高阶导数方程的数值算法及其应用

摘要

本文主要工作是应用局部间断有限元方法(LDG)求解偏微分方程及利用基于偏微分方程的正则化算法研究生物医学成像中的去噪问题。主要分成五部分。
　　第一部分主要研究了具有复杂几何结构的量子定向耦合器上的量子传输现象的数值求解问题。这个现象可以由一个静态Schrodinger方程来解释，我们运用最小耗散LDG方法来求解该方程。为了保证数值格式的稳定性，本文在边界数值流通量上添加惩罚项。此外，量子传输本身的物理性质决定了其频率的变化主要在y方向上，因而针对该问题的求解，我们除了应用基于多项式基函数的LDG方法外，还应用了基于指数基函数的LDG方法来减少计算量。数值算例验证了该算法的有效性。
　　第二部分针对含波动算子的非线性Schr(o)dinger(NLSW)方程给出了守恒的LDG格式。NLSW方程的一个重要性质是能量守恒，而非守恒的数值格式很容易导致数值解爆破，因此我们在空间上使用LDG方法进行离散，而在时间上使用Crank-Nicholson格式进行离散，从而得到一个全离散的守恒数值格式并在理论上给出了能量守恒的严格证明。同时，我们还进一步给出了线性情形下半离散LDG方法最优误差估计的证明。数值结果证明了守恒数值格式在长时间数值模拟中的优越性。
　　第三部分采用高阶保正LDG格式求解含有爆破解的抛物方程。对于该类方程，如果初始条件及源项都是正的，则根据极大值原理，方程的解也是正的，而不加保正限制器的高阶格式会导致错误的爆破时间和爆破区间。由于该问题是Dirichlet边界条件，为了得到最优收敛阶，我们需要在边界数值流通量上添加惩罚项。数值结果表明，保正LDG格式能够准确捕捉到爆破时间和爆破区间。
　　第四部分主要研究基于偏微分方程正则化算法的去噪方法，主要应用于乳腺超声波弹性成像问题。传统的临床设备只能得到较为准确的轴向（平行于波）位移测算，而对于侧向（垂直于波）的位移测算质量是较低的。但是在多种临床弹性成像应用中（如模型重建及温度成像）同时获取轴向和侧向的精确超声波测算位移却是很重要的。因此，在该问题的研究中，我们主要使用在临床设备上获取的传统超声回声数据来提升侧向散斑追踪的精确度。该算法已被用于计算机模拟数据、组织模拟仿真及人体数据测试。
　　第五部分研究如何减少生物医学领域中磁共振成像中的噪音。由于在相位对比磁共振成像中，时域解析的3D(time-resolved3D)相位对比磁共振成像或磁共振造影（PC-MRA/MRI）只用来判定基本的信息，如:临床环境下动脉瘤(aneurysm)的尺寸和流率。而计算误差和潜在的缺陷都会对磁共振的结果产生不利的影响。但是要表征内动脉瘤血液动力学(intra-aneurismal hemodynamics)中的复杂流体，则需要更精确的血管成像。因此这里主要采用基于偏微分方程正则化的去噪算法减少噪音。计算机模拟数据验证了该算法的性能。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 间断有限元方法介绍

1．2 时间离散方法

1．3 变分方法

1．4 本文的工作

第2章 二维量子传输现象的局部间断有限元方法

2．1 引言

2．2 模型问题以及数值方法

2．2．1 模型问题

2．2．2 模型问题的数值方法

2．3 典型的定向量子耦合器上的量子传输现象

2．3．1 量子传输现象的二维静态Schr?dinger方程

2．3．2 量子传输现象的LDG方法

2．4 数值结果

2．5 本章小结

第3章 含波动算子的非线性Schr?dinger方程的能量守恒的局部间断有限元方法

3．1 引言

3．2 含波动算子的非线性Schr?dinger方程的局部间断有限元方法

3．2．1 复数域上的符号表示、内积和范数

3．2．2 局部间断有限元方法

3．2．3 能量守恒

3．2．4 线性方程的误差估计

3．3 时间离散

3．3．1 差分算子

3．3．2 时间离散

3．3．3 全离散格式的实现

3．4 数值结果

3．4．1 一维情形

3．4．2 二维情形

3．4．3 三维情形

3．5 本章小结

第4章 具有爆破解的抛物方程的高阶保正局部间断有限元方法

4．1 引言

4．2 保正高阶的局部间断有限元方法

4．2．1 一维情形

4．2．2 二维情形

4．3 数值结果

4．3．1 一维情形

4．3．2 二维情形

4．4 本章小结

第5章 基于偏微分方程正则化的去噪(散斑追踪)方法：一种乳腺超声波弹性成像的可行性研究

5．1 引言

5．2 材料和方法

5．2．1 理论背景

5．2．2 去噪算法的实现

5．2．3 应变测算

5．2．4 实验验证

5．2．5 数据分析

5．3 结果

5．3．1 数值模型结果

5．3．2 组织模拟模型数据结果

5．3．3 体内乳腺组织数据结果

5．4 讨论

5．5 本章小结

第6章相位对比磁共振血管成像中(Phase-contrast Magnetic Resonance Angiography)的去噪方法-旨在增强内动脉瘤血液动力学特征

6．1 引言

6．2 材料和方法

6．2．1 PC-MRA数据获取

6．2．2 线下数据进程

6．2．3 基于偏微分方程去噪算法的理论背景

6．2．4 计算机合成数据的产生

6．2．5 壁剪应力及相对血压估计

6．2．6 数据分析

6．3 结果

6．4 本章小结

第7章 总结与展望

7．1 总结

7．2 展望

附录

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表的学术论文