用的非可加热力学公式、维数论及重分形分析。在第四章中，我们主要讨论Zd(d≥1)-作用次可加势的拓扑压，并建立了相应的局部及全局次可加变分原理。这些结果将曹永罗、丰德军和黄文在文[41]中的结果推广到了一般连续Zd-作用动力系统。注意到，在文章[142]中我们首次引入的amenable群作用次可加势不同于Zd-作用动力系统的经典次可加势概念。作为比较，我们在最后一节简单介绍了amenable群作用动力系统的次可加势及相应的热力学公式。
　　 在第五章中，我们讨论了Zd-作用一类更一般的非可加势:渐近次可加势。首先，我们在Zd-作用动力系统中引入了渐近次可加势的概念，并建立了渐近次可加拓扑压的热力学公式。同时，我们还给出了几个次可加势及渐近次可加势的非平凡的例子。其次，在熵函数为上半连续的条件下，我们给出了次可加拓扑压的两个刻画。最后，我们讨论了渐近次可加势的平衡态测度的存在性。一方面，本章结果将Ruelle和Misiurewicz的经典工作推广到了渐近次可加的情形;另一方面，我们也将丰德军和黄文[7(3)]的工作推广了一般的Zd-作用动力系统的情形。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 动力系统的熵及局部化理论

1．2 热力学公式与维数论

1．2．1 经典热力学公式

1．2．2 维数论与重分形分析

1．3 非可加热力学公式

1．4 (Z)d-作用及amenable群作用动力系统

1．5 本文研究内容

第二章 预备知识

2．1 动力系统基础

2．1．1 拓扑动力系统

2．1．2 符号动力系统

2．1．3 不变测度

2．2 遍历论基础

2．2．1 保测动力系统

2．2．2 函数空间及条件期望

2．2．3 遍历性及遍历定理

2．3 测度熵

第三章 Amenable群作用动力系统的条件熵及纤维熵

3．1 Amenable群的背景知识

3．1．1 Amenable群

3．1．2 关键收敛引理

3．2 Amenable群作用的测度条件熵

3．2．1 符号及基本概念

3．2．2 测度条件熵

3．3 Amenable群作用动力系统的拓扑条件熵及拓扑纤维熵

3．3．1 拓扑条件熵

3．3．2 拓扑纤维熵

3．3．3 拓扑条件熵的等价定义

3．4 条件熵的变分原理

3．4．1 条件变分原理

3．4．2 可数对一扩充的条件熵

3．4．3 内变分原理

3．5 Distal扩充的拓扑条件熵

第四章 次可加热力学公式

4．1 高维Fekete引理

4．2 覆盖的测度熵

4．3 次可加拓扑压

4．3．1 次可加拓扑压

4．3．2 开覆盖定义

4．3．3 拓扑压的基本性质

4．4 次可加拓扑压的变分原理

4．4．1 一些引理

4．4．2 局部变分原理

4．5 进一步讨论

4．5．1 次可加势

4．5．2 覆盖的测度熵

4．5．3 次可加拓扑压及变分原理

第五章 渐近次可加热力学公式

5．1 渐近次可加势

5．2 一些例子

5．2．1 次可加势

5．2．2 几乎可加势

5．2．3 渐近可加势

5．2．4 渐近次可加势

5．3 渐近次可加拓扑压及变分原理

5．4 次可加拓扑压的几个刻画

5．5 平衡态测度

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果